Полупростая алгебра Ли

Прямая сумма простых алгебр Ли

В математике алгебра Ли является полупростой , если она является прямой суммой простых алгебр Ли . (Простая алгебра Ли — это неабелева алгебра Ли без каких-либо ненулевых собственных идеалов .)

На протяжении всей статьи, если не указано иное, алгебра Ли — это конечномерная алгебра Ли над полем характеристики 0. Для такой алгебры Ли , если она не равна нулю, следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$является полупростым;
• форма Киллинга , κ(x,y) = tr(ad( x )ad( y )), является невырожденной ;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$не имеет ненулевых абелевых идеалов;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$не имеет ненулевых разрешимых идеалов;
• радикал (максимальный разрешимый идеал) равен нулю . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Значение

Значимость полупростоты вытекает, во-первых, из разложения Леви , которое утверждает, что каждая конечномерная алгебра Ли является полупрямым произведением разрешимого идеала (его радикала) и полупростой алгебры. В частности, не существует ненулевой алгебры Ли, которая была бы одновременно разрешимой и полупростой.

Полупростые алгебры Ли имеют очень элегантную классификацию, в резком контрасте с разрешимыми алгебрами Ли . Полупростые алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль полностью классифицируются по их корневой системе , которая в свою очередь классифицируется диаграммами Дынкина . Полупростые алгебры над неалгебраически замкнутыми полями можно понять в терминах алгебр над алгебраическим замыканием, хотя классификация несколько сложнее; см. вещественную форму для случая вещественных полупростых алгебр Ли, которые были классифицированы Эли Картаном .

Далее, теория представлений полупростых алгебр Ли гораздо чище, чем для общих алгебр Ли. Например, разложение Йордана в полупростой алгебре Ли совпадает с разложением Йордана в ее представлении; для алгебр Ли в общем случае это не так.

Если полупросто, то . В частности, каждая линейная полупростая алгебра Ли является подалгеброй , специальной линейной алгебры Ли . Изучение структуры составляет важную часть теории представлений полупростых алгебр Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$

История

Полупростые алгебры Ли над комплексными числами были впервые классифицированы Вильгельмом Киллингом (1888–90), хотя его доказательству не хватало строгости. Его доказательство было сделано строгим Эли Картаном (1894) в его докторской диссертации, который также классифицировал полупростые вещественные алгебры Ли. Впоследствии это было уточнено, и нынешняя классификация по диаграммам Дынкина была дана тогда 22-летним Юджином Дынкиным в 1947 году. Были сделаны некоторые незначительные изменения (в частности, Ж. П. Серром), но доказательство не изменилось в своих основах и может быть найдено в любой стандартной ссылке, например, (Humphreys 1972).

Основные свойства

• Каждый идеал, фактор и произведение полупростых алгебр Ли снова полупросты. ^[1]
• Центр полупростой алгебры Ли тривиален (так как центр является абелевым идеалом). Другими словами, присоединенное представление инъективно. Более того, образ оказывается ^[2] производных от . Следовательно , является изоморфизмом. ^[3] (Это частный случай леммы Уайтхеда .) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ ${\displaystyle \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$
• Поскольку присоединенное представление инъективно, полупростая алгебра Ли является линейной алгеброй Ли относительно присоединенного представления. Это может привести к некоторой двусмысленности, поскольку каждая алгебра Ли уже линейна относительно некоторого другого векторного пространства ( теорема Адо ), хотя и не обязательно через присоединенное представление. Однако на практике такая двусмысленность встречается редко.
• Если — полупростая алгебра Ли, то (поскольку является полупростой и абелевой). ^[4] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$
• Конечномерная алгебра Ли над полем k нулевой характеристики является полупростой тогда и только тогда, когда базовое расширение является полупростым для каждого расширения поля . ^[5] Так, например, конечномерная вещественная алгебра Ли является полупростой тогда и только тогда, когда ее комплексификация является полупростой. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{k}F}$ ${\displaystyle F\supset k}$

разложение Жордана

Каждый эндоморфизм x конечномерного векторного пространства над полем нулевой характеристики может быть однозначно разложен на полупростую (т.е. диагонализируемую над алгебраическим замыканием) и нильпотентную часть

${\displaystyle x=s+n\ }$

так что s и n коммутируют друг с другом. Более того, каждый из s и n является полиномом от x . Это разложение Жордана для x .

