Эллиптический интеграл

Специальная функция, определяемая интегралом

В интегральном исчислении эллиптический интеграл — одна из ряда родственных функций, определяемых как значение некоторых интегралов, которые впервые были изучены Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером ( около  1750 г. ). Их название происходит от их первоначального возникновения в связи с задачей нахождения длины дуги эллипса .

Современная математика определяет «эллиптический интеграл» как любую функцию f , которая может быть выражена в виде

$${\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R{\left({\textstyle t,{\sqrt {P(t)}}}\right)}\,dt,}$$

где R — рациональная функция двух своих аргументов, P — многочлен степени 3 или 4 без повторяющихся корней, а c — константа.

В общем случае интегралы в этой форме не могут быть выражены через элементарные функции . Исключения из этого общего правила составляют случаи, когда P имеет кратные корни, или когда R ( x , y ) не содержит нечетных степеней y , или если интеграл является псевдоэллиптическим. Однако с помощью соответствующей формулы редукции каждый эллиптический интеграл можно привести к форме, которая включает интегралы по рациональным функциям и три канонические формы Лежандра , также известные как эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода.

Помимо формы Лежандра, приведенной ниже, эллиптические интегралы могут быть также выражены в симметричной форме Карлсона . Дополнительное понимание теории эллиптического интеграла может быть получено путем изучения отображения Шварца–Кристоффеля . Исторически эллиптические функции были открыты как обратные функции эллиптических интегралов.

Обозначение аргумента

Неполные эллиптические интегралы являются функциями двух аргументов; полные эллиптические интегралы являются функциями одного аргумента. Эти аргументы выражаются множеством различных, но эквивалентных способов, поскольку они дают один и тот же эллиптический интеграл. Большинство текстов придерживаются канонической схемы именования, используя следующие соглашения об именах.

Для выражения одного аргумента:

• α , модульный угол
• k = sin α , эллиптический модуль или эксцентриситет
• m = k ² = sin ² α , параметр

Каждая из трех приведенных выше величин полностью определяется любой из других (при условии, что они неотрицательны). Таким образом, их можно использовать взаимозаменяемо.

Другой аргумент может быть также выражен как φ , амплитуда , или как x или u , где x = sin φ = sn u, а sn — одна из эллиптических функций Якоби .

Указание значения любой из этих величин определяет другие. Обратите внимание, что u также зависит от m . Некоторые дополнительные отношения, включающие u , включают $${\displaystyle \cos \varphi =\operatorname {cn} u,\quad {\textrm {and}}\quad {\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}=\operatorname {dn} u.}$$

Последнее иногда называют дельта-амплитудой и записывают как Δ( φ ) = dn u . Иногда в литературе также упоминается дополнительный параметр , дополнительный модуль или дополнительный модульный угол . Они более подробно определены в статье о четвертных периодах .

В этой нотации использование вертикальной черты в качестве разделителя указывает на то, что аргумент, следующий за ней, является «параметром» (как определено выше), тогда как обратная косая черта указывает на то, что это модульный угол. Использование точки с запятой подразумевает, что аргумент, предшествующий ей, является синусом амплитуды: Это потенциально запутанное использование различных разделителей аргументов является традиционным в эллиптических интегралах, и большая часть обозначений совместима с тем, что используется в справочнике Абрамовица и Стигана, и тем, что используется в интегральных таблицах Градштейна и Рыжика . $${\displaystyle F(\varphi ,\sin \alpha )=F\left(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha \right)=F(\varphi \setminus \alpha )=F(\sin \varphi ;\sin \alpha ).}$$

Существуют и другие соглашения для обозначения эллиптических интегралов, используемые в литературе. Часто встречается обозначение с переставленными аргументами, F ( k , φ ) ; и аналогично E ( k , φ ) для интеграла второго рода. Абрамовиц и Стиган заменяют интеграл первого рода, F ( φ , k ) , на аргумент φ в своих определениях интегралов второго и третьего рода, если только этот аргумент не сопровождается вертикальной чертой: т. е. E ( F ( φ , k ) | k ² ) вместо E ( φ | k ² ) . Более того, их полные интегралы используют параметр k ² в качестве аргумента вместо модуля k , т. е. K ( k ² ) вместо K ( k ) . А интеграл третьего рода, определенный Градштейном и Рыжиком , Π( φ , n , k ) , ставит на первое место амплитуду φ , а не «характеристику» n .

