Статистика заказов

K-е наименьшее значение в статистической выборке

Плотность распределения вероятностей порядковых статистик для выборки размера n  = 5 из экспоненциального распределения с единичным параметром масштаба

В статистике статистика порядка k статистической выборки равна ее наименьшему значению порядка k . [ ^1] Вместе с ранговой статистикой порядковая статистика является одним из самых фундаментальных инструментов в непараметрической статистике и выводе .

Важными частными случаями порядковой статистики являются минимальное и максимальное значение выборки, а также (с некоторыми оговорками, которые обсуждаются ниже) медиана выборки и другие квантили выборки .

При использовании теории вероятностей для анализа порядковых статистик случайных выборок из непрерывного распределения кумулятивная функция распределения используется для сведения анализа к случаю порядковых статистик равномерного распределения .

Обозначения и примеры

Например, предположим, что наблюдаются или регистрируются четыре числа, в результате чего получается выборка размером 4. Если значения выборки равны

6, 9, 3, 7,

статистика заказа будет обозначена

${\displaystyle x_{(1)}=3,\ \ x_{(2)}=6,\ \ x_{(3)}=7,\ \ x_{(4)}=9,\,}$

где нижний индекс ( i ), заключенный в скобки, указывает на статистику i -го порядка выборки.

Статистика первого порядка (или статистика наименьшего порядка ) всегда является минимумом выборки, то есть,

${\displaystyle X_{(1)}=\min\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}}$

где, следуя общепринятому соглашению, мы используем заглавные буквы для обозначения случайных величин, а строчные буквы (как выше) — для обозначения их фактических наблюдаемых значений.

Аналогично, для выборки размера n статистика n- го порядка (или статистика наибольшего порядка ) является максимальной , то есть,

${\displaystyle X_{(n)}=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}.}$

Диапазон выборки — это разница между максимумом и минимумом. Это функция статистики порядка:

${\displaystyle {\rm {Range}}\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}=X_{(n)}-X_{(1)}.}$

Аналогичная важная статистика в разведочном анализе данных , которая просто связана с порядковой статистикой, — это выборочный межквартильный размах .

Выборочная медиана может быть или не быть порядковой статистикой, поскольку существует единственное среднее значение только тогда, когда число наблюдений n нечетно . Точнее, если n = 2 m +1 для некоторого целого числа m, то выборочная медиана равна и, следовательно, является порядковой статистикой. С другой стороны, когда n четно, n = 2 m и есть два средних значения , и , и выборочная медиана является некоторой функцией этих двух (обычно средним) и, следовательно, не является порядковой статистикой. Аналогичные замечания применимы ко всем выборочным квантилям. ${\displaystyle X_{(m+1)}}$ ${\displaystyle X_{(m)}}$ ${\displaystyle X_{(m+1)}}$

Вероятностный анализ

Для любых случайных величин X ₁ , X ₂ , ..., X _n порядковые статистики X ₍₁₎ , X ₍₂₎ , ..., X _{( n )} также являются случайными величинами, определяемыми путем сортировки значений ( реализаций ) X ₁ , ..., X _n в порядке возрастания.

Когда случайные величины X ₁ , X ₂ , ..., X _n образуют выборку , они независимы и одинаково распределены . Этот случай рассматривается ниже. В общем случае случайные величины X ₁ , ..., X _n могут возникать при выборке из более чем одной популяции. Тогда они независимы , но не обязательно одинаково распределены, и их совместное распределение вероятностей задается теоремой Бапата–Бега .

С этого момента мы будем предполагать, что рассматриваемые случайные величины непрерывны и, где это удобно, будем также предполагать, что они имеют функцию плотности вероятности (PDF), то есть они абсолютно непрерывны . Особенности анализа распределений, присваивающих масса точкам (в частности, дискретных распределений ), обсуждаются в конце.

Кумулятивная функция распределения статистики заказов

Для случайной выборки, как указано выше, с кумулятивным распределением , порядковые статистики для этой выборки имеют следующие кумулятивные распределения ^[2] (где r указывает, какая порядковая статистика): ${\displaystyle F_{X}(x)}$

${\displaystyle F_{X_{(r)}}(x)=\sum _{j=r}^{n}{\binom {n}{j}}[F_{X}(x)]^{j}[1-F_{X}(x)]^{n-j}}$

соответствующая функция плотности вероятности может быть получена из этого результата и оказывается равной

${\displaystyle f_{X_{(r)}}(x)={\frac {n!}{(r-1)!(n-r)!}}f_{X}(x)[F_{X}(x)]^{r-1}[1-F_{X}(x)]^{n-r}.}$

Более того, существуют два особых случая, для которых функции распределения вероятности легко вычислить.

