В математике верхняя полуплоскость , — это множество точек в декартовой плоскости с Нижняя полуплоскость — это множество точек с вместо. Каждая из них является примером двумерного полупространства .
Аффинные преобразования верхней полуплоскости включают в себя
Предложение: Пусть и — полуокружности в верхней полуплоскости с центрами на границе. Тогда существует аффинное отображение, которое переводит в .
и растянуть. Затем сместить в центр
Определение: .
можно распознать как окружность радиуса с центром в и как полярный график
Предложение: в и являются коллинеарными точками .
На самом деле, является инверсией линии в единичной окружности . Действительно, диагональ от до имеет квадратную длину , так что является обратной величиной этой длины.
Расстояние между любыми двумя точками и в верхней полуплоскости можно последовательно определить следующим образом: перпендикуляр к отрезку от до либо пересекает границу, либо параллелен ей. В последнем случае и лежат на луче, перпендикулярном границе, и логарифмическая мера может быть использована для определения расстояния, которое инвариантно относительно растяжения. В первом случае и лежат на окружности с центром в пересечении их перпендикуляра и границы. По приведенному выше предложению эта окружность может быть перемещена аффинным движением в Расстояния на могут быть определены с помощью соответствия с точками на и логарифмической меры на этом луче. В результате верхняя полуплоскость становится метрическим пространством . Общее название этого метрического пространства — гиперболическая плоскость . В терминах моделей гиперболической геометрии эта модель часто обозначается как модель полуплоскости Пуанкаре .
Математики иногда отождествляют декартову плоскость с комплексной плоскостью , и тогда верхняя полуплоскость соответствует множеству комплексных чисел с положительной мнимой частью :
Термин возникает из общей визуализации комплексного числа как точки на плоскости, наделенной декартовыми координатами . Когда ось ориентирована вертикально, «верхняя полуплоскость » соответствует области над осью и, таким образом, комплексные числа, для которых .
Это область многих функций, представляющих интерес в комплексном анализе , особенно модулярных форм . Нижняя полуплоскость, определяемая , столь же хороша, но по соглашению используется реже. Открытый единичный круг (множество всех комплексных чисел с абсолютным значением меньше единицы) эквивалентен конформным отображением ( см. « Метрика Пуанкаре »), что означает, что обычно можно перейти между и
Она также играет важную роль в гиперболической геометрии , где модель полуплоскости Пуанкаре обеспечивает способ изучения гиперболических движений . Метрика Пуанкаре обеспечивает гиперболическую метрику на пространстве.
Теорема об униформизации поверхностей утверждает, что верхняя полуплоскость является универсальным накрывающим пространством поверхностей с постоянной отрицательной гауссовой кривизной .
Замкнутая верхняя полуплоскость — это объединение верхней полуплоскости и действительной оси. Это замыкание верхней полуплоскости.
Одним из естественных обобщений в дифференциальной геометрии является гиперболическое -пространство максимально симметричное, односвязное , -мерное риманово многообразие с постоянной секционной кривизной . В этой терминологии верхняя полуплоскость поскольку она имеет действительную размерность
В теории чисел теория модулярных форм Гильберта занимается изучением определенных функций на прямом произведении копий верхней полуплоскости. Еще одно пространство, интересное для теоретиков чисел, — это верхнее полупространство Зигеля , которое является областью модулярных форм Зигеля .