Таким образом, необходимо быть осторожным с обозначениями при использовании этих функций, поскольку различные авторитетные источники и программные пакеты используют разные соглашения в определениях эллиптических функций. Например, программное обеспечение Wolfram Mathematica и Wolfram Alpha определяют полный эллиптический интеграл первого рода в терминах параметра m вместо эллиптического модуля k .

Неполный эллиптический интеграл первого рода

Неполный эллиптический интеграл первого рода F определяется как

$${\displaystyle F(\varphi ,k)=F\left(\varphi \mid k^{2}\right)=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}$$

Это тригонометрическая форма Лежандра эллиптического интеграла; подставляя t = sin θ и x = sin φ , получаем алгебраическую форму Якоби:

$${\displaystyle F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}.}$$

Эквивалентно, с точки зрения амплитуды и модульного угла имеем: $${\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}.}$$

При x = sn( u , k ) имеем: демонстрируя, что эта эллиптическая функция Якоби является простой обратной функцией неполного эллиптического интеграла первого рода. $${\displaystyle F(x;k)=u;}$$

Неполный эллиптический интеграл первого рода имеет следующую теорему сложения ^{[ требуется ссылка ]} : $${\displaystyle F{\bigl [}\arctan(x),k{\bigr ]}+F{\bigl [}\arctan(y),k{\bigr ]}=F\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}$$

Эллиптический модуль можно преобразовать следующим образом: $${\displaystyle F{\bigl [}\arcsin(x),k{\bigr ]}={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}$$

Неполный эллиптический интеграл второго рода

Неполный эллиптический интеграл второго рода E в тригонометрической форме Лежандра равен

$${\displaystyle E(\varphi ,k)=E\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .}$$

Подставляя t = sin θ и x = sin φ , получаем алгебраическую форму Якоби:

$${\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt.}$$

Эквивалентно, с точки зрения амплитуды и модульного угла: $${\displaystyle E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}\,d\theta .}$$

Связи с эллиптическими функциями Якоби включают $${\displaystyle {\begin{aligned}E{\left(\operatorname {sn} (u;k);k\right)}=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(w;k)\,dw&=u-k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {sn} ^{2}(w;k)\,dw\\[1ex]&=\left(1-k^{2}\right)u+k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {cn} ^{2}(w;k)\,dw.\end{aligned}}}$$

Длина дуги меридиана от экватора до широты φ записывается через E : где a — большая полуось , а e — эксцентриситет . $${\displaystyle m(\varphi )=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right),}$$

Неполный эллиптический интеграл второго рода имеет следующую теорему сложения ^{[ требуется ссылка ]} : $${\displaystyle E{\left[\arctan(x),k\right]}+E{\left[\arctan(y),k\right]}=E{\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}+{\frac {k^{2}xy}{k'^{2}x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}}\left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}+{\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)}$$

Эллиптический модуль можно преобразовать следующим образом: $${\displaystyle E{\left[\arcsin(x),k\right]}=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)E{\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}-{\sqrt {1-k^{2}}}F{\left[\arcsin(x),k\right]}+{\frac {k^{2}x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}}$$

Неполный эллиптический интеграл третьего рода

Неполный эллиптический интеграл третьего рода Π равен $${\displaystyle \Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}}$$

или

$${\displaystyle \Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-mt^{2}\right)\left(1-t^{2}\right)}}}.}$$

Число n называется характеристикой и может принимать любое значение, независимо от других аргументов. Однако следует отметить, что значение Π(1; ⁠π/2⁠ | m ) бесконечно для любого m .

