Например, если X используется для обозначения результата подбрасывания монеты («эксперимент»), то распределение вероятностей X примет значение 0,5 (1 к 2 или 1/2) для X = орла и 0,5 для X = решка (при условии, что монета честная ). Чаще всего распределения вероятностей используются для сравнения относительного появления множества различных случайных величин.
Распределения вероятностей могут быть определены по-разному: для дискретных или для непрерывных переменных. Дистрибутивам со специальными свойствами или для особо важных приложений присваиваются особые имена.
Введение
Распределение вероятностей — это математическое описание вероятностей событий, подмножеств выборочного пространства . Пространство выборки, часто обозначаемое как набор всех возможных результатов наблюдаемого случайного явления; это может быть любой набор: набор действительных чисел , набор описательных меток, набор векторов , набор произвольных нечисловых значений и т. д. Например, пространство выборки при подбрасывании монеты будет Ω = { " орел», «решка» } .
Чтобы определить распределения вероятностей для конкретного случая случайных величин (чтобы выборочное пространство можно было рассматривать как числовой набор), принято различать дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины . В дискретном случае достаточно указать функцию массы вероятности , присваивающую вероятность каждому возможному исходу: например, при бросании игральной кости каждая из шести цифр от «1» до «6» , соответствующая количеству точек на кубике имеет вероятность. Вероятность события затем определяется как сумма вероятностей результатов, которые удовлетворяют событию; например, вероятность события «на кубике выпадет четное значение» равна
Напротив, когда случайная величина принимает значения из континуума, то, как правило, любой отдельный результат имеет нулевую вероятность, и только события, которые включают бесконечное количество результатов, например интервалы, могут иметь положительную вероятность. Например, рассмотрим измерение веса куска ветчины в супермаркете и предположим, что точность весов составляет много цифр. Вероятность того, что он весит ровно 500 г , равна нулю, так как, скорее всего, в нем будут ненулевые десятичные цифры. Тем не менее, при контроле качества можно потребовать, чтобы упаковка ветчины «500 г» весила от 490 г до 510 г с вероятностью не менее 98%, и это требование менее чувствительно к точности измерительных приборов.
Абсолютно непрерывные распределения вероятностей можно описать несколькими способами. Функция плотности вероятности описывает бесконечно малую вероятность любого заданного значения, а вероятность того, что результат лежит в заданном интервале, может быть вычислена путем интегрирования функции плотности вероятности по этому интервалу. [4] Альтернативное описание распределения осуществляется с помощью кумулятивной функции распределения , которая описывает вероятность того, что случайная величина не превышает заданное значение (т.е. для некоторого ). Кумулятивная функция распределения — это площадь под функцией плотности вероятности от до , как показано на рисунке справа. [5]
Общее определение вероятности
Распределение вероятностей можно описать в различных формах, например, с помощью функции массы вероятности или кумулятивной функции распределения. Одно из наиболее общих описаний, применимое к абсолютно непрерывным и дискретным переменным, осуществляется с помощью функции вероятности, входное пространство которой представляет собой σ-алгебру и на выходе дает вероятность действительного числа , в частности, число в .
Функция вероятности может принимать в качестве аргументов подмножества самого выборочного пространства, как в примере с подбрасыванием монеты, где функция была определена так, что P (орёл) = 0,5 и P (решка) = 0,5 . Однако из-за широкого использования случайных величин , которые преобразуют выборочное пространство в набор чисел (например, , ), более распространенным является изучение распределений вероятностей, аргументами которых являются подмножества этих конкретных видов множеств (множеств чисел), [6] и все распределения вероятностей, обсуждаемые в этой статье, относятся к этому типу. Это принято обозначать как вероятность того, что определенное значение переменной принадлежит определенному событию . [7] [8]
Приведенная выше функция вероятности характеризует распределение вероятностей только в том случае, если оно удовлетворяет всем аксиомам Колмогорова , то есть:
, поэтому вероятность неотрицательна
, поэтому никакая вероятность не превосходит
для любого счетного непересекающегося семейства множеств
Понятие функции вероятности становится более строгим, если определить ее как элемент вероятностного пространства , где – множество возможных результатов, – множество всех подмножеств , вероятность которых может быть измерена, – – функция вероятности или мера вероятности , который присваивает вероятность каждому из этих измеримых подмножеств . [9]
Распределения вероятностей обычно относятся к одному из двух классов. Дискретное распределение вероятностей применимо к сценариям, в которых набор возможных результатов дискретен (например, подбрасывание монеты, бросок игральной кости), а вероятности кодируются дискретным списком вероятностей результатов; в этом случае дискретное распределение вероятностей известно как функция массы вероятности . С другой стороны, абсолютно непрерывные распределения вероятностей применимы к сценариям, в которых набор возможных результатов может принимать значения в непрерывном диапазоне (например, действительные числа), такие как температура в определенный день. В абсолютно непрерывном случае вероятности описываются функцией плотности вероятности , а распределение вероятностей по определению является интегралом функции плотности вероятности. [7] [4] [8] Нормальное распределение — это часто встречающееся абсолютно непрерывное распределение вероятностей. Более сложные эксперименты, например эксперименты со случайными процессами , определяемыми в непрерывном времени , могут потребовать использования более общих вероятностных мер .