${\displaystyle F_{X_{(n)}}(x)=\operatorname {Prob} (\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}\leq x)=[F_{X}(x)]^{n}}$

${\displaystyle F_{X_{(1)}}(x)=\operatorname {Prob} (\min\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}\leq x)=1-[1-F_{X}(x)]^{n}}$

Который можно вывести путем тщательного рассмотрения вероятностей.

Распределение вероятностей порядковых статистик

Статистика заказов, выбранная из равномерного распределения

В этом разделе мы показываем, что порядковые статистики равномерного распределения на единичном интервале имеют маргинальные распределения, принадлежащие семейству бета-распределений . Мы также даем простой метод вывода совместного распределения любого количества порядковых статистик и, наконец, переводим эти результаты в произвольные непрерывные распределения с помощью cdf .

В этом разделе мы предполагаем, что случайная выборка взята из непрерывного распределения с cdf . Обозначая , мы получаем соответствующую случайную выборку из стандартного равномерного распределения . Обратите внимание, что порядковые статистики также удовлетворяют . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle U_{i}=F_{X}(X_{i})}$ ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$ ${\displaystyle U_{(i)}=F_{X}(X_{(i)})}$

Функция плотности вероятности порядковой статистики равна ^[3] ${\displaystyle U_{(k)}}$

${\displaystyle f_{U_{(k)}}(u)={n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}(1-u)^{n-k}}$

то есть, статистика порядка k равномерного распределения является бета-распределенной случайной величиной. ^{[3] [4]}

${\displaystyle U_{(k)}\sim \operatorname {Beta} (k,n+1\mathbf {-} k).}$

Доказательство этих утверждений следующее. Для того, чтобы быть между u и u  +  du , необходимо, чтобы ровно k  − 1 элементов выборки были меньше u , и чтобы по крайней мере один находился между u и u  + d u . Вероятность того, что более одного находится в этом последнем интервале, уже равна , поэтому мы должны вычислить вероятность того, что ровно k  − 1, 1 и n  −  k наблюдений попадут в интервалы , и соответственно. Это равно (см. мультиномиальное распределение для получения подробной информации) ${\displaystyle U_{(k)}}$ ${\displaystyle O(du^{2})}$ ${\displaystyle (0,u)}$ ${\displaystyle (u,u+du)}$ ${\displaystyle (u+du,1)}$

${\displaystyle {n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}\cdot du\cdot (1-u-du)^{n-k}}$

и вот результат.

Среднее значение этого распределения равно k / ( n + 1).

Совместное распределение порядковых статистик равномерного распределения

Аналогично, для i  <  j можно показать , что совместная функция плотности вероятности двух порядковых статистик U _{( i )}  <  U _{( j ) имеет вид}

${\displaystyle f_{U_{(i)},U_{(j)}}(u,v)=n!{u^{i-1} \over (i-1)!}{(v-u)^{j-i-1} \over (j-i-1)!}{(1-v)^{n-j} \over (n-j)!}}$

что представляет собой (с точностью до членов более высокого порядка, чем ) вероятность того, что i  − 1, 1, j  − 1 −  i , 1 и n  −  j элементов выборки попадают в интервалы , , , , соответственно. ${\displaystyle O(du\,dv)}$ ${\displaystyle (0,u)}$ ${\displaystyle (u,u+du)}$ ${\displaystyle (u+du,v)}$ ${\displaystyle (v,v+dv)}$ ${\displaystyle (v+dv,1)}$

Можно рассуждать совершенно аналогичным образом, чтобы вывести совместные распределения более высокого порядка. Возможно, это удивительно, но совместная плотность статистик порядка n оказывается постоянной :

${\displaystyle f_{U_{(1)},U_{(2)},\ldots ,U_{(n)}}(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})=n!.}$

Один из способов понять это состоит в том, что неупорядоченная выборка имеет постоянную плотность, равную 1, и что существует n ! различных перестановок выборки, соответствующих одной и той же последовательности порядковых статистик. Это связано с тем фактом, что 1/ n ! — это объем области . Это также связано с другой особенностью порядковых статистик равномерных случайных величин: из неравенства BRS следует , что максимальное ожидаемое число равномерных случайных величин U(0,1], которые можно выбрать из выборки размера n с суммой, не превышающей , ограничено сверху величиной , которая, таким образом, инвариантна на множестве всех с постоянным произведением . ${\displaystyle 0<u_{1}<\cdots <u_{n}<1}$ ${\displaystyle 0<s<n/2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2sn}}}$ ${\displaystyle s,n}$ ${\displaystyle sn}$