Связь с эллиптическими функциями Якоби такова: $${\displaystyle \Pi {\bigl (}n;\,\operatorname {am} (u;k);\,k{\bigr )}=\int _{0}^{u}{\frac {dw}{1-n\,\operatorname {sn} ^{2}(w;k)}}.}$$

Длина дуги меридиана от экватора до широты φ также связана с частным случаем Π :

$${\displaystyle m(\varphi )=a\left(1-e^{2}\right)\Pi \left(e^{2};\varphi \,|\,e^{2}\right).}$$

Полный эллиптический интеграл первого рода

График полного эллиптического интеграла первого рода K ( k )

Эллиптические интегралы называются «полными», когда амплитуда φ = ⁠π/2⁠ и, следовательно, x = 1. Полный эллиптический интеграл первого рода K может быть, таким образом, определен как или более компактно в терминах неполного интеграла первого рода как $${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}},}$$ $${\displaystyle K(k)=F\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=F\left({\tfrac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)=F(1;k).}$$

Его можно выразить в виде степенного ряда $${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right)^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\bigl (}P_{2n}(0){\bigr )}^{2}k^{2n},}$$

где P _n — полиномы Лежандра , что эквивалентно

$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left({\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\cdots \right),}$$

где n !! обозначает двойной факториал . В терминах гипергеометрической функции Гаусса полный эллиптический интеграл первого рода можно выразить как

$${\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}$$

Полный эллиптический интеграл первого рода иногда называют четвертью периода . Его можно очень эффективно вычислить в терминах арифметико-геометрического среднего : ^[1] $${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}.}$$

Следовательно, модуль можно преобразовать следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {1-k^{2}}}{2}},{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\operatorname {agm} \left(1,{\frac {2{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}K\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}$$

Это выражение справедливо для всех и 0 ≤ k ≤ 1 : ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

$${\displaystyle K(k)=n\left[\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left({\frac {2a}{n}}K(k);k\right)\right]^{-1}K\left[k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left({\frac {2a-1}{n}}K(k);k\right)^{2}\right]}$$

Связь с гамма-функцией

Если k ² = λ ( i √ r ) и (где λ — модульная лямбда-функция ), то K ( k ) можно выразить в замкнутой форме через гамма-функцию . ^[2] Например, r = 2 , r = 3 и r = 7 дают, соответственно, ^[3] ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} ^{+}}$

$${\displaystyle K\left({\sqrt {2}}-1\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right){\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}{8{\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\pi }}}},}$$

и

$${\displaystyle K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{8\pi }}{\sqrt[{4}]{3}}\,{\sqrt[{3}]{4}}\,\Gamma {\biggl (}{\frac {1}{3}}{\biggr )}^{3}}$$

и

$${\displaystyle K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {4}{7}}\right)}{4{\sqrt[{4}]{7}}\pi }}.}$$

В более общем случае условие нахождения в мнимом квадратичном поле ^{[примечание 1]} является достаточным. ^{[4] [5]} Например, если k = e ^{5 πi /6} , то ⁠ $${\displaystyle {\frac {iK'}{K}}={\frac {iK\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{K(k)}}}$$ИК ′/К⁠ = e ^{2 πi /3} и ^[6]

$${\displaystyle K\left(e^{5\pi i/6}\right)={\frac {e^{-\pi i/12}\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right){\sqrt[{4}]{3}}}{4{\sqrt[{3}]{2}}\pi }}.}$$

Асимптотические выражения

$${\displaystyle K\left(k\right)\approx {\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{8}}{\frac {k^{2}}{1-k^{2}}}-{\frac {\pi }{16}}{\frac {k^{4}}{1-k^{2}}}}$$Это приближение имеет относительную точность лучше, чем3 × 10−4 для k < ⁠^​1/2⁠ . Сохранение только первых двух членов является правильным с точностью до 0,01 для k < ⁠1/2⁠ . ^{[ необходима ссылка ]}

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение для эллиптического интеграла первого рода имеет вид $${\displaystyle {\frac {d}{dk}}\left(k\left(1-k^{2}\right){\frac {dK(k)}{dk}}\right)=k\,K(k)}$$

