В геометрии и науке поперечное сечение — это непустое пересечение твердого тела в трехмерном пространстве с плоскостью или аналогом в многомерных пространствах . Разрезание объекта на слои создает множество параллельных поперечных сечений. Граница поперечного сечения в трехмерном пространстве, которая параллельна двум осям , то есть параллельна плоскости, определяемой этими осями, иногда называется контурной линией ; например, если плоскость пересекает горы рельефной карты параллельно земле, результатом будет контурная линия в двумерном пространстве, показывающая точки на поверхности гор одинаковой высоты .
В техническом рисовании поперечное сечение, являющееся проекцией объекта на пересекающую его плоскость, является распространенным инструментом, используемым для изображения внутреннего расположения трехмерного объекта в двух измерениях. Традиционно оно заштриховано , причем стиль штриховки часто указывает на типы используемых материалов.
С помощью компьютерной аксиальной томографии компьютеры могут строить поперечные сечения на основе рентгеновских данных.
Если плоскость пересекает тело (трехмерный объект), то область, общая для плоскости и тела, называется поперечным сечением тела. [1] Плоскость, содержащая поперечное сечение тела, может называться секущей плоскостью .
Форма поперечного сечения твердого тела может зависеть от ориентации плоскости сечения по отношению к телу. Например, в то время как все поперечные сечения шара являются дисками, [2] поперечные сечения куба зависят от того, как плоскость сечения связана с кубом. Если плоскость сечения перпендикулярна линии, соединяющей центры двух противоположных граней куба, поперечное сечение будет квадратом, однако, если плоскость сечения перпендикулярна диагонали куба, соединяющей противоположные вершины, поперечное сечение может быть либо точкой, либо треугольником, либо шестиугольником.
Связанное понятие — плоское сечение , представляющее собой кривую пересечения плоскости с поверхностью . [3] Таким образом, плоское сечение — это граница поперечного сечения твердого тела в секущей плоскости.
Если поверхность в трехмерном пространстве определяется функцией двух переменных, то есть z = f ( x , y ) , то плоские сечения секущими плоскостями, параллельными координатной плоскости (плоскости, определяемой двумя осями координат), называются кривыми уровня или изолиниями . [4] Более конкретно, секущие плоскости с уравнениями вида z = k (плоскости, параллельные плоскости xy ) создают плоские сечения, которые в прикладных областях часто называют контурными линиями .
Поперечное сечение многогранника представляет собой многоугольник .
Конические сечения — окружности , эллипсы , параболы и гиперболы — представляют собой плоские сечения конуса с секущими плоскостями под разными углами, как показано на схеме слева.
Любое поперечное сечение, проходящее через центр эллипсоида , образует эллиптическую область, в то время как соответствующие плоские сечения являются эллипсами на его поверхности. Они вырождаются в диски и окружности, соответственно, когда плоскости сечения перпендикулярны оси симметрии. В более общем случае плоские сечения квадрики являются коническими сечениями. [5]
Поперечное сечение сплошного прямого кругового цилиндра, простирающееся между двумя основаниями, является диском , если поперечное сечение параллельно основанию цилиндра, или эллиптической областью (см. рисунок справа), если оно не параллельно и не перпендикулярно основанию. Если секущая плоскость перпендикулярна основанию, она состоит из прямоугольника ( не показан), если только она не касается только цилиндра, в этом случае она представляет собой один отрезок прямой .
Термин цилиндр может также означать боковую поверхность сплошного цилиндра (см. цилиндр (геометрия) ). Если цилиндр используется в этом смысле, то приведенный выше абзац будет читаться следующим образом: Плоское сечение прямого кругового цилиндра конечной длины [6] является окружностью , если секущая плоскость перпендикулярна оси симметрии цилиндра, или эллипсом, если она не параллельна и не перпендикулярна этой оси. Если секущая плоскость параллельна оси, плоское сечение состоит из пары параллельных отрезков прямых, если только секущая плоскость не касается цилиндра, в этом случае плоское сечение является одним отрезком прямой.