Используя приведенные выше формулы , можно вывести распределение диапазона порядковых статистик, то есть распределение , т.е. максимум минус минимум. В более общем смысле, для также имеет бета-распределение: Из этих формул мы можем вывести ковариацию между двумя порядковыми статистиками: Формула следует из того, что и сравнения с , где , что является фактическим распределением разности. ${\displaystyle U_{(n)}-U_{(1)}}$ ${\displaystyle n\geq k>j\geq 1}$ ${\displaystyle U_{(k)}-U_{(j)}}$ $${\displaystyle U_{(k)}-U_{(j)}\sim \operatorname {Beta} (k-j,n-(k-j)+1)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Cov} (U_{(k)},U_{(j)})={\frac {j(n-k+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Var} (U_{(k)}-U_{(j)})=\operatorname {Var} (U_{(k)})+\operatorname {Var} (U_{(j)})-2\cdot \operatorname {Cov} (U_{(k)},U_{(j)})={\frac {k(n-k+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}+{\frac {j(n-j+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}-2\cdot \operatorname {Cov} (U_{(k)},U_{(j)})}$$ $${\displaystyle \operatorname {Var} (U)={\frac {(k-j)(n-(k-j)+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}}$$ ${\displaystyle U\sim \operatorname {Beta} (k-j,n-(k-j)+1)}$

Статистика заказов, выбранная из экспоненциального распределения

Для случайной выборки размера n из экспоненциального распределения с параметром λ порядковые статистики X _{( i )} для i = 1,2,3, ..., n имеют распределение ${\displaystyle X_{1},X_{2},..,X_{n}}$

${\displaystyle X_{(i)}{\stackrel {d}{=}}{\frac {1}{\lambda }}\left(\sum _{j=1}^{i}{\frac {Z_{j}}{n-j+1}}\right)}$

где Z _j — это стандартные экспоненциальные случайные величины (т.е. с параметром скорости 1). Этот результат был впервые опубликован Альфредом Реньи . ^{[5] [6]}

Статистика заказов, взятая из распределения Эрланга

Преобразование Лапласа порядковой статистики может быть выбрано из распределения Эрланга с помощью метода подсчета путей ^{[ необходимо разъяснение ]} . ^[7]

Совместное распределение порядковых статистик абсолютно непрерывного распределения

Если F _X абсолютно непрерывен , то он имеет плотность такую, что , и мы можем использовать подстановки ${\displaystyle dF_{X}(x)=f_{X}(x)\,dx}$

${\displaystyle u=F_{X}(x)}$

и

${\displaystyle du=f_{X}(x)\,dx}$

вывести следующие функции плотности вероятности для порядковых статистик выборки размера n, взятой из распределения X :

${\displaystyle f_{X_{(k)}}(x)={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}[F_{X}(x)]^{k-1}[1-F_{X}(x)]^{n-k}f_{X}(x)}$

${\displaystyle f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x,y)={\frac {n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!}}[F_{X}(x)]^{j-1}[F_{X}(y)-F_{X}(x)]^{k-1-j}[1-F_{X}(y)]^{n-k}f_{X}(x)f_{X}(y)}$где ${\displaystyle x\leq y}$

${\displaystyle f_{X_{(1)},\ldots ,X_{(n)}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=n!f_{X}(x_{1})\cdots f_{X}(x_{n})}$где ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\leq \dots \leq x_{n}.}$

Применение: доверительные интервалы для квантилей

Интересный вопрос заключается в том, насколько хорошо порядковые статистики выполняют функцию оценки квантилей базового распределения.

Пример небольшой выборки

Самый простой случай, который следует рассмотреть, — насколько хорошо медиана выборки оценивает медиану совокупности.