Вышеизложенное применимо к присоединенному представлению полупростой алгебры Ли . Элемент x из называется полупростым (соответственно нильпотентным), если является полупростым (соответственно нильпотентным) оператором. ^[6] Если , то абстрактное разложение Жордана утверждает, что x можно записать единственным образом как: ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle x=s+n}$

где полупрост, нильпотентен и . ^[7] Более того, если коммутирует с x , то он коммутирует и с обоими . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [s,n]=0}$ ${\displaystyle y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle s,n}$

Абстрактное разложение Жордана пропускается через любое представление в том смысле, что для любого представления ρ, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \rho (x)=\rho (s)+\rho (n)\,}$

является жордановым разложением ρ( x ) в алгебре эндоморфизмов пространства представления. ^[8] (Это доказано как следствие теоремы Вейля о полной приводимости ; см. теорему Вейля о полной приводимости#Применение: сохранение жорданового разложения .)

Структура

Пусть будет (конечномерной) полупростой алгеброй Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль. Структура может быть описана присоединенным действием некоторой выделенной подалгебры на ней, подалгебры Картана . По определению ^[9] подалгебра Картана ( также называемая максимальной торической подалгеброй ) алгебры является максимальной подалгеброй такой, что для каждого , является диагонализируемой . Как оказывается, является абелевой, и поэтому все операторы в одновременно диагонализируемы . Для каждого линейного функционала , пусть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}|\operatorname {ad} (h)x:=[h,x]=\alpha (h)x\,{\text{ for all }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$.

(Обратите внимание, что это централизатор . ) Тогда ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Разложение корневого пространства  —  ^[10] Для заданной подалгебры Картана справедливо следующее и существует разложение (как -модуль): ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

где — множество всех ненулевых линейных функционалов от таких, что . Более того, для каждого , ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }\neq \{0\}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$

• ${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }]\subseteq {\mathfrak {g}}_{\alpha +\beta }}$, что является равенством, если . ${\displaystyle \alpha +\beta \neq 0}$
• ${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]\oplus {\mathfrak {g}}_{-\alpha }\oplus {\mathfrak {g}}_{\alpha }\simeq {\mathfrak {sl}}_{2}}$как алгебра Ли.
• ${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1}$; в частности, . ${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi }$
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2\alpha }=\{0\}}$; другими словами, . ${\displaystyle 2\alpha \not \in \Phi }$
• Относительно формы Киллинга B , ортогональны друг другу, если ; ограничение B на невырождено. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }}$ ${\displaystyle \alpha +\beta \neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

(Самым сложным для доказательства является . Все стандартные доказательства используют некоторые факты из теории представлений ; например, Серр использует тот факт, что -модуль с примитивным элементом отрицательного веса является бесконечномерным, что противоречит .) ${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}<\infty }$

Пусть с коммутационными соотношениями ; т.е. соответствуют стандартному базису . ${\displaystyle h_{\alpha }\in {\mathfrak {h}},e_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha },f_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$ ${\displaystyle [e_{\alpha },f_{\alpha }]=h_{\alpha },[h_{\alpha },e_{\alpha }]=2e_{\alpha },[h_{\alpha },f_{\alpha }]=-2f_{\alpha }}$ ${\displaystyle h_{\alpha },e_{\alpha },f_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

Линейные функционалы в называются корнями относительно . Корни охватывают (так как если , то — нулевой оператор; т.е. находится в центре, который равен нулю.) Более того, из теории представлений выводятся следующие свойства симметрии и интеграла : для каждого , ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \alpha (h)=0,\alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$

• Эндоморфизм

  ${\displaystyle s_{\alpha }:{\mathfrak {h}}^{*}\to {\mathfrak {h}}^{*},\,\gamma \mapsto \gamma -\gamma (h_{\alpha })\alpha }$

  оставляет инвариантным (т.е. ). ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle s_{\alpha }(\Phi )\subset \Phi }$
• ${\displaystyle \beta (h_{\alpha })}$является целым числом.

Обратите внимание, что обладает свойствами (1) и (2), множество неподвижных точек равно , что означает, что является отражением относительно гиперплоскости, соответствующей . Вышеизложенное тогда говорит, что является корневой системой . ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle s_{\alpha }(\alpha )=-\alpha }$ ${\displaystyle \{\gamma \in {\mathfrak {h}}^{*}|\gamma (h_{\alpha })=0\}}$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Phi }$

Из общей теории корневой системы, содержащей базис из , следует , что каждый корень является линейной комбинацией с целыми коэффициентами одного знака; корни называются простыми корнями . Пусть и т.д. Тогда элементы (называемые генераторами Шевалле ) порождают как алгебру Ли. Более того, они удовлетворяют соотношениям (называемым соотношениями Серра ): с , ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle e_{i}=e_{\alpha _{i}}}$ ${\displaystyle 3l}$ ${\displaystyle e_{i},f_{i},h_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle a_{ij}=\alpha _{j}(h_{i})}$

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]=0,}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]=h_{i},[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j,}$

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j},}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (e_{i})^{-a_{ij}+1}(e_{j})=\operatorname {ad} (f_{i})^{-a_{ij}+1}(f_{j})=0,i\neq j}$.

