Полюс и полярный

Unique point and line of a conic section

Полярная линия q к точке Q относительно окружности радиуса r с центром в точке O. Точка P является точкой инверсии Q ; поляра — это прямая, проходящая через P и перпендикулярная прямой, содержащей O , P и Q.

В геометрии полюс и поляра — это соответственно точка и линия, имеющие уникальную взаимную связь по отношению к данному коническому сечению .

Полярное движение в данной окружности — это преобразование каждой точки плоскости в ее полярную линию, а каждой линии плоскости — в ее полюс.

Характеристики

Полюс и поляра имеют несколько полезных свойств:

• Если точка P лежит на прямой l , то полюс L прямой l лежит на поляре p точки P.
• Если точка P движется вдоль прямой l , то ее поляра p вращается вокруг полюса L прямой l .
• Если из полюса к коническому сечению можно провести две касательные, то его поляра проходит через обе точки касания.
• Если точка лежит на коническом сечении, то ее поляра — это касательная, проходящая через эту точку к коническому сечению.
• Если точка P лежит на своей полярной линии, то P находится на коническом сечении.
• Каждая линия имеет относительно невырожденного конического сечения ровно один полюс.

Частный случай кругов

Полюсом линии L в окружности C является точка Q , которая является инверсией в C точки P на L , которая находится ближе всего к центру окружности. Наоборот, полярная линия (или поляра ) точки Q в окружности C является линия L, такая , что ее ближайшая к центру окружности точка P является инверсией Q в C.

Если точка A лежит на полярной линии q другой точки Q , то Q лежит на полярной линии a точки A. В более общем случае поляры всех точек на прямой q должны проходить через ее полюс Q.

Связь между полюсами и полярами является взаимной. Таким образом, если точка A лежит на полярной линии q точки Q , то точка Q должна лежать на полярной линии a точки A. Две полярные линии a и q не обязательно должны быть параллельными.

Существует другое описание полярной линии точки P в случае, если она лежит вне окружности C. В этом случае через P проходят две прямые , которые касаются окружности , а поляра P — это линия, соединяющая две точки касания (здесь не показаны). Это показывает, что полюс и полярная линия являются понятиями в проективной геометрии плоскости и обобщаются с любой неособой коникой на месте окружности C.

Полярное взаимное движение

Иллюстрация двойственности между точками и прямыми, а также двойного значения «инцидента». Если две прямые a и k проходят через одну точку Q , то поляра q точки Q соединяет полюса A и K прямых a и k соответственно.

Понятия полюса и его полярной линии были развиты в проективной геометрии . Например, полярную линию можно рассматривать как множество проективных гармонических сопряжений данной точки, полюса, относительно коники. Операция замены каждой точки ее полярой и наоборот известна как полярность.

Полярность — это корреляция , которая также является инволюцией .

Для некоторой точки P и ее поляры p любая другая точка Q на p является полюсом прямой q, проходящей через P. Это включает в себя взаимное отношение и является отношением, в котором инцидентности сохраняются. ^[1]

Общие конические сечения

Линия p является полярной линией к точке P , l к точке L и m к точке M.

p — полярная линия к точке P  ; m — полярная линия к точке M

Понятия полюса, поляры и взаимного перемещения могут быть обобщены с окружностей на другие конические сечения , которые являются эллипсом , гиперболой и параболой . Это обобщение возможно, поскольку конические сечения являются результатом взаимного перемещения окружности в другой окружности, и соответствующие свойства, такие как инцидентность и двойное отношение , сохраняются при всех проективных преобразованиях .

