Трезвый космос

Топологическое пространство, топология которого полностью охвачена его решеткой открытых множеств

В математике трезвым пространством называется топологическое пространство X , такое, что каждое (непустое) неприводимое замкнутое подмножество X является замыканием ровно одной точки X : то есть каждое непустое неприводимое замкнутое подмножество имеет единственную общую точку .

Определения

У трезвых пространств есть множество криптоморфных определений, которые документированы в этом разделе. Все, за исключением определения в терминах сетей, описаны в. ^[1] В каждом случае ниже замена «уникального» на «не более одного» дает эквивалентную формулировку аксиомы T 0 . Замена его на «не менее одного» эквивалентна свойству, что фактор T ₀ пространства является трезвым, что иногда упоминается как наличие «достаточного количества точек» в литературе.

С неприводимыми замкнутыми множествами

Замкнутое множество неприводимо , если его нельзя записать как объединение двух собственных замкнутых подмножеств. Пространство трезво , если каждое непустое неприводимое замкнутое подмножество является замыканием единственной точки.

С точки зрения морфизмовфреймы и локали

Топологическое пространство X называется трезвым, если каждое отображение, сохраняющее все соединения и все конечные пересечения из его частично упорядоченного множества открытых подмножеств в , является обратным образом уникальной непрерывной функции из одноточечного пространства в X . ${\displaystyle \{0,1\}}$

Это можно рассматривать как соответствие между понятием точки в определенном месте и точкой в ​​топологическом пространстве, что является мотивирующим определением.

Использование полностью чистых фильтров

Фильтр F открытых множеств называется вполне простым, если для любого семейства открытых множеств, такого что , для некоторого i выполняется . Пространство X называется трезвым, если каждый вполне простой фильтр является окрестностным фильтром единственной точки в X. ${\displaystyle O_{i}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i}O_{i}\in F}$ ${\displaystyle O_{i}\in F}$

В плане сетей

Сеть является самосходящейся , если она сходится к каждой точке в , или, что эквивалентно, если ее фильтр событийности полностью прост. Сеть , которая сходится к , сходится сильно , если она может сходиться только к точкам в замыкании . Пространство является трезвым, если каждая самосходящаяся сеть сходится сильно к единственной точке . ^[2] ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$

В частности, пространство является T1 и трезвым именно тогда, когда каждая самосходящаяся сеть постоянна.

Как свойство пучков на пространстве

Пространство X называется трезвым, если каждый функтор из категории пучков Sh(X) в Set , сохраняющий все конечные пределы и все малые копределы, должен быть функтором стебля единственной точки x .

Свойства и примеры

Любое хаусдорфово (T ₂ ) пространство является трезвым (единственными неприводимыми подмножествами являются точки), и все трезвые пространства являются колмогоровскими (T ₀ ), и оба следствия являются строгими. ^[3]

Трезвость не сопоставима с состоянием Т 1 :

• Примером пространства T _1, которое не является трезвым, является бесконечное множество с кофинитной топологией , причем все пространство является неприводимым замкнутым подмножеством без общей точки;
• Примером трезвого пространства, которое не является T1 _, является пространство Серпинского .

Более того, T ₂ сильнее, чем T ₁ и трезвый, т. е., в то время как каждое пространство T ₂ одновременно является T ₁ и трезвым, существуют пространства, которые одновременно являются T ₁ и трезвыми, но не T ₂ . Один из таких примеров следующий: пусть X будет множеством действительных чисел с присоединенной новой точкой p; открытые множества будут всеми действительными открытыми множествами, а все коконечные множества будут содержать p.

Трезвость X — это как раз условие, которое заставляет решетку открытых подмножеств X определять X с точностью до гомеоморфизма , что имеет отношение к бесточечной топологии .

Трезвость делает специализированный предварительный заказ направленным полным частичным порядком .

Каждое непрерывное направленное полное частично упорядоченное множество, снабженное топологией Скотта, является трезвым.

Конечные пространства T _{0 являются трезвыми.} ^[4]

Простой спектр Spec( R ) коммутативного кольца R с топологией Зарисского является компактным трезвым пространством. ^[3] Фактически, каждое спектральное пространство (т. е. компактное трезвое пространство, для которого набор компактных открытых подмножеств замкнут относительно конечных пересечений и образует базу для топологии) гомеоморфно Spec( R ) для некоторого коммутативного кольца R . Это теорема Мелвина Хохстера . ^[5] В более общем смысле, базовое топологическое пространство любой схемы является трезвым пространством.

Подмножество Spec( R ), состоящее только из максимальных идеалов, где R — коммутативное кольцо, в общем случае не является трезвым.

Смотрите также

• Двойственность Стоуна , о двойственности между топологическими пространствами, которые являются трезвыми, и фреймами (т.е. полными алгебрами Гейтинга ), которые являются пространственными.

Ссылки

1. Mac Lane, Saunders (1992). Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топосов . Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 472–482. ISBN 978-0-387-97710-2.
2. Зюндерхауф, Филипп (1 декабря 2000 г.). «Трезвость в терминах сетей». Прикладные категориальные структуры . 8 (4): 649–653. doi :10.1023/A:1008673321209.
3. Харт, Клаас Питер; Нагата, Джун-ити; Воан, Джерри Э. (2004). Энциклопедия общей топологии . Эльзевир. стр. 155–156. ISBN 978-0-444-50355-8.
4. «Общая топология — Конечные пространства $T_0$ трезвы».
5. Хохстер, Мелвин (1969), «Структура простого идеала в коммутативных кольцах», Trans. Amer. Math. Soc. , 142 : 43–60, doi : 10.1090/s0002-9947-1969-0251026-x

Дальнейшее чтение

• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, ред. (2004). Категориальные основы. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том 97. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7. Збл  1034.18001.
• Викерс, Стивен (1989). Топология через логику . Кембриджские трактаты по теоретической информатике. Том 5. Кембридж: Cambridge University Press . С. 66. ISBN 0-521-36062-5. Збл  0668.54001.