В качестве примера рассмотрим случайную выборку размером 6. В этом случае медиана выборки обычно определяется как середина интервала, ограниченного статистиками 3-го и 4-го порядка. Однако из предыдущего обсуждения мы знаем, что вероятность того, что этот интервал фактически содержит медиану популяции, равна ^{[ необходимо разъяснение ]}

${\displaystyle {6 \choose 3}(1/2)^{6}={5 \over 16}\approx 31\%.}$

Хотя медиана выборки, вероятно, относится к лучшим независимым от распределения точечным оценкам медианы популяции, этот пример иллюстрирует, что она не особенно хороша в абсолютных значениях. В этом конкретном случае лучшим доверительным интервалом для медианы является тот, который ограничен статистиками 2-го и 5-го порядка, которые содержат медиану популяции с вероятностью

${\displaystyle \left[{6 \choose 2}+{6 \choose 3}+{6 \choose 4}\right](1/2)^{6}={25 \over 32}\approx 78\%.}$

При таком малом размере выборки, если требуется по крайней мере 95% достоверности, приходится говорить, что медиана находится между минимумом и максимумом из 6 наблюдений с вероятностью 31/32 или приблизительно 97%. Размер 6 — это, по сути, наименьший размер выборки, такой, что интервал, определяемый минимумом и максимумом, составляет по крайней мере 95% доверительный интервал для медианы популяции.

Большие размеры выборки

Для равномерного распределения, когда n стремится к бесконечности, p- ^й квантиль выборки асимптотически нормально распределен , поскольку он аппроксимируется выражением

${\displaystyle U_{(\lceil np\rceil )}\sim AN\left(p,{\frac {p(1-p)}{n}}\right).}$

Для общего распределения F с непрерывной ненулевой плотностью в точке F  ⁻¹ ( p ) применима аналогичная асимптотическая нормальность:

${\displaystyle X_{(\lceil np\rceil )}\sim AN\left(F^{-1}(p),{\frac {p(1-p)}{n[f(F^{-1}(p))]^{2}}}\right)}$

где f — функция плотности , а F  ⁻¹ — функция квантиля, связанная с F. Одним из первых, кто упомянул и доказал этот результат, был Фредерик Мостеллер в своей основополагающей статье в 1946 году. ^[8] Дальнейшие исследования привели в 1960-х годах к представлению Бахадура , которое предоставляет информацию о границах ошибок. Сходимость к нормальному распределению также имеет место в более сильном смысле, например, сходимость относительной энтропии или дивергенция KL . ^[9]

Интересное наблюдение можно сделать в случае, когда распределение симметрично, а медиана совокупности равна среднему значению совокупности. В этом случае среднее значение выборки , по центральной предельной теореме , также асимптотически нормально распределено, но с дисперсией σ ² /n . Этот асимптотический анализ предполагает, что среднее значение превосходит медиану в случаях низкого эксцесса , и наоборот. Например, медиана достигает лучших доверительных интервалов для распределения Лапласа , в то время как среднее значение лучше для X , которые распределены нормально.

Доказательство

Можно показать, что

${\displaystyle B(k,n+1-k)\ {\stackrel {\mathrm {d} }{=}}\ {\frac {X}{X+Y}},}$

где

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}Z_{i},\quad Y=\sum _{i=k+1}^{n+1}Z_{i},}$

где Z _i — независимые одинаково распределенные экспоненциальные случайные величины со скоростью 1. Поскольку X / n и Y / n асимптотически нормально распределены по ЦПТ, наши результаты получаются путем применения дельта-метода .

Применение: Непараметрическая оценка плотности

Моменты распределения для статистики первого порядка можно использовать для разработки непараметрической оценки плотности. ^[10] Предположим, мы хотим оценить плотность в точке . Рассмотрим случайные величины , которые являются iid с функцией распределения . В частности, . ${\displaystyle f_{X}}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle Y_{i}=|X_{i}-x^{*}|}$ ${\displaystyle g_{Y}(y)=f_{X}(y+x^{*})+f_{X}(x^{*}-y)}$ ${\displaystyle f_{X}(x^{*})={\frac {g_{Y}(0)}{2}}}$

Ожидаемое значение статистики первого порядка, полученное на основе выборки всех наблюдений, составляет: ${\displaystyle Y_{(1)}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle E(Y_{(1)})={\frac {1}{(N+1)g(0)}}+{\frac {1}{(N+1)(N+2)}}\int _{0}^{1}Q''(z)\delta _{N+1}(z)\,dz}$

где — квантильная функция, связанная с распределением , и . Это уравнение в сочетании с методом складывания становится основой для следующего алгоритма оценки плотности, ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle g_{Y}}$ ${\displaystyle \delta _{N}(z)=(N+1)(1-z)^{N}}$

 Вход: Выборка наблюдений. Точки оценки плотности. Параметр настройки (обычно 1/3). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{x_{\ell }\}_{\ell =1}^{M}}$ ${\displaystyle a\in (0,1)}$ Выходные данные: расчетная плотность в точках оценки. ${\displaystyle \{{\hat {f}}_{\ell }\}_{\ell =1}^{M}}$

