Свойство функций, более слабое, чем непрерывность.
В математическом анализе полунепрерывность (или полунепрерывность ) — свойство расширенных вещественных функций , более слабое, чем непрерывность . Расширенная действительная функция является полунепрерывной сверху (соответственно снизу ) в точке , если, грубо говоря, значения функции для аргументов вблизи ненамного выше (соответственно ниже)
Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она полунепрерывна сверху и снизу. Если мы возьмем непрерывную функцию и увеличим ее значение в определенной точке до некоторого , то результат будет полунепрерывным сверху; если мы уменьшим его значение до, то результат будет полунепрерывным снизу.
Понятие полунепрерывной сверху и снизу функции было впервые введено и изучено Рене Бэром в его диссертации в 1899 году. [1]
Функция называется полунепрерывной сверху в точке, если для любого вещественного числа существует окрестность такая , что для всех . [2]
Эквивалентно, полунепрерывно сверху тогда и только тогда, когда
(5) Функция непрерывна, если кодобласть задана топологией левого порядка . Это всего лишь переформулировка условия (2), поскольку топология левого порядка порождается всеми интервалами .
Нижняя полунепрерывность
Функция называется полунепрерывной снизу в точке, если для любого вещественного числа существует окрестность такая , что для всех . Эквивалентно, полунепрерывно снизу тогда и только тогда, когда
(5) Функция непрерывна, если кодобласть задана топологией правого порядка . Это просто повторная формулировка условия (2), поскольку топология правого порядка порождается всеми интервалами .
Примеры
Рассмотрим функцию , кусочно определенную следующим образом:
Функция пола , которая возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное заданному действительному числу, всюду полунепрерывна сверху. Аналогично функция потолка является полунепрерывной снизу.
Полунепрерывность сверху и снизу не имеет никакого отношения к непрерывности слева или справа для функций действительной переменной. Полунепрерывность определяется с точки зрения упорядочения в области значений функций, а не в области определения. [3] Например, функция
Если - евклидово пространство (или, в более общем смысле, метрическое пространство) и пространство кривых в (с супремумным расстоянием ), то функционал длины , который присваивает каждой кривой ее длину , полунепрерывен снизу. [4] В качестве примера рассмотрим аппроксимацию диагонали единичного квадрата лестницей снизу. Лестница всегда имеет длину 2, а диагональная линия — только длину .
Пусть - пространство с мерой и пусть обозначает множество положительных измеримых функций, наделенных топологией сходимости по мере относительно Тогда по лемме Фату интеграл, рассматриваемый как оператор из до , полунепрерывен снизу.
Характеристики
Если не указано иное, все приведенные ниже функции относятся к топологическому пространству и расширенным действительным числам . Некоторые результаты верны для полунепрерывности в определенной точке, но для краткости они формулируются только с точки зрения полунепрерывности во всей области.
Функция непрерывна тогда и только тогда , когда она полунепрерывна сверху и снизу.
Индикаторная функция множества (определяемая if и if ) является полунепрерывной сверху тогда и только тогда, когда это замкнутое множество . Оно полунепрерывно снизу тогда и только тогда, когда — открытое множество . [примечание 1]
Сумма двух полунепрерывных снизу функций полунепрерывна снизу [5] (при условии, что сумма корректно определена, т. е. не имеет неопределенной формы ). То же самое справедливо и для полунепрерывных сверху функций.
Если обе функции неотрицательны, функция произведения двух полунепрерывных снизу функций является полунепрерывной снизу. Соответствующий результат справедлив для полунепрерывных сверху функций.
Функция полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда она полунепрерывна сверху.
Композиция полунепрерывных сверху функций не обязательно полунепрерывна сверху, но если она еще и неубывающая, то полунепрерывна сверху. [6]
Минимум и максимум двух полунепрерывных снизу функций полунепрерывны снизу. Другими словами, множество всех полунепрерывных снизу функций от до (или до ) образует решетку . То же самое справедливо и для полунепрерывных сверху функций.
Супремум (поточечно) произвольного семейства полунепрерывных снизу функций (определяемых ) полунепрерывен снизу. [7]
В частности, предел монотонно возрастающей последовательности непрерывных функций полунепрерывен снизу. (Приведенная ниже теорема Бэра дает частичное обратное.) Предельная функция, вообще говоря, будет только полунепрерывной снизу, а не непрерывной. Примером служат функции, определенные для for
Аналогично, нижняя грань произвольного семейства полунепрерывных сверху функций полунепрерывна сверху. А предел монотонно убывающей последовательности непрерывных функций полунепрерывен сверху.
( Теорема Бэра ) [примечание 2] Предположим, что пространство метрическое . Всякая полунепрерывная снизу функция является пределом монотонно возрастающей последовательности расширенных вещественнозначных непрерывных функций на ; если не принимает значение , то непрерывные функции можно считать вещественными. [8] [9]
И каждая полунепрерывная сверху функция является пределом монотонно убывающей последовательности расширенных вещественнозначных непрерывных функций на ; если не принимает значение, то непрерывные функции можно считать вещественными.
Если — компактное пространство (например, замкнутый ограниченный интервал ) и полунепрерывно сверху, то имеет максимум на. Если полунепрерывно снизу на , то имеет минимум на
( Доказательство для полунепрерывного сверху случая : согласно условию (5) в определении, оно непрерывно, если задана топология левого порядка. Поэтому его образ компактен в этой топологии. И компактными множествами в этой топологии являются в точности множества с максимумом Альтернативное доказательство см. в статье о теореме о крайнем значении .)
Любая полунепрерывная сверху функция в произвольном топологическом пространстве локально постоянна на некотором плотном открытом подмножестве пространства.
^
В контексте выпуклого анализа характеристическая функция множества определяется по-разному, как будто и если . Согласно этому определению, характеристическая функция любого замкнутого множества полунепрерывна снизу, а характеристическая функция любого открытого множества полунепрерывна сверху.
^ Результат был доказан Рене Бэром в 1904 году для действительной функции, определенной на . Она была распространена на метрические пространства Хансом Ханом в 1917 году, а Хинг Тонг показал в 1952 году, что наиболее общим классом пространств, для которых справедлива теорема, является класс совершенно нормальных пространств . (Подробности и конкретные ссылки см. в Энгелькинге, упражнение 1.7.15(c), стр. 62.)
Рекомендации
^ Верри, Матье. «История математики - Рене Бэр».
^ аб Стромберг, с. 132, Упражнение 4
^ Уиллард, с. 49, задача 7К
^ Джаквинта, Мариано (2007). Математический анализ: линейные и метрические структуры и непрерывность. Джузеппе Модика (1-е изд.). Бостон: Биркхойзер. Теорема 11.3, с.396. ISBN978-0-8176-4514-4. ОСЛК 213079540.
^ Путерман, Мартин Л. (2005). Марковские процессы принятия решений. Дискретное стохастическое динамическое программирование . Уайли-Интерсайенс. стр. 602. ISBN.978-0-471-72782-8.
^ Мур, Джеймс К. (1999). Математические методы экономической теории . Берлин: Шпрингер. п. 143. ИСБН9783540662358.
^ «Показать, что верхняя грань любого набора полунепрерывных снизу функций полунепрерывна снизу».
^ Стромберг, с. 132, Упражнение 4(ж)
^ «Покажите, что полунепрерывная снизу функция является верхней границей возрастающей последовательности непрерывных функций».