Второе решение этого уравнения — . Это решение удовлетворяет соотношению ${\displaystyle K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dk}}K(k)={\frac {E(k)}{k\left(1-k^{2}\right)}}-{\frac {K(k)}{k}}.}$$

Продолженная дробь

Разложение цепной дроби выглядит так: ^[7] , где ном входит в ее определение. $${\displaystyle {\frac {K(k)}{2\pi }}=-{\frac {1}{4}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}=-{\frac {1}{4}}+{\cfrac {1}{1-q+{\cfrac {\left(1-q\right)^{2}}{1-q^{3}+{\cfrac {q\left(1-q^{2}\right)^{2}}{1-q^{5}+{\cfrac {q^{2}\left(1-q^{3}\right)^{2}}{1-q^{7}+{\cfrac {q^{3}\left(1-q^{4}\right)^{2}}{1-q^{9}+\cdots }}}}}}}}}},}$$ ${\displaystyle q=q(k)=\exp[-\pi K'(k)/K(k)]}$

Инвертирование соотношения периодов

Здесь мы используем полный эллиптический интеграл первого рода с параметром вместо этого, поскольку функция возведения в квадрат вносит проблемы при инвертировании в комплексной плоскости. Итак, пусть ${\displaystyle m}$

${\displaystyle K[m]=\int _{0}^{\pi /2}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$

и пусть

${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=2e^{\pi i\tau /4}\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)},\quad q=e^{\pi i\tau },\,\operatorname {Im} \tau >0,}$

${\displaystyle \theta _{3}(\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}},\quad q=e^{\pi i\tau },\,\operatorname {Im} \tau >0}$

быть тета-функциями .

Уравнение

${\displaystyle \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}}$

затем можно решить (при условии, что решение существует) ${\displaystyle m}$

${\displaystyle m={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}}$

что на самом деле является модульной лямбда-функцией .

Для целей вычислений анализ ошибок дается формулой ^[8]

${\displaystyle \left|{e}^{-\pi i\tau /4}\theta _{2}\!\left(\tau \right)-2\sum _{n=0}^{N-1}{q}^{n\left(n+1\right)}\right|\leq {\begin{cases}{\frac {2{\left|q\right|}^{N\left(N+1\right)}}{1-\left|q\right|^{2N+1}}},&\left|q\right|^{2N+1}<1\\\infty ,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\;}$

${\displaystyle \left|\theta _{3}\!\left(\tau \right)-\left(1+2\sum _{n=1}^{N-1}{q}^{n^{2}}\right)\right|\leq {\begin{cases}{\frac {2{\left|q\right|}^{N^{2}}}{1-\left|q\right|^{2N+1}}},&\left|q\right|^{2N+1}<1\\\infty ,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\;}$

где и . ${\displaystyle N\in \mathbb {Z} _{\geq 1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$

Также

${\displaystyle K[m]={\frac {\pi }{2}}\theta _{3}(\tau )^{2},\quad \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}}$

где . ${\displaystyle m\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$

Полный эллиптический интеграл второго рода

График полного эллиптического интеграла второго рода E ( k )

Полный эллиптический интеграл второго рода E определяется как

$${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt,}$$

или более компактно в терминах неполного интеграла второго рода E ( φ , k ) как

$${\displaystyle E(k)=E\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=E(1;k).}$$

Для эллипса с большой полуосью a и малой полуосью b и эксцентриситетом e = √ 1 − b ² / a ² полный эллиптический интеграл второго рода E ( e ) равен одной четверти окружности C эллипса , измеренной в единицах большой полуоси a . Другими словами:

$${\displaystyle C=4aE(e).}$$

Полный эллиптический интеграл второго рода можно выразить в виде степенного ряда ^[9]

$${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}},}$$

что эквивалентно

$${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right).}$$

В терминах гипергеометрической функции Гаусса полный эллиптический интеграл второго рода можно выразить как

$${\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}$$

Модуль можно преобразовать следующим образом: $${\displaystyle E(k)=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\,E\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)-{\sqrt {1-k^{2}}}\,K(k)}$$