 1: Набор 2: Набор 3: Создать матрицу , которая содержит подмножества с наблюдениями в каждом. ${\displaystyle m_{N}=\operatorname {round} (N^{1-a})}$ ${\displaystyle s_{N}={\frac {N}{m_{N}}}}$ ${\displaystyle s_{N}\times m_{N}}$ ${\displaystyle M_{ij}}$ ${\displaystyle m_{N}}$ ${\displaystyle s_{N}}$ 4: Создайте вектор для хранения оценок плотности. ${\displaystyle {\hat {f}}}$ 5: for  do 6: for do 7: Найти ближайшее расстояние до текущей точки в пределах th подмножества ${\displaystyle \ell =1\to M}$   ${\displaystyle k=1\to m_{N}}$  ${\displaystyle d_{\ell k}}$ ${\displaystyle x_{\ell }}$ ${\displaystyle k}$ 8: конец для 9: вычисление среднего значения подмножества расстояний до 10: вычисление оценки плотности в 11: конец для 12: возврат ${\displaystyle x_{\ell }:d_{\ell }=\sum _{k=1}^{m_{N}}{\frac {d_{\ell k}}{m_{N}}}}$ ${\displaystyle x_{\ell }:{\hat {f}}_{\ell }={\frac {1}{2(1+s_{N})d_{\ell }}}}$  ${\displaystyle {\hat {f}}}$

В отличие от параметров настройки на основе полосы пропускания/длины для подходов на основе гистограммы и ядра , параметром настройки для оценки плотности на основе порядковой статистики является размер подмножеств выборки. Такая оценка более надежна, чем подходы на основе гистограммы и ядра, например, плотности, такие как распределение Коши (которое не имеет конечных моментов), могут быть выведены без необходимости специализированных модификаций, таких как полосы пропускания на основе IQR . Это связано с тем, что первый момент порядковой статистики всегда существует, если существует ожидаемое значение базового распределения, но обратное не обязательно верно. ^[11]

Работа с дискретными переменными

Предположим, что есть случайные величины iid из дискретного распределения с кумулятивной функцией распределения и функцией массы вероятности . Чтобы найти вероятности порядковых статистик, сначала нужны три значения, а именно ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

${\displaystyle p_{1}=P(X<x)=F(x)-f(x),\ p_{2}=P(X=x)=f(x),{\text{ and }}p_{3}=P(X>x)=1-F(x).}$

Кумулятивную функцию распределения порядковой статистики можно вычислить, заметив, что ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X_{(k)}\leq x)&=P({\text{there are at least }}k{\text{ observations less than or equal to }}x),\\&=P({\text{there are at most }}n-k{\text{ observations greater than }}x),\\&=\sum _{j=0}^{n-k}{n \choose j}p_{3}^{j}(p_{1}+p_{2})^{n-j}.\end{aligned}}}$

Аналогично, дается выражением ${\displaystyle P(X_{(k)}<x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X_{(k)}<x)&=P({\text{there are at least }}k{\text{ observations less than }}x),\\&=P({\text{there are at most }}n-k{\text{ observations greater than or equal to }}x),\\&=\sum _{j=0}^{n-k}{n \choose j}(p_{2}+p_{3})^{j}(p_{1})^{n-j}.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что функция массы вероятности представляет собой просто разность этих значений, то есть ${\displaystyle X_{(k)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X_{(k)}=x)&=P(X_{(k)}\leq x)-P(X_{(k)}<x),\\&=\sum _{j=0}^{n-k}{n \choose j}\left(p_{3}^{j}(p_{1}+p_{2})^{n-j}-(p_{2}+p_{3})^{j}(p_{1})^{n-j}\right),\\&=\sum _{j=0}^{n-k}{n \choose j}\left((1-F(x))^{j}(F(x))^{n-j}-(1-F(x)+f(x))^{j}(F(x)-f(x))^{n-j}\right).\end{aligned}}}$

Вычисление статистики заказов

Проблема вычисления k- го наименьшего (или наибольшего) элемента списка называется проблемой выбора и решается алгоритмом выбора. Хотя эта проблема сложна для очень больших списков, были созданы сложные алгоритмы выбора, которые могут решить эту проблему за время, пропорциональное количеству элементов в списке, даже если список полностью неупорядочен. Если данные хранятся в определенных специализированных структурах данных, это время можно сократить до O(log n ). Во многих приложениях требуются все упорядоченные статистики, в этом случае можно использовать алгоритм сортировки , и время составит O( n log n ).