Обратное утверждение также верно: т. е. алгебра Ли, порожденная генераторами и соотношениями, подобными приведенным выше, является (конечномерной) полупростой алгеброй Ли, которая имеет разложение корневого пространства, как указано выше (при условии, что является матрицей Картана ). Это теорема Серра . В частности, две полупростые алгебры Ли изоморфны, если они имеют одну и ту же корневую систему. ${\displaystyle [a_{ij}]_{1\leq i,j\leq l}}$

Следствием аксиоматической природы корневой системы и теоремы Серра является то, что можно перечислить все возможные корневые системы; следовательно, «все возможные» полупростые алгебры Ли (конечномерные над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики).

Группа Вейля — это группа линейных преобразований, порожденных 's. Группа Вейля — важная симметрия задачи; например, веса любого конечномерного представления инвариантны относительно группы Вейля. ^[11] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}\simeq {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Пример разложения корневого пространства в slн(С)

Для и подалгебры Картана диагональных матриц, определяемых как ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}\in {\mathfrak {h}}^{*}}$

${\displaystyle \lambda _{i}(d(a_{1},\ldots ,a_{n}))=a_{i}}$,

где обозначает диагональную матрицу с на диагонали. Тогда разложение задается как ${\displaystyle d(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{i\neq j}{\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}\right)}$

где

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}={\text{Span}}_{\mathbb {C} }(e_{ij})}$

для вектора в со стандартным (матричным) базисом, значение представляет базисный вектор в -й строке и -м столбце. Это разложение имеет связанную корневую систему: ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Phi =\{\lambda _{i}-\lambda _{j}:i\neq j\}}$

сл2(С)

Например, в разложении есть ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{2}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}$

и соответствующая корневая система

${\displaystyle \Phi =\{\lambda _{1}-\lambda _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}\}}$

сл3(С)

В разложении есть ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{2}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{3}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{3}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{1}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{2}}}$

и соответствующая корневая система определяется как

${\displaystyle \Phi =\{\pm (\lambda _{1}-\lambda _{2}),\pm (\lambda _{1}-\lambda _{3}),\pm (\lambda _{2}-\lambda _{3})\}}$

Примеры

Как отмечено в #Structure, полупростые алгебры Ли над (или, в более общем смысле, алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики) классифицируются корневой системой, связанной с их подалгебрами Картана, а корневые системы, в свою очередь, классифицируются их диаграммами Дынкина. Примерами полупростых алгебр Ли, классических алгебр Ли , с обозначениями, полученными из их диаграмм Дынкина , являются: ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• ${\displaystyle A_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}}$, специальная линейная алгебра Ли .
• ${\displaystyle B_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1}}$, нечетномерная специальная ортогональная алгебра Ли .
• ${\displaystyle C_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}}$, симплектическая алгебра Ли .
• ${\displaystyle D_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}$, четномерная специальная ортогональная алгебра Ли ( ). ${\displaystyle n>1}$

Ограничение в семействе необходимо, поскольку оно одномерно и коммутативно, а потому не является полупростым. ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2}}$

Эти алгебры Ли пронумерованы так, что n — это ранг . Почти все эти полупростые алгебры Ли на самом деле простые, и члены этих семейств почти все различны, за исключением некоторых коллизий в малых рангах. Например, и . Эти четыре семейства, вместе с пятью исключениями ( E 6 , E 7 , E 8 , F 4 и G 2 ), на самом деле являются единственными простыми алгебрами Ли над комплексными числами. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\oplus {\mathfrak {so}}_{3}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{5}}$

Классификация

Простые алгебры Ли классифицируются с помощью связных диаграмм Дынкина .

Каждая полупростая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 является прямой суммой простых алгебр Ли (по определению), а конечномерные простые алгебры Ли делятся на четыре семейства — An , _Bn , _Cn и _Dn — _с пятью исключениями E6 , E7 , E8 , F4 и G2 . Простые алгебры Ли классифицируются связными диаграммами Дынкина , показанными справа _{, в то время как полупростые алгебры Ли соответствуют не обязательно связным диаграммам Дынкина , где каждый компонент диаграммы соответствует слагаемому разложения полупростой алгебры Ли} на простые алгебры Ли.