Вычисление

Как и интеграл первого рода, полный эллиптический интеграл второго рода можно вычислить очень эффективно, используя арифметико-геометрическое среднее . ^[1]

Определим последовательности a _n и g _n , где a ₀ = 1 , g ₀ = √ 1 − k ² = k ′ и рекуррентные соотношения a _{n + 1} = ⁠а _н + г _н/2⁠ , g _{n + 1} = √ a _n g _n hold. Кроме того, определим $${\displaystyle c_{n}={\sqrt {\left|a_{n}^{2}-g_{n}^{2}\right|}}.}$$

По определению,

$${\displaystyle a_{\infty }=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }g_{n}=\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right).}$$

Также

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=0.}$$

Затем

$${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2a_{\infty }}}\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n-1}c_{n}^{2}\right).}$$

На практике среднее арифметико-геометрическое просто вычисляется до некоторого предела. Эта формула сходится квадратично для всех | k | ≤ 1 . Для дальнейшего ускорения вычислений соотношение c _{n + 1} = ⁠с _н ²/4 а _{н + 1}⁠ можно использовать.

Более того, если k ² = λ ( i √ r ) и (где λ — модульная лямбда-функция ), то E ( k ) можно выразить в замкнутой форме в терминах и, следовательно, можно вычислить без необходимости в бесконечном члене суммирования. Например, r = 1 , r = 3 и r = 7 дают, соответственно, ^[10] ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} ^{+}}$ $${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}}$$

$${\displaystyle E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}}K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\pi }{4K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}},}$$

и

$${\displaystyle E\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)+{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{12K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}},}$$

и

$${\displaystyle E\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {7+2{\sqrt {7}}}{14}}K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)+{\frac {\pi {\sqrt {7}}}{28K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)}}.}$$

Производные и дифференциальные уравнения

$${\displaystyle {\frac {dE(k)}{dk}}={\frac {E(k)-K(k)}{k}}}$$ $${\displaystyle \left(k^{2}-1\right){\frac {d}{dk}}\left(k\;{\frac {dE(k)}{dk}}\right)=kE(k)}$$

Второе решение этого уравнения — E ( √ 1 − k ² ) − K ( √ 1 − k ² ) .

Полный эллиптический интеграл третьего рода

График полного эллиптического интеграла третьего рода Π( n , k ) при нескольких фиксированных значениях n

Полный эллиптический интеграл третьего рода Π можно определить как

$${\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1-n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}$$

Отметим, что иногда эллиптический интеграл третьего рода определяется с обратным знаком для характеристики n , $${\displaystyle \Pi '(n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1+n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}$$

Так же, как и полные эллиптические интегралы первого и второго рода, полный эллиптический интеграл третьего рода может быть вычислен очень эффективно с использованием арифметико-геометрического среднего. ^[1]

Частные производные

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial n}}&={\frac {1}{2\left(k^{2}-n\right)(n-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{n}}\left(k^{2}-n\right)K(k)+{\frac {1}{n}}\left(n^{2}-k^{2}\right)\Pi (n,k)\right)\\[8pt]{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial k}}&={\frac {k}{n-k^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (n,k)\right)\end{aligned}}}$$

Дзета-функция Якоби

В 1829 году Якоби определил дзета-функцию Якоби : Она периодична по с минимальным периодом . Она связана с zn-функцией Якоби соотношением . В литературе (например, Уиттекер и Уотсон (1927)) иногда означает Википедию . Некоторые авторы (например, Кинг (1924)) используют как для Википедии , так и для . $${\displaystyle Z(\varphi ,k)=E(\varphi ,k)-{\frac {E(k)}{K(k)}}F(\varphi ,k).}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle Z(\varphi ,k)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,k),k)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \operatorname {zn} }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \operatorname {zn} }$

отношение Лежандра

Соотношение Лежандра или тождество Лежандра показывает связь интегралов K и E эллиптического модуля и его антисвязанного аналога ^{[11] [12]} в интегральном уравнении второй степени:

Для двух модулей, являющихся пифагорейскими аналогами друг друга, справедливо следующее соотношение:

$${\displaystyle K(\varepsilon )E\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)+E(\varepsilon )K\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)-K(\varepsilon )K\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}}$$

Например:

${\displaystyle K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})E({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})+E({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})-K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$

А для двух модулей, которые являются тангенциальными аналогами друг друга, справедливо следующее соотношение:

${\displaystyle (1+\varepsilon )K(\varepsilon )E({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})+{\tfrac {2}{1+\varepsilon }}E(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})-2K(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Например:

${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})E({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})+{\tfrac {3}{2}}E({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})-2K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Соотношение Лежандра для тангенциальных модулярных аналогов вытекает непосредственно из тождества Лежандра для пифагорейских модулярных аналогов с использованием модулярного преобразования Ландена над пифагоровым контрмодулем.

Специальная идентичность для лемнискатического случая

Для лемнискатического случая эллиптический модуль или удельный эксцентриситет ε равен половине квадратного корня из двух. Тождество Лежандра для лемнискатического случая можно доказать следующим образом:

Согласно правилу цепочки эти производные имеют место:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}$

Используя основную теорему исчисления, можно получить следующие формулы:

${\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y}$

${\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y}$

Линейная комбинация двух упомянутых интегралов приводит к следующей формуле:

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}\,+}$

${\displaystyle +\,{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}\,y^{4})}}}\,\mathrm {d} y}$

Образовав исходную первообразную, связанную с x, из функции, теперь показанной с использованием правила произведения, получаем следующую формулу:

${\displaystyle {\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1){\biggl [}{\text{artanh}}(y^{2})-{\text{artanh}}{\bigl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\bigr )}{\biggr ]}\mathrm {d} y}$

Если значение вставить в это интегральное тождество, то получится следующее тождество: ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggl [}2\,E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\,{\text{artanh}}(y^{2})\,\mathrm {d} y=}$

${\displaystyle ={\biggl [}2\arctan(y)-{\frac {1}{y}}(1-y^{2})\,{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=2\arctan(1)={\frac {\pi }{2}}}$

Вот как выглядит этот лемнискатический отрывок из тождества Лежандра:

${\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

Обобщение для общего случая

Теперь разрабатывается модульный общий случай ^{[13] [14]} . Для этого выводятся производные полных эллиптических интегралов после модуля , а затем они объединяются. Затем определяется баланс тождества Лежандра. ${\displaystyle \varepsilon }$

Поскольку производная функции окружности является отрицательным произведением тождественной функции отображения и обратной величины функции окружности:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}=-\,{\frac {\varepsilon }{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}$

Это производные K и E, показанные в этой статье в разделах выше:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )=-\,{\frac {1}{\varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )-E(\varepsilon ){\bigr ]}}$

В сочетании с производной функции окружности эти производные справедливы тогда:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}{\bigl [}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

Тождество Лежандра включает произведения любых двух полных эллиптических интегралов. Для вывода функциональной стороны из шкалы уравнений тождества Лежандра правило произведения теперь применяется следующим образом:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}-E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

Из этих трех уравнений сложение двух верхних уравнений и вычитание нижнего уравнения дает следующий результат:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}=0}$

По отношению к уравнению баланс постоянно дает значение ноль. ${\displaystyle \varepsilon }$

Полученный ранее результат следует объединить с уравнением Лежандра для модуля, полученного в предыдущем разделе: ${\displaystyle \varepsilon =1/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

Комбинация последних двух формул дает следующий результат:

${\displaystyle K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Потому что если производная непрерывной функции постоянно принимает значение ноль, то рассматриваемая функция является постоянной функцией. Это означает, что эта функция приводит к одному и тому же значению функции для каждого значения абсциссы , и график соответствующей функции, следовательно, представляет собой горизонтальную прямую линию. ${\displaystyle \varepsilon }$

