Комплексно сопряженный

Основная операция над комплексными числами

Геометрическое представление ( диаграмма Аргана ) и его сопряженной функции в комплексной плоскости. Комплексно сопряженная функция находится путем отражения относительно действительной оси. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z}$

В математике комплексно сопряженное число комплексного числа — это число с равной действительной частью и мнимой частью, равной по величине, но противоположной по знаку . То есть, если и — действительные числа, то комплексно сопряженное число равно Комплексно сопряженное число часто обозначается как или . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle a-bi.}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z^{*}}$

В полярной форме , если и — действительные числа, то сопряженное число равно Это можно показать с помощью формулы Эйлера . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle re^{i\varphi }}$ ${\displaystyle re^{-i\varphi }.}$

Произведение комплексного числа и его сопряженного числа является действительным числом:  (или  в полярных координатах ). ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle r^{2}}$

Если корень одномерного многочлена с действительными коэффициентами является комплексным, то его комплексно сопряженный элемент также является корнем .

Обозначение

Комплексное сопряжение комплексного числа записывается как или Первая нотация, винкулум , позволяет избежать путаницы с записью для сопряженного транспонирования матрицы , которую можно рассматривать как обобщение комплексного сопряжения. Вторая предпочтительна в физике , где крестик (†) используется для сопряженного транспонирования, а также в электротехнике и вычислительной технике , где обозначение с чертой можно спутать с символом логического отрицания («НЕ») булевой алгебры , в то время как обозначение с чертой более распространено в чистой математике . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z^{*}.}$

Если комплексное число представлено в виде матрицы ${\displaystyle 2\times 2}$ , то обозначения идентичны, а комплексное сопряжение соответствует транспонированной матрице , которая представляет собой переворот по диагонали. ^[1]

Характеристики

Следующие свойства применимы ко всем комплексным числам , если не указано иное, и могут быть доказаны путем записи в форме ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle a+bi.}$

Для любых двух комплексных чисел сопряжение является дистрибутивным относительно сложения, вычитания, умножения и деления: ^{[ссылка 1]} $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {z+w}}&={\overline {z}}+{\overline {w}},\\{\overline {z-w}}&={\overline {z}}-{\overline {w}},\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}\;{\overline {w}},\quad {\text{and}}\\{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}&={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad {\text{if }}w\neq 0.\end{aligned}}}$$

Комплексное число равно своему комплексно сопряженному числу, если его мнимая часть равна нулю, то есть если число действительное. Другими словами, действительные числа являются единственными неподвижными точками сопряжения.

Сопряжение не изменяет модуль комплексного числа: ${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=|z|.}$

Сопряжение — это инволюция , то есть сопряжение сопряженного комплексного числа — это В символах, ^{[ссылка 1]} ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z.}$ ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z.}$

Произведение комплексного числа на его сопряженное число равно квадрату модуля числа: Это позволяет легко вычислить мультипликативную обратную величину комплексного числа, заданного в прямоугольных координатах: $${\displaystyle z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}.}$$ $${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}},\quad {\text{ for all }}z\neq 0.}$$

Сопряжение коммутативно относительно композиции с возведением в целые степени, с показательной функцией и с натуральным логарифмом для ненулевых аргументов: ^{[примечание 1]} $${\displaystyle {\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n},\quad {\text{ for all }}n\in \mathbb {Z} }$$ $${\displaystyle \exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}}$$ $${\displaystyle \ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}{\text{ if }}z{\text{ is not zero or a negative real number }}}$$

Если — многочлен с действительными коэффициентами, то также. Таким образом, недействительные корни действительных многочленов встречаются в комплексно-сопряженных парах ( см. теорему о комплексно-сопряженных корнях ). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(z)=0,}$ ${\displaystyle p\left({\overline {z}}\right)=0}$

В общем случае, если — голоморфная функция , ограничение которой на действительные числа является действительным, а и определены, то ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (z)}$ ${\displaystyle \varphi ({\overline {z}})}$ $${\displaystyle \varphi \left({\overline {z}}\right)={\overline {\varphi (z)}}.\,\!}$$

Отображение из в является гомеоморфизмом (где топология на берется за стандартную топологию) и антилинейным , если рассматривать его как комплексное векторное пространство над собой. Несмотря на то, что оно кажется хорошо себя ведущей функцией, оно не голоморфно ; оно меняет ориентацию, тогда как голоморфные функции локально сохраняют ориентацию. Оно биективно и совместимо с арифметическими операциями, и, следовательно, является полевым автоморфизмом . Поскольку оно сохраняет действительные числа фиксированными, оно является элементом группы Галуа расширения поля Эта группа Галуа имеет только два элемента: и тождество на Таким образом, единственными двумя полевыми автоморфизмами , которые оставляют действительные числа фиксированными, являются тождественное отображение и комплексное сопряжение. ${\displaystyle \sigma (z)={\overline {z}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Использовать как переменную

После того, как задано комплексное число или , его сопряженное число достаточно для воспроизведения частей -переменной : ${\displaystyle z=x+yi}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\displaystyle z}$

• Действительная часть: ${\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}$
• Мнимая часть: ${\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}$
• Модуль (или абсолютное значение) : ${\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}$
• Аргумент : так ${\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},}$ ${\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}}$