Классификация осуществляется путем рассмотрения подалгебры Картана (см. ниже) и ее сопряженного действия на алгебре Ли. Корневая система действия затем определяет исходную алгебру Ли и должна иметь очень ограниченную форму, которую можно классифицировать с помощью диаграмм Дынкина. Более подробную информацию см. в разделе ниже, описывающем подалгебры Картана и корневые системы.

Классификация широко считается одним из самых элегантных результатов в математике – краткий список аксиом дает, посредством относительно короткого доказательства, полную, но нетривиальную классификацию с удивительной структурой. Это следует сравнить с классификацией конечных простых групп , которая значительно сложнее.

Перечисление четырех семейств не является избыточным и состоит только из простых алгебр, если для A _n , для B _n , для C _n и для D _n . Если начать нумерацию ниже, перечисление будет избыточным, и будут иметься исключительные изоморфизмы между простыми алгебрами Ли, которые отражены в изоморфизмах диаграмм Дынкина ; E _n также может быть продолжено вниз, но ниже E ₆ изоморфны другим, неисключительным алгебрам. ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle n\geq 4}$

Над неалгебраически замкнутым полем классификация более сложная — классифицируются простые алгебры Ли над алгебраическим замыканием, затем для каждого из них классифицируются простые алгебры Ли над исходным полем, которые имеют эту форму (над замыканием). Например, чтобы классифицировать простые действительные алгебры Ли, классифицируются действительные алгебры Ли с заданной комплексификацией, которые известны как действительные формы комплексной алгебры Ли; это можно сделать с помощью диаграмм Сатаке , которые являются диаграммами Дынкина с дополнительными данными («украшениями»). ^[12]

Теория представлений полупростых алгебр Ли

Пусть — (конечномерная) полупростая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Тогда, как в #Структура, где — корневая система. Выберем простые корни в ; тогда корень из называется положительным и обозначается , если он является линейной комбинацией простых корней с неотрицательными целыми коэффициентами. Пусть , которая является максимальной разрешимой подалгеброй , подалгеброй Бореля . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\textstyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\textstyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Пусть V будет (возможно, бесконечномерным) простым -модулем. Если V допускает вектор -веса , ^[13] то он уникален с точностью до масштабирования и называется вектором наибольшего веса V . Он также является вектором -веса , а -вес , линейный функционал от , называется наибольшем весом V . Основные, но нетривиальные факты [ ^14] тогда таковы: (1) для каждого линейного функционала существует простой -модуль, имеющий своим наибольшим весом и (2) два простых модуля, имеющих одинаковый наибольший вес, эквивалентны. Короче говоря, существует биекция между и множеством классов эквивалентности простых -модулей, допускающих вектор борелевского веса. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Для приложений часто интересен конечномерный простой -модуль (конечномерное неприводимое представление). Это особенно актуально, когда является алгеброй Ли группы Ли (или ее комплексификацией), поскольку посредством соответствия Ли представление алгебры Ли может быть интегрировано в представление группы Ли, когда препятствия преодолены. Следующий критерий затем удовлетворяет эту потребность: под положительной камерой Вейля мы подразумеваем выпуклый конус , где является уникальным вектором, таким что . Тогда критерий гласит: ^[15] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle C\subset {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle C=\{\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}|\mu (h_{\alpha })\geq 0,\alpha \in \Phi >0\}}$ ${\displaystyle h_{\alpha }\in [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]}$ ${\displaystyle \alpha (h_{\alpha })=2}$

• ${\displaystyle \dim V^{\mu }<\infty }$тогда и только тогда, когда для каждого положительного корня (1) является целым числом и (2) лежит в . ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \mu (h_{\alpha })}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C}$

Линейный функционал, удовлетворяющий указанному выше эквивалентному условию, называется доминирующим интегральным весом. Следовательно, вкратце, существует биекция между доминирующими интегральными весами и классами эквивалентности конечномерных простых -модулей, результат известен как теорема о наибольшем весе . Характер конечномерного простого модуля в свою очередь вычисляется по формуле характера Вейля . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Теорема Вейля гласит, что над полем нулевой характеристики каждый конечномерный модуль полупростой алгебры Ли вполне приводим ; т. е. является прямой суммой простых -модулей. Следовательно, приведенные выше результаты применимы к конечномерным представлениям полупростой алгебры Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Действительная полупростая алгебра Ли

Для полупростой алгебры Ли над полем, имеющим характеристику ноль, но не являющимся алгебраически замкнутым, не существует общей структурной теории, подобной той, что существует для алгебраически замкнутого поля характеристики ноль. Но над полем действительных чисел все еще существуют структурные результаты.

