В геометрии полумногогранник — это однородный звездчатый многогранник , часть граней которого проходит через его центр. Эти «полу» грани лежат параллельно граням какого-то другого симметричного многогранника, и их количество составляет половину количества граней этого другого многогранника - отсюда и префикс «полу». [1]
Префикс «полу» также используется для обозначения определенных проективных многогранников , таких как полукуб , которые представляют собой изображение карты 2 к 1 сферического многогранника с центральной симметрией .
Их символы Витхоффа имеют вид p / ( p − q ) p / q | р ; их вершинные фигуры представляют собой скрещенные четырехугольники . Таким образом, они связаны с согнутыми многогранниками, имеющими аналогичные символы Витхоффа. Конфигурация вершины — p / q .2 r . п / ( п - q ) .2 р . Через центр модели проходят 2 грани r -угольника: если они представлены в виде граней сферических многогранников , они покрывают всю полусферу, а их ребра и вершины лежат вдоль большого круга . Обозначение p / ( p − q ) подразумевает, что грань { p / q } поворачивается назад вокруг вершинной фигуры.
Девять форм, перечисленных с указанием символов Витхоффа и конфигураций вершин:
Обратите внимание, что калейдоскопическая конструкция Витгофа порождает неориентируемые полумногогранники (все, кроме октагемиоктаэдра) как двойные покрытия (два совпадающих полумногогранника).
В евклидовой плоскости последовательность полумногогранников продолжается следующими четырьмя звездчатыми мозаиками, где апейрогоны выглядят как вышеупомянутые экваториальные многоугольники :
Из этих четырёх мозаик только 6/5 6 | ∞ генерируется как двойное накрытие по конструкции Витхоффа.
Только октагемиоктаэдр представляет собой ориентируемую поверхность; остальные полумногогранники имеют неориентируемые или односторонние поверхности. Это связано с тем, что при движении вокруг экваториального 2 r -угольника грани p / q -угольника поочередно указывают «вверх» и «вниз», поэтому любые две последовательные грани имеют противоположные смыслы. Это эквивалентно требованию, чтобы p / q -угольники в соответствующих нижеприведенных квазиправильных многогранниках могли попеременно иметь положительную и отрицательную ориентацию. Но это возможно только для треугольников кубооктаэдра (соответствующих треугольникам октаэдра, единственного правильного многогранника с четным числом граней, сходящихся в вершине), которые в точности являются неполугранями октагемиоктаэдра. [2]
Поскольку полумногогранники имеют грани, проходящие через центр, двойственные фигуры имеют соответствующие вершины в бесконечности; собственно, на реальной проективной плоскости на бесконечности. [3] В « Двойных моделях» Магнуса Веннингера они представлены в виде пересекающихся призм , каждая из которых простирается в обоих направлениях до одной и той же вершины на бесконечности, чтобы сохранить симметрию. На практике призмы модели обрезаются в определенном месте, удобном для производителя. Веннингер предположил, что эти фигуры являются членами нового класса звездчатых фигур, называемых звездчатыми до бесконечности . Однако он также предположил, что, строго говоря, они не являются многогранниками, поскольку их конструкция не соответствует обычным определениям.
Таких двойников девять, имеющих только пять различных внешних форм, четыре из них существуют во внешне идентичных парах. Члены данной визуально идентичной пары различаются расположением истинных и ложных вершин (ложная вершина — это место, где два ребра пересекают друг друга, но не соединяются). Внешние формы:
Полумногогранники встречаются парами как огранки квазиправильных многогранников с четырьмя гранями в вершине. Эти квазиправильные многогранники имеют конфигурацию вершин m . н . м . n и их ребра, кроме того, что образуют m- и n -угольные грани, образуют еще и полуграни полумногогранников. Таким образом, полумногогранники можно получить из квазиправильных многогранников, отбросив либо m -угольники, либо n -угольники (чтобы сохранить две грани на ребре), а затем вставив полуграни. Поскольку либо m -угольники, либо n -угольники могут быть отброшены, любой из двух полумногогранников может быть получен из каждого квазиправильного многогранника, за исключением октаэдра как тетратетраэдра , где m = n = 3 и две грани конгруэнтны. (Эта конструкция не работает для квазиправильных многогранников с шестью гранями в вершине, также известных как дитригональные многогранники , поскольку их ребра не образуют правильных полуграней.) [1]
Поскольку полумногогранники, как и квазиправильные многогранники, также имеют два типа граней, чередующихся вокруг каждой вершины, их иногда также считают квазиправильными. [1]
Здесь m и n соответствуют p / q выше, а h соответствует 2 r выше.