Вычисление поляры точки

Общее коническое сечение можно записать в виде уравнения второй степени в декартовых координатах ( x , y ) плоскости

$${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0}$$

где A _xx , A _xy , A _yy , B _x , B _y и C — константы, определяющие уравнение. Для такого конического сечения полярная линия к заданной точке полюса ( ξ , η ) определяется уравнением

$${\displaystyle Dx+Ey+F=0\,}$$

где D , E и F также являются константами, зависящими от координат полюса ( ξ , η )

$${\displaystyle {\begin{aligned}D&=A_{xx}\xi +A_{xy}\eta +B_{x}\\E&=A_{xy}\xi +A_{yy}\eta +B_{y}\\F&=B_{x}\xi +B_{y}\eta +C\end{aligned}}}$$

Расчет полюса линии

Полюс линии относительно невырожденного конического сечения можно вычислить в два этапа. ${\displaystyle Dx+Ey+F=0}$ $${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0}$$

Сначала вычислим числа x, y и z из

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}D\\E\\F\end{bmatrix}}}$$

Теперь полюс — это точка с координатами ${\displaystyle \left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)}$

Таблицы для полюсно-полярных отношений

• Полюсно-полярное соотношение для эллипса
• Полюсно-полярное соотношение для гиперболы
• Полюсно-полярное соотношение для параболы

Через полный четырехугольник

В проективной геометрии две прямые на плоскости всегда пересекаются. Таким образом, если заданы четыре точки, образующие полный четырехугольник , то прямые, соединяющие эти точки, пересекаются еще в трех диагональных точках .

Дана точка Z, не лежащая на конике C , проведите две секущие из Z через C , пересекающиеся в точках A , B , D и E. Тогда эти четыре точки образуют полный четырехугольник, а Z находится в одной из диагональных точек. Линия, соединяющая две другие диагональные точки, является полярой Z , а Z является полюсом этой линии. ^[2]

Приложения

Полюса и поляры были определены Жозефом Диасом Жергоном и сыграли важную роль в его решении проблемы Аполлония . ^[3]

В плоской динамике полюс является центром вращения, поляра — линией действия силы, а коника — матрицей массы и инерции. ^[4] Соотношение полюс–поляра используется для определения центра удара плоского твердого тела. Если полюс — это точка шарнира, то поляра — это линия действия удара, как описано в теории плоского винта .

Смотрите также

• Двойной полигон
• Двойной многогранник
• Полярная кривая

Библиография

• Джонсон РА (1960). Продвинутая евклидова геометрия: Элементарный трактат по геометрии треугольника и окружности . Нью-Йорк: Dover Publications. С. 100–105.
• Coxeter HSM , Greitzer SL (1967). Geometry Revisited . Вашингтон : MAA . С. 132–136, 150. ISBN 978-0-88385-619-2.
• Грей Дж. Дж. (2007). Миры из ничего: курс истории геометрии в 19 веке . Лондон: Springer Verlag. С. 21. ISBN 978-1-84628-632-2.
• Корн ГА, Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 43–45. LCCN  59014456. Мягкая версия, опубликованная Dover Publications, имеет ISBN 978-0-486-41147-7 . 
• Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии издательства Penguin. Нью-Йорк: Penguin Books. С. 190–191. ISBN 0-14-011813-6.

Ссылки

1. Эдвардс, Лоуренс; Проективная геометрия , 2-е изд., Флорис (2003). С. 125-6.
2. GB Halsted (1906) Синтетическая проективная геометрия, стр. 25 через интернет-архив
3. "Проблема Аполлония: исследование решений и их связей" (PDF) . Получено 2013-06-04 .
4. Тезис Джона Алексиу, Глава 5, стр. 80–108 Архивировано 19 июля 2011 г. на Wayback Machine

Внешние ссылки

• Интерактивная анимация с несколькими полюсами и полярностями в Cut-the-Knot
• Интерактивная анимация с одним полюсом и его полярностью
• Интерактивное 3D с цветными множественными полюсами/полярами - с открытым исходным кодом
• Вайсштейн, Эрик В. "Polar". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Взаимное движение». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Инверсионный полюс». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. "Взаимная кривая". MathWorld .
• Учебник по математике-изобилие