Пусть — конечномерная вещественная полупростая алгебра Ли и ее комплексификация (которая снова полупроста). Вещественная алгебра Ли называется вещественной формой . Вещественная форма называется компактной, если форма Киллинга на ней отрицательно определена; она обязательно является алгеброй Ли компактной группы Ли (отсюда и название). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }}$

Компактный корпус

Предположим , что — компактная форма и максимальное абелево подпространство. Можно показать (например, из того факта, что — алгебра Ли компактной группы Ли), что состоит из косоэрмитовых матриц, диагонализируемых над с мнимыми собственными значениями. Следовательно, — подалгебра Картана , и это приводит к разложению корневого пространства (ср. #Структура) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

где каждый из них имеет действительное значение на ; таким образом, может быть отождествлен с действительно-линейным функционалом на действительном векторном пространстве . ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle i{\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle i{\mathfrak {h}}}$

Например, пусть и возьмем подпространство всех диагональных матриц. Примечание . Пусть будет линейным функционалом на заданным для . Тогда для каждого , ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle e_{i}(H)=h_{i}}$ ${\displaystyle H=\operatorname {diag} (h_{1},\dots ,h_{n})}$ ${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle [H,E_{ij}]=(e_{i}(H)-e_{j}(H))E_{ij}}$

где — матрица, которая имеет 1 на -ом месте и ноль в других местах. Следовательно, каждый корень имеет вид , а разложение корневого пространства — это разложение матриц: ^[16] ${\displaystyle E_{ij}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =e_{i}-e_{j},i\neq j}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{i\neq j}\mathbb {C} E_{ij}.}$

Некомпактный корпус

Предположим, что не обязательно является компактной формой (т. е. сигнатура формы Киллинга не полностью отрицательна). Предположим, кроме того, что она имеет инволюцию Картана и пусть будет разложением собственного пространства , где — собственные пространства для 1 и -1 соответственно. Например, если и отрицательное транспонирование, то . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}(n)}$

Пусть будет максимальным абелевым подпространством. Теперь состоит из симметричных матриц (относительно подходящего скалярного произведения), и, таким образом, операторы в одновременно диагонализируемы с действительными собственными значениями. Повторяя аргументы для алгебраически замкнутого базового поля, получаем разложение (называемое ограниченным разложением корневого пространства ): ^[17] ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {a}})}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

где

• элементы в называются ограниченными корнями, ${\displaystyle \Phi }$
• ${\displaystyle \theta ({\mathfrak {g}}_{\alpha })={\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$для любого линейного функционала ; в частности, , ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle -\Phi \subset \Phi }$
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {a}}\oplus Z_{\mathfrak {k}}({\mathfrak {a}})}$.

Причем, это корневая система , но не обязательно редуцированная (т.е. может быть, есть оба корня). ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha ,2\alpha }$

Случай sl(n,C)

Если , то можно считать диагональной подалгеброй , состоящей из диагональных матриц, диагональные элементы которых в сумме равны нулю. Поскольку имеет размерность , мы видим, что имеет ранг . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n-1}$

Корневые векторы в этом случае можно рассматривать как матрицы с , где — матрица с 1 в одном месте и нулями в остальных местах. ^[18] Если — диагональная матрица с диагональными элементами , то имеем ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E_{i,j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle E_{i,j}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$

${\displaystyle [H,E_{i,j}]=(\lambda _{i}-\lambda _{j})E_{i,j}}$.

Таким образом, корни для являются линейными функционалами, заданными формулой ${\displaystyle \mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \alpha _{i,j}}$

${\displaystyle \alpha _{i,j}(H)=\lambda _{i}-\lambda _{j}}$.

