Положительно-определенная функция

Бимодальная функция

В математике положительно определенная функция — это, в зависимости от контекста, один из двух типов функций .

Определение 1

Пусть — множество действительных чисел , а — множество комплексных чисел . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Функция называется положительно полуопределенной, если для всех действительных чисел x ₁ , …, x _n матрица n  ×  n ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})}$

является положительной полуопределенной матрицей . ^{[ требуется ссылка ]}

По определению, положительно полуопределенная матрица, такая как , является эрмитовой ; поэтому f (− x ) является комплексно сопряженной матрицей f ( x )). ${\displaystyle A}$

В частности, необходимо (но недостаточно), чтобы

${\displaystyle f(0)\geq 0~,\quad |f(x)|\leq f(0)}$

(эти неравенства следуют из условия для n = 1, 2.)

Функция отрицательно полуопределена, если неравенство обратное. Функция определена , если слабое неравенство заменить сильным (<, > 0).

Примеры

Если - действительное пространство внутреннего произведения , то оно положительно определено для каждого : для всех и всех имеем ${\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle g_{y}\colon X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^{i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_{k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{j=1}^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.}$

Поскольку неотрицательные линейные комбинации положительно определенных функций снова являются положительно определенными, функция косинуса является положительно определенной как неотрицательная линейная комбинация вышеуказанных функций:

${\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+g_{-1}).}$

Можно легко создать положительно определенную функцию из положительно определенной функции для любого векторного пространства : выберите линейную функцию и определите . Тогда ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi \colon X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{*}:=f\circ \phi }$

${\displaystyle u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_{k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\tilde {A}}^{(f)}u\geq 0,}$

где где различны как линейны . [ ^1] ${\displaystyle {\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{k})}$ ${\displaystyle \phi }$

Теорема Бохнера

Положительная определенность естественным образом возникает в теории преобразования Фурье ; можно непосредственно увидеть, что для положительной определенности достаточно, чтобы f была преобразованием Фурье функции g на действительной оси с g ( y ) ≥ 0.

Обратным результатом является теорема Бохнера , утверждающая, что любая непрерывная положительно определенная функция на действительной прямой является преобразованием Фурье (положительной) меры . [ ^2]

Приложения

В статистике , и особенно в байесовской статистике , теорема обычно применяется к действительным функциям. Обычно берутся n скалярных измерений некоторого скалярного значения в точках , и точки, которые находятся близко друг к другу, должны иметь измерения, которые сильно коррелируют. На практике нужно быть осторожным, чтобы гарантировать, что результирующая ковариационная матрица (матрица n  ×  n ) всегда положительно определена. Одна из стратегий заключается в определении корреляционной матрицы A , которая затем умножается на скаляр, чтобы получить ковариационную матрицу : она должна быть положительно определена. Теорема Бохнера утверждает, что если корреляция между двумя точками зависит только от расстояния между ними (через функцию f ), то функция f должна быть положительно определена, чтобы гарантировать, что ковариационная матрица A является положительно определенной. См. Кригинг . ${\displaystyle R^{d}}$

В этом контексте терминология Фурье обычно не используется, а вместо этого утверждается, что f ( x ) является характеристической функцией симметричной функции плотности вероятности (PDF) .

Обобщение

Можно определить положительно-определенные функции на любой локально компактной абелевой топологической группе ; теорема Бохнера распространяется на этот контекст. Положительно-определенные функции на группах естественным образом возникают в теории представлений групп в гильбертовых пространствах (т.е. теории унитарных представлений ).

Определение 2

В качестве альтернативы, функция называется положительно определенной в окрестности D начала координат, если и для каждого ненулевого . ^{[3] [4]} ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(x)>0}$ ${\displaystyle x\in D}$

Обратите внимание, что это определение противоречит определению 1, данному выше.

В физике это требование иногда опускается (см., например, Корни и Олсен ^[5] ). ${\displaystyle f(0)=0}$

Смотрите также

• Положительная определенность
• Положительно-определенное ядро

Ссылки

• Кристиан Берг, Кристенсен, Пол Рессель. Гармонический анализ на полугруппах , GTM, Springer Verlag.
• З. Сасвари, Положительно определенные и определяемые функции , Akademie Verlag, 1994
• Уэллс, Дж. Х.; Уильямс, Л.Р. Вложения и расширения в анализе . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. vii+108 стр.

Примечания

1. Чейни, Эллиот Уорд (2009). Курс теории приближений. Американское математическое общество. С. 77–78. ISBN 9780821847985. Получено 3 февраля 2022 г. .
2. Бохнер, Саломон (1959). Лекции по интегралам Фурье . Princeton University Press.
3. Ферхюльст, Фердинанд (1996). Нелинейные дифференциальные уравнения и динамические системы (2-е изд.). Springer. ISBN 3-540-60934-2.
4. Хан, Вольфганг (1967). Устойчивость движения . Springer.
5. Корни, Дж. Ф.; Олсен, МК (19 февраля 2015 г.). «Негауссовы чистые состояния и положительные функции Вигнера». Physical Review A. 91 ( 2): 023824. arXiv : 1412.4868 . Bibcode : 2015PhRvA..91b3824C. doi : 10.1103/PhysRevA.91.023824. ISSN  1050-2947. S2CID  119293595.

Внешние ссылки

• «Положительно-определенная функция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]