Кроме того, может использоваться для указания линий на плоскости: множество представляет собой линию, проходящую через начало координат и перпендикулярную к , поскольку действительная часть равна нулю только тогда, когда косинус угла между и равен нулю. Аналогично, для фиксированной комплексной единицы уравнение определяет линию, проходящую параллельно линии, проходящей через 0 и ${\displaystyle {\overline {z}}}$ $${\displaystyle \left\{z:z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\right\}}$$ ${\displaystyle {r},}$ ${\displaystyle z\cdot {\overline {r}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {r}}$ ${\displaystyle u=e^{ib},}$ $${\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}}$$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle u.}$

Такое использование сопряженной величины в качестве переменной проиллюстрировано в книге Фрэнка Морли «Обратная геометрия» (1933), написанной совместно с его сыном Фрэнком Вигором Морли. ${\displaystyle z}$

Обобщения

Другие плоские действительные унитальные алгебры, дуальные числа и расщепленно-комплексные числа также анализируются с использованием комплексного сопряжения.

Для матриц комплексных чисел, где представляет собой поэлементное сопряжение ^{[ссылка 2]} Сравните это со свойством , где представляет собой сопряженное транспонирование ${\textstyle {\overline {\mathbf {AB} }}=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)\left({\overline {\mathbf {B} }}\right),}$ ${\textstyle {\overline {\mathbf {A} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} .}$ ${\textstyle \left(\mathbf {AB} \right)^{*}=\mathbf {B} ^{*}\mathbf {A} ^{*},}$ ${\textstyle \mathbf {A} ^{*}}$ ${\textstyle \mathbf {A} .}$

Взятие сопряженного транспонирования (или сопряжения) комплексных матриц обобщает комплексное сопряжение. Еще более общей является концепция сопряженного оператора для операторов на (возможно, бесконечномерных) комплексных гильбертовых пространствах . Все это относится к *-операциям C*-алгебр .

Можно также определить сопряжение для кватернионов и расщепленных кватернионов : сопряжение равно ${\textstyle a+bi+cj+dk}$ ${\textstyle a-bi-cj-dk.}$

Все эти обобщения мультипликативны только в том случае, если множители поменять местами: $${\displaystyle {\left(zw\right)}^{*}=w^{*}z^{*}.}$$

Поскольку умножение плоских действительных алгебр коммутативно , то в этом обращении нет необходимости.

Существует также абстрактное понятие сопряжения для векторных пространств над комплексными числами . В этом контексте любое антилинейное отображение , удовлетворяющее ${\textstyle V}$ ${\textstyle \varphi :V\to V}$

1. ${\displaystyle \varphi ^{2}=\operatorname {id} _{V}\,,}$где и есть карта идентичности на ${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi \circ \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$ ${\displaystyle V,}$
2. ${\displaystyle \varphi (zv)={\overline {z}}\varphi (v)}$для всех и ${\displaystyle v\in V,z\in \mathbb {C} ,}$
3. ${\displaystyle \varphi \left(v_{1}+v_{2}\right)=\varphi \left(v_{1}\right)+\varphi \left(v_{2}\right)\,}$для всех ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V,}$

называется комплексным сопряжением или реальной структурой . Поскольку инволюция антилинейна , она не может быть тождественным отображением на ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V.}$

Конечно, является -линейным преобразованием, если отметить, что каждое комплексное пространство имеет действительную форму, полученную путем взятия тех же векторов , что и в исходном пространстве, и ограничения скаляров действительными. Вышеуказанные свойства фактически определяют действительную структуру на комплексном векторном пространстве ^[2] ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle V,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V.}$

Одним из примеров этого понятия является операция сопряженного транспонирования комплексных матриц, определенная выше. Однако на общих комплексных векторных пространствах не существует канонического понятия комплексного сопряжения.

Смотрите также

• Абсолютный квадрат  – произведение числа на само себяPages displaying short descriptions of redirect targets
• Комплексно-сопряженная прямая  – Операция в комплексной геометрии
• Комплексно-сопряженное представление
• Комплексно-сопряженное векторное пространство  – Математическая концепцияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Композиционная алгебра  – Тип алгебр, возможно неассоциативная
• Сопряженные (квадратные корни)  – Изменение знака квадратного корня.
• Эрмитова функция  – Тип комплексной функции
• Производные Виртингера  – Концепция в комплексном анализе

Ссылки

1. Фридберг, Стивен; Инсел, Арнольд; Спенс, Лоуренс (2018), Линейная алгебра (5-е изд.), ISBN 978-0134860244, Приложение D
2. Арфкен, Математические методы для физиков , 1985, стр. 201

Сноски

1. См . Возведение в степень#Нецелые степени комплексных чисел .

Библиография

• Будинич, П. и Траутман, А. Спинорная шахматная доска . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (антилинейные отображения обсуждаются в разделе 3.3). 

1. "Объяснение урока: Матричное представление комплексных чисел | Nagwa". www.nagwa.com . Получено 2023-01-04 .
2. Будинич П. и Траутман А. Спинориальная шахматная доска . Спрингер-Верлаг, 1988, с. 29