После идентификации с его дуалом корни становятся векторами в пространстве -кортежей, которые в сумме дают ноль. Это корневая система, известная как в обычной маркировке. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha _{i,j}:=e_{i}-e_{j}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n-1}}$

Отражение, связанное с корнем, действует на , переставляя диагональные элементы и . Группа Вейля тогда является просто группой перестановок на элементах, действующей путем перестановки диагональных элементов матриц в . ${\displaystyle \alpha _{i,j}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Обобщения

Полупростые алгебры Ли допускают определенные обобщения. Во-первых, многие утверждения, верные для полупростых алгебр Ли, верны в более общем смысле для редуктивных алгебр Ли . Абстрактно, редуктивная алгебра Ли — это алгебра, сопряженное представление которой полностью приводимо , тогда как конкретно, редуктивная алгебра Ли — это прямая сумма полупростой алгебры Ли и абелевой алгебры Ли ; например, является полупростой и является редуктивной. Многие свойства полупростых алгебр Ли зависят только от приводимости. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$

Многие свойства комплексных полупростых/редуктивных алгебр Ли верны не только для полупростых/редуктивных алгебр Ли над алгебраически замкнутыми полями, но и в более общем смысле для расщепляемых полупростых/редуктивных алгебр Ли над другими полями: полупростые/редуктивные алгебры Ли над алгебраически замкнутыми полями всегда расщепляются, но над другими полями это не всегда так. Расщепляемые алгебры Ли имеют по сути ту же теорию представлений, что и полупростые алгебры Ли над алгебраически замкнутыми полями, например, расщепляющая подалгебра Картана играет ту же роль, что и подалгебра Картана над алгебраически замкнутыми полями. Такого подхода придерживаются, например, в (Bourbaki 2005), где классифицируются представления расщепляемых полупростых/редуктивных алгебр Ли.

Полупростые и редуктивные группы

Связная группа Ли называется полупростой , если ее алгебра Ли является полупростой алгеброй Ли, т. е. прямой суммой простых алгебр Ли. Она называется редуктивной, если ее алгебра Ли является прямой суммой простых и тривиальных (одномерных) алгебр Ли. Редуктивные группы естественным образом возникают как симметрии ряда математических объектов в алгебре, геометрии и физике. Например, группа симметрий n -мерного вещественного векторного пространства (эквивалентно, группа обратимых матриц) является редуктивной. ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$

Смотрите также

• алгебра Ли
• Корневая система
• Представление алгебры Ли
• Компактная группа
• Простая группа Ли
• подалгебра Бореля
• Теорема Джекобсона–Морозова

Ссылки

1. Serre 2000, Гл. II, § 2, Следствие теоремы 3.
2. Поскольку форма Киллинга B невырождена, то при заданном выводе D существует x такой, что для всех y и тогда, посредством простого вычисления, . ${\displaystyle \operatorname {tr} (D\operatorname {ad} y)=B(x,y)}$ ${\displaystyle D=\operatorname {ad} (x)}$
3. Серр 2000, Гл. II, § 4, Теорема 5.
4. Serre 2000, Гл. II, § 3, Следствие теоремы 4.
5. Якобсон 1979, Следствие в конце главы III, § 4.
6. Серр 2000, Гл. II, § 5. Определение 3.
7. Серр 2000, Гл. II, § 5. Теорема 6.
8. Серр 2000, Гл. II, § 5. Теорема 7.
9. Это определение подалгебры Картана полупростой алгебры Ли, совпадающее с общим.
10. Серр 2000, Гл. VI, § 1.
11. Холл 2015 Теорема 9.3
12. Кнапп 2002 Раздел VI.10
13. Вектор веса также называется примитивным элементом , особенно в старых учебниках. ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$
14. В учебниках эти факты обычно устанавливаются с помощью теории модулей Верма .
15. Серр 2000, Гл. VII, § 4, Теорема 3.
16. Кнапп 2002, Гл. IV, § 1, Пример 1.
17. Кнапп 2002, гл. V, § 2, предложение 5.9.
18. Холл 2015 Раздел 7.7.1

• Бурбаки, Николас (2005), «VIII: Расщепленные полупростые алгебры Ли», Элементы математики: группы Ли и алгебры Ли: Главы 7–9 , Springer, ISBN 9783540434054
• Эрдманн, Карин ; Уайлдон, Марк (2006), Введение в алгебры Ли (1-е изд.), Springer, ISBN 1-84628-040-0.
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7.
• Якобсон, Натан (1979) [1962]. Алгебры Ли . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-63832-4.
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли за пределами введения (2-е изд.), Биркхойзер
• Серр, Жан-Пьер (2000), Алгебры полупростых комплексов Ли [ Комплексные полупростые алгебры Ли ], перевод Джонса, Джорджия, Спрингера, ISBN 978-3-540-67827-4.
• Варадараджан, В.С. (2004), Группы Ли, алгебры Ли и их представления (1-е изд.), Springer, ISBN 0-387-90969-9.