В математике меандр или закрытый меандр — это самоизбегающая замкнутая кривая , которая пересекает заданную линию несколько раз, что означает, что она пересекает линию , переходя с одной стороны на другую. Интуитивно меандр можно рассматривать как извилистую реку с прямой дорогой, пересекающей реку по нескольким мостам. Поэтому точки пересечения линии и кривой называются «мостами».
Учитывая фиксированную линию L в евклидовой плоскости , меандр порядка n представляет собой самоизбегающую замкнутую кривую на плоскости, которая пересекает линию в 2 n точках. Два меандра эквивалентны, если один меандр можно непрерывно деформировать в другой, сохраняя при этом свое свойство быть меандром и оставляя неизменным порядок мостов на дороге в том порядке, в котором они пересекаются.
Одиночный меандр первого порядка пересекает линию дважды:
Этот меандр пересекает линию четыре раза и, следовательно, имеет порядок 2:
Есть два меандра второго порядка. При перевороте изображения по вертикали получается второй.
Вот два неэквивалентных меандра третьего порядка, каждый из которых пересекает линию шесть раз:
Число различных меандров порядка n есть меандрическое число Mn . Ниже приведены первые пятнадцать меандрических чисел (последовательность A005315 в OEIS ).
Меандрическая перестановка порядка n определяется на множестве {1, 2, ..., 2 n } и определяется следующим образом:
На диаграмме справа меандрическая перестановка четвертого порядка имеет вид (1 8 5 4 3 6 7 2). Это перестановка , записанная в циклической записи , и ее не следует путать с однострочной записью .
Если π — меандрическая перестановка, то π 2 состоит из двух циклов , один из которых содержит все четные символы, а другой — все нечетные символы. Перестановки с этим свойством называются альтернативными перестановками , поскольку символы в исходной перестановке чередуются между нечетными и четными целыми числами. Однако не все альтернативные перестановки являются меандрическими, поскольку их невозможно нарисовать без введения самопересечения в кривую. Например, альтернативная перестановка третьего порядка (1 4 3 6 5 2) не является меандрической.
Учитывая фиксированную линию L в евклидовой плоскости, открытый меандр порядка n представляет собой несамопересекающуюся кривую на плоскости, которая пересекает линию в n точках. Два открытых меандра эквивалентны, если один можно непрерывно деформировать в другой, сохраняя при этом его свойство быть открытым меандром и оставляя неизменным порядок мостов на дороге в том порядке, в котором они пересекаются.
Разомкнутый меандр 1-го порядка пересекает линию один раз:
Разомкнутый меандр 2-го порядка дважды пересекает линию:
Число различных открытых меандров порядка n есть открытое меандрическое число m n . Ниже приведены первые пятнадцать открытых меандрических чисел (последовательность A005316 в OEIS ).
Учитывая фиксированный ориентированный луч R (замкнутую полупрямую) в евклидовой плоскости, полумеандр порядка n представляет собой несамопересекающуюся замкнутую кривую на плоскости, пересекающую луч в n точках. Два полумеандра эквивалентны, если один можно непрерывно деформировать в другой, сохраняя при этом свое свойство быть полумеандром и оставляя неизменным порядок мостов на луче в том порядке, в котором они пересекаются.
Полумеандр 1-го порядка пересекает луч один раз:
Полумеандр 2-го порядка дважды пересекает луч:
Количество различных полумеандров порядка n представляет собой полумеандрическое число M n (обычно обозначается подчеркиванием вместо подчеркивания). Ниже приведены первые пятнадцать полумеандрических чисел (последовательность A000682 в OEIS ).
Существует инъективная функция от меандрических чисел к открытым меандрическим числам:
Каждое меандрическое число может быть ограничено полумеандрическими числами:
При n > 1 меандрические числа четные :