Смотрите также

• Ранкит
• Диаграмма ящика
• BRS-неравенство
• Сопутствующие (статистика)
• Распределение Фишера-Типпета
• Теорема Бапата–Бега для порядковых статистик независимых, но не обязательно одинаково распределенных случайных величин
• полином Бернштейна
• L-оценщик – линейные комбинации порядковых статистик
• Распределение ранг-размер
• Алгоритм выбора

Примеры статистики заказов

• Максимум и минимум выборки
• Квантиль
• Процентиль
• Дециль
• Квартиль
• Медиана
• Иметь в виду
• Выборочное среднее и ковариация

Приложения

Порядковая статистика имеет множество приложений в таких областях, как теория надежности, финансовая математика, анализ выживаемости, эпидемиология, спорт, контроль качества, актуарный риск и т. д. Существует обширная литература, посвященная исследованиям по применению порядковой статистики в этих областях.

Например, недавнее применение в актуарном риске можно найти в ^[12] , где приводятся некоторые принципы взвешенной премии с точки зрения рекордных претензий и k-х рекордных претензий.

Ссылки

1. Дэвид, HA; Нагараджа, Х.Н. (2003). Статистика заказов . Ряд Уайли по вероятности и статистике. дои : 10.1002/0471722162. ISBN 9780471722168.
2. Казелла, Джордж; Бергер, Роджер (2002). Статистический вывод (2-е изд.). Cengage Learning. стр. 229. ISBN 9788131503942.
3. Gentle, James E. (2009), Computational Statistics, Springer, стр. 63, ISBN 9780387981444.
4. Джонс, М. К. (2009), «Распределение Кумарасвами: распределение бета-типа с некоторыми преимуществами в плане управляемости», Статистическая методология , 6 (1): 70–81, doi :10.1016/j.stamet.2008.04.001, Как известно, бета-распределение — это распределение статистики порядка m из случайной выборки размера n из равномерного распределения (на (0,1)).
5. Дэвид, HA; Нагараджа, Х.Н. (2003), «Глава 2. Основная теория распределения», Статистика порядков , Ряды Вили по вероятности и статистике, стр. 9, дои : 10.1002/0471722162.ch2, ISBN 9780471722168
6. Реньи, Альфред (1953). «К теории порядковой статистики». Acta Mathematica Hungarica . 4 (3): 191–231. дои : 10.1007/BF02127580 .
7. Hlynka, M.; Brill, PH; Horn, W. (2010). «Метод получения преобразований Лапласа порядковых статистик случайных величин Эрланга». Statistics & Probability Letters . 80 : 9–18. doi :10.1016/j.spl.2009.09.006.
8. Мостеллер, Фредерик (1946). «О некоторых полезных «неэффективных» статистиках». Annals of Mathematical Statistics . 17 (4): 377–408. doi : 10.1214/aoms/1177730881 . Получено 26 февраля 2015 г.
9. М. Кардоне, А. Дитсо и К. Раш, «Энтропийная центральная предельная теорема для порядковых статистик», в IEEE Transactions on Information Theory, т. 69, № 4, стр. 2193-2205, апрель 2023 г., doi: 10.1109/TIT.2022.3219344.
10. Гарг, Викрам В.; Тенорио, Луис; Уиллкокс, Карен (2017). «Оценка минимальной локальной плотности расстояний». Communications in Statistics - Theory and Methods . 46 (1): 148–164. arXiv : 1412.2851 . doi : 10.1080/03610926.2014.988260. S2CID  14334678.
11. Дэвид, HA; Нагараджа, HN (2003), "Глава 3. Ожидаемые значения и моменты", Order Statistics , Wiley Series in Probability and Statistics, стр. 34, doi :10.1002/0471722162.ch3, ISBN 9780471722168
12. Кастаньо-Мартинес, А.; Лопес-Бласкес, Ф.; Пигейрас, Г.; Сордо, М.А. (2020). «Метод построения и интерпретации некоторых принципов взвешенных премий». Бюллетень ASTIN: Журнал IAA . 50(3): 1037–1064. doi :10.1017/asb.2020.15.

Внешние ссылки

• Статистика заказов на PlanetMath . Получено 02 февраля 2005 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Статистика порядка». MathWorld .Получено 02 февраля 2005 г.
• Исходный код C++ Статистика динамического заказа