Поле дробей

Концепция абстрактной алгебры

В абстрактной алгебре поле дробей целостной области — это наименьшее поле , в которое оно может быть вложено . Построение поля дробей моделируется на основе связи между целостной областью целых чисел и полем рациональных чисел . Интуитивно оно состоит из соотношений между элементами целостной области.

Поле дробей области целостности иногда обозначается как или , а конструкция иногда также называется полем дробей , полем частных или полем частных . Все четыре широко используются, но их не следует путать с частным кольца по идеалу , что является совершенно иной концепцией. Для коммутативного кольца , которое не является областью целостности, аналогичная конструкция называется локализацией или кольцом частных. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Quot} (R)}$ ${\displaystyle R}$

Определение

При наличии целостной области и допуская , мы определяем отношение эквивалентности на , допуская всякий раз, когда . Мы обозначаем класс эквивалентности через . Это понятие эквивалентности мотивировано рациональными числами , которые имеют то же свойство по отношению к базовому кольцу целых чисел. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{*}=R\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle R\times R^{*}}$ ${\displaystyle (n,d)\sim (m,b)}$ ${\displaystyle nb=md}$ ${\displaystyle (n,d)}$ ${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Тогда поле дробей — это множество со сложением, заданным формулой ${\displaystyle {\text{Frac}}(R)=(R\times R^{*})/\sim }$

${\displaystyle {\frac {n}{d}}+{\frac {m}{b}}={\frac {nb+md}{db}}}$

и умножение дано

${\displaystyle {\frac {n}{d}}\cdot {\frac {m}{b}}={\frac {nm}{db}}.}$

Можно проверить, что эти операции хорошо определены и что для любой целостной области , действительно является полем. В частности, для , мультипликативная инверсия для , как и ожидалось: . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{Frac}}(R)}$ ${\displaystyle n,d\neq 0}$ ${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{n}}\cdot {\frac {n}{d}}=1}$

Вложение в отображает каждое в дробь для любого ненулевого (класс эквивалентности не зависит от выбора ). Это моделируется на основе тождества . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\frac {en}{e}}}$ ${\displaystyle e\in R}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$

Поле дробей характеризуется следующим универсальным свойством : ${\displaystyle R}$

если — инъективный гомоморфизм колец из в поле , то существует единственный гомоморфизм колец , который продолжается . ${\displaystyle h:R\to F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle g:\operatorname {Frac} (R)\to F}$ ${\displaystyle h}$

Существует категорная интерпретация этой конструкции. Пусть — категория областей целостности и инъективных кольцевых отображений. Функтор из в категорию полей , который переводит каждую область целостности в ее поле дробей, а каждый гомоморфизм — в индуцированное отображение на полях ( существующее по универсальному свойству), является левым сопряженным функтора включения из категории полей в . Таким образом, категория полей (которая является полной подкатегорией) является рефлективной подкатегорией . ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Мультипликативное тождество не требуется для роли области целостности; эта конструкция может быть применена к любому ненулевому коммутативному rng без ненулевых делителей нуля . Вложение дается для любого ненулевого . ^[1] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r\mapsto {\frac {rs}{s}}}$ ${\displaystyle s\in R}$

Примеры

• Поле дробей кольца целых чисел — это поле рациональных чисел : . ${\displaystyle \mathbb {Q} =\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )}$
• Пусть — кольцо целых гауссовых чисел . Тогда — поле рациональных гауссовых чисел . ${\displaystyle R:=\{a+b\mathrm {i} \mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \}}$
• Поле дробей поля канонически изоморфно самому полю.
• Для данного поля поле дробей кольца многочленов с одной неизвестной (которая является областью целостности) называется ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[X]}$поле рациональных функций ,поле рациональных дробейилиполе рациональных выражений^[2][3][4][5]и обозначается. ${\displaystyle K(X)}$
• Поле дробей кольца свертки функций полупрямой дает пространство операторов , включая дельта-функцию Дирака , дифференциальный оператор и интегральный оператор . Эта конструкция дает альтернативное представление преобразования Лапласа , которое не зависит явно от интегрального преобразования. ^[6]

Обобщения

Локализация

Для любого коммутативного кольца и любого мультипликативного множества в локализация представляет собой коммутативное кольцо, состоящее из дробей ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$

с и , где теперь эквивалентно тогда и только тогда, когда существует такое, что . ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle (r,s)}$ ${\displaystyle (r',s')}$ ${\displaystyle t\in S}$ ${\displaystyle t(rs'-r's)=0}$

Примечательны два особых случая:

• Если — дополнение простого идеала , то также обозначается . Когда — область целостности и — нулевой идеал, — поле дробей . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R_{P}}$
  ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R_{P}}$ ${\displaystyle R}$
• Если — множество неделителей нуля в , то называется полным кольцом частных . Полное кольцо частных области целостности — это ее поле дробей, но полное кольцо частных определено для любого коммутативного кольца . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$
  

Обратите внимание, что допускается, чтобы он содержал 0, но в этом случае будет тривиальное кольцо . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

Полуполе дробей

Полуполе дробей коммутативного полукольца без делителей нуля — это наименьшее полуполе , в которое оно может быть вложено .

Элементами полуполя дробей коммутативного полукольца являются классы эквивалентности, записываемые как ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

с и в . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R}$

Смотрите также

• Условие Оре ; условие, связанное с построением дробей в некоммутативном случае.
• Полное кольцо дробей

Ссылки

1. Хангерфорд, Томас В. (1980). Алгебра (пересмотренное 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer. С. 142–144. ISBN 3540905189.
2. Винберг, Эрнест Борисович (2003). Курс алгебры. Американское математическое общество. стр. 131. ISBN 978-0-8218-8394-5.
3. Фолдес, Стефан (1994). Фундаментальные структуры алгебры и дискретной математики . Wiley. стр. 128. ISBN 0-471-57180-6.
4. Гриле, Пьер Антуан (2007). "3.5 Кольца: Полиномы от одной переменной". Абстрактная алгебра . Springer. стр. 124. ISBN 978-0-387-71568-1.
5. Маречек, Линн; Матис, Андреа Ханикатт (6 мая 2020 г.). Промежуточная алгебра 2e. OpenStax . §7.1.
6. Микусинский, Ян (14 июля 2014 г.). Операционный исчисление. Elsevier. ISBN 9781483278933.