Смотрите также

• Математический портал

• Эллиптическая кривая
• Отображение Шварца–Кристоффеля
• Симметричная форма Карлсона
• Эллиптические функции Якоби
• Эллиптические функции Вейерштрасса
• Тета-функция Якоби
• Тета-функция Рамануджана
• Среднее арифметическое–геометрическое
• Период маятника
• Дуга меридиана

Ссылки

Примечания

1. K можно аналитически продолжить на комплексную плоскость .

Ссылки

1. Карлсон 2010, 19.8.
2. Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Pi и AGM: исследование аналитической теории чисел и вычислительной сложности (первое издание). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.стр. 296
3. Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Pi и AGM: исследование аналитической теории чисел и вычислительной сложности (первое издание). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.стр. 298
4. Chowla, S.; Selberg, A. (1949). "О дзета-функции Эпштейна (I)". Труды Национальной академии наук . 35 (7): 373. Bibcode :1949PNAS...35..371C. doi :10.1073/PNAS.35.7.371. PMC 1063041 . PMID  16588908. S2CID  45071481. 
5. Чола, С.; Сельберг, А. (1967). «О дзета-функции Эпштейна». Журнал для королевы и математики . 227 : 86–110.
6. «Эллиптические интегралы Лежандра (Запись 175b7a)».
7. N.Bagis,L.Glasser.(2015)"Оценки непрерывной дроби Рамануджана". Rend.Sem.Mat.Univ.Padova, Vol.133 pp 1-10
8. "Приближения тета-функций Якоби". Гримуар математических функций . Фредрик Йоханссон . Получено 29 августа 2024 г.
9. "Полный эллиптический интеграл второго рода: Представление в виде ряда (Формула 08.01.06.0002)".
10. Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Pi и AGM: исследование аналитической теории чисел и вычислительной сложности (первое издание). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.стр. 26, 161
11. "Legendre-Relation" (на немецком языке) . Получено 29.11.2022 .
12. "Legendre Relation" . Получено 29.11.2022 .
13. "интегрирование - Доказательство соотношения Лежандра для эллиптических кривых" . Получено 2023-02-10 .
14. Архив Интернета (1991), Пол Халмос отмечает 50-летие математики, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97509-8, получено 2023-02-10

Источники

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 17". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 587. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Берд, П. Ф.; Фридман, М. Д. (1971). Справочник по эллиптическим интегралам для инженеров и ученых (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05318-2.
• Карлсон, BC (1995). «Численное вычисление действительных или комплексных эллиптических интегралов». Численные алгоритмы . 10 (1): 13–26. arXiv : math/9409227 . Bibcode :1995NuAlg..10...13C. doi :10.1007/BF02198293. S2CID  11580137.
• Карлсон, BC (2010), «Эллиптический интеграл», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1953). Высшие трансцендентные функции. Том II (PDF) . McGraw-Hill Book Company, Inc., Нью-Йорк-Торонто-Лондон. MR  0058756. Архивировано из оригинала (PDF) 2011-07-14 . Получено 2016-07-24 .
• Градштейн Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. «8.1.». В Цвиллингере, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). ISBN Academic Press, Inc.  978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
• Гринхилл, Альфред Джордж (1892). Приложения эллиптических функций. Нью-Йорк: Macmillan.
• Хэнкок, Харрис (1910). Лекции по теории эллиптических функций. Нью-Йорк: J. Wiley & sons.
• Кинг, Луис В. (1924). О прямом численном вычислении эллиптических функций и интегралов. Cambridge University Press.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Раздел 6.12. Эллиптические интегралы и эллиптические функции Якоби», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, заархивировано из оригинала 2011-08-11 , извлечено 2011-08-09

Внешние ссылки

• «Эллиптический интеграл», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Эрик В. Вайсштейн, «Эллиптический интеграл» (Mathworld)
• Код Matlab для оценки эллиптических интегралов с помощью эллиптического проекта
• Рациональные аппроксимации для полных эллиптических интегралов (Exstrom Laboratories)
• Краткая история теорем сложения эллиптических интегральных функций