В геометрии полярная окружность треугольника — это окружность , центр которой является ортоцентром треугольника , а квадрат радиуса равен
где A, B, C обозначают как вершины треугольника , так и угловые меры в этих вершинах; H — ортоцентр (точка пересечения высот треугольника ); D, E, F — основания высот из вершин A, B, C соответственно; R — радиус описанной окружности треугольника (радиус описанной окружности ); и a, b, c — длины сторон треугольника, противолежащих вершинам A, B, C соответственно. [1] : стр. 176
Первые части формулы радиуса отражают тот факт, что ортоцентр делит высоты на пары сегментов равных произведений. Тригонометрическая формула для радиуса показывает, что полярная окружность имеет реальное существование только если треугольник тупой , поэтому один из его углов тупой и, следовательно, имеет отрицательный косинус .
Любые две полярные окружности двух треугольников в ортоцентрической системе являются ортогональными . [1] : стр. 177
Полярные окружности треугольников полного четырехугольника образуют коаксиальную систему. [1] : стр. 179
Самым важным свойством полярного круга является то, что треугольник является самополярным: поляра каждой стороны/точки является противоположной стороной/точкой.
Описанная окружность треугольника, его окружность девяти точек , его полярная окружность и описанная окружность его касательного треугольника являются коаксиальными. [2] : стр. 241
![{\displaystyle \displaystyle {\begin{align}r^{2}&={\overline {HA}}\times {\overline {HD}}={\overline {HB}}\times {\overline {HE}}={\overline {HC}}\times {\overline {HF}}\\[4pt]&=-4R^{2}\cos A\cos B\cos C\\[4pt]&=4R^{2}-{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}\end{align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324e26fa5cbad3b3df49752b826167addcf416da)