Плоское сечение может быть использовано для визуализации частной производной функции по одному из ее аргументов, как показано. Предположим, что z = f ( x , y ) . При взятии частной производной f ( x , y ) по x , можно взять плоское сечение функции f при фиксированном значении y , чтобы построить кривую уровня z исключительно по x ; тогда частная производная по x будет наклоном полученного двумерного графика.
Плоское сечение функции плотности вероятности двух случайных величин , в котором плоскость сечения находится при фиксированном значении одной из переменных, является условной функцией плотности другой переменной (обусловленной фиксированным значением, определяющим плоское сечение). Если вместо этого плоское сечение берется для фиксированного значения плотности, результатом будет контур изоплотности . Для нормального распределения эти контуры являются эллипсами.
В экономике производственная функция f ( x , y ) определяет выпуск, который может быть произведен различными количествами x и y затрат, обычно труда и физического капитала. Производственную функцию фирмы или общества можно изобразить в трехмерном пространстве. Если взять плоскость сечения, параллельную плоскости xy , результатом будет изокванта, показывающая различные комбинации использования труда и капитала, которые приведут к уровню выпуска, заданному высотой плоской секции. В качестве альтернативы, если взять плоскость сечения производственной функции на фиксированном уровне y — то есть параллельно плоскости xz — то результатом будет двумерный график, показывающий, сколько продукции может быть произведено при каждом из различных значений использования x одного ресурса в сочетании с фиксированным значением другого ресурса y .
Также в экономике кардинальная или порядковая функция полезности u ( w , v ) дает степень удовлетворения потребителя, полученную от потребления количеств w и v двух товаров. Если взять плоское сечение функции полезности на заданной высоте (уровень полезности), двумерный результат представляет собой кривую безразличия, показывающую различные альтернативные комбинации потребляемых количеств w и v двух товаров, каждое из которых дает указанный уровень полезности.
Принцип Кавальери гласит, что твердые тела с соответствующими поперечными сечениями равной площади имеют равные объемы.
Площадь поперечного сечения ( ) объекта при просмотре под определенным углом — это общая площадь ортогональной проекции объекта под этим углом. Например, цилиндр высотой h и радиусом r имеет при просмотре вдоль его центральной оси и при просмотре с ортогонального направления. Сфера радиусом r имеет при просмотре под любым углом. В более общем смысле, может быть рассчитана путем оценки следующего поверхностного интеграла:
где — единичный вектор, указывающий вдоль направления взгляда к наблюдателю, — элемент поверхности с направленной наружу нормалью, а интеграл берется только по самой верхней поверхности, той части поверхности, которая «видима» с точки зрения наблюдателя. Для выпуклого тела каждый луч, проходящий через объект с точки зрения наблюдателя, пересекает только две поверхности. Для таких объектов интеграл можно взять по всей поверхности ( ), взяв абсолютное значение подынтегрального выражения (так, чтобы «верх» и «низ» объекта не вычитались, как того требует теорема о расходимости, примененная к постоянному векторному полю ) и разделив на два:
По аналогии с поперечным сечением твердого тела, поперечное сечение n -мерного тела в n -мерном пространстве является непустым пересечением тела с гиперплоскостью ( ( n − 1) -мерным подпространством). Эта концепция иногда использовалась для визуализации аспектов пространств более высоких измерений. [7] Например, если бы четырехмерный объект прошел через наше трехмерное пространство, мы бы увидели трехмерное поперечное сечение четырехмерного объекта. В частности, 4-шар (гиперсфера), проходящий через 3-пространство, выглядел бы как 3-шар, который увеличился до максимума, а затем уменьшился в размере во время перехода. Этот динамический объект (с точки зрения 3-пространства) является последовательностью поперечных сечений 4-шара.
В геологии строение внутренней части планеты часто иллюстрируется с помощью диаграммы поперечного сечения планеты, проходящего через ее центр, как в поперечном сечении Земли справа.
Поперечные сечения часто используются в анатомии для иллюстрации внутренней структуры органа, как показано слева.
Поперечное сечение ствола дерева , показанное слева, демонстрирует годичные кольца , которые можно использовать для определения возраста дерева и временных свойств его среды.