Распределение вероятностей, выборочное пространство которого является одномерным (например, действительные числа, список меток, упорядоченные метки или двоичные числа), называется одномерным , а распределение, выборочное пространство которого представляет собой векторное пространство размерности 2 или более, называется многомерным . Одномерное распределение дает вероятности того, что одна случайная величина принимает разные значения; многомерное распределение ( совместное распределение вероятностей ) дает вероятности случайного вектора — списка двух или более случайных величин — принимающего различные комбинации значений. Важные и часто встречающиеся одномерные распределения вероятностей включают биномиальное распределение , гипергеометрическое распределение и нормальное распределение . Часто встречающимся многомерным распределением является многомерное нормальное распределение .
Помимо функции вероятности, кумулятивная функция распределения, функция массы вероятности и функция плотности вероятности, производящая функция момента и характеристическая функция также служат для идентификации распределения вероятностей, поскольку они однозначно определяют лежащую в основе кумулятивную функцию распределения. [10]
Терминология
Ниже перечислены некоторые ключевые понятия и термины, широко используемые в литературе по теме распределений вероятностей. [1]
Основные условия
Случайная переменная : принимает значения из выборочного пространства; вероятности описывают, какие значения и набор значений принимаются с большей вероятностью.
Событие : набор возможных значений (результатов) случайной величины, происходящий с определенной вероятностью.
Функция вероятности или мера вероятности : описывает вероятностьтого, что событиепроизойдет. [11]
Квантильная функция : обратная кумулятивной функции распределения. Даеттакое, что с вероятностьюнепревысит.
Дискретные распределения вероятностей
Дискретное распределение вероятностей : для многих случайных величин с конечным или счетным числом значений.
Функция массы вероятности ( pmf ): функция, которая дает вероятность того, что дискретная случайная величина равна некоторому значению.
Распределение частот : таблица, в которой отображается частота различных результатов в выборке .
Относительное распределение частот : распределение частот , при котором каждое значение было разделено (нормализовано) на количество результатов в выборке (т. е. размер выборки).
Абсолютно непрерывное распределение вероятностей : для многих случайных величин с несчетным числом значений.
Функция плотности вероятности ( pdf ) или плотность вероятности : функция, значение которой в любой заданной выборке (или точке) в выборочном пространстве (набор возможных значений, принимаемых случайной величиной) можно интерпретировать как обеспечивающую относительную вероятность того, что значение случайная величина будет равна этой выборке.
Связанные термины
Поддержка : набор значений, которые случайная величина может принять с ненулевой вероятностью. Для случайной величиныее иногда обозначают как.
Хвост : [12] области, близкие к границам случайной величины, если pmf или pdf в них относительно низкие. Обычно имеет форму или ее объединение.
Голова : [12] область, где pmf или pdf относительно высоки. Обычно имеет форму .
Медиана : значение, при котором набор значений, меньший медианы, и набор значений, превышающий медиану, имеют вероятность не более половины.
Режим : для дискретной случайной величины значение с наибольшей вероятностью; для абсолютно непрерывной случайной величины - место, в котором функция плотности вероятности имеет локальный пик.
Дисперсия : второй момент pmf или pdf относительно среднего значения; важная мера дисперсии распределения .
Стандартное отклонение : квадратный корень дисперсии и, следовательно, еще одна мера дисперсии.
Симметрия : свойство некоторых распределений, в которых часть распределения слева от определенного значения (обычно медианы) является зеркальным отражением части справа.
Асимметрия : мера того, насколько pmf или pdf «наклоняется» в одну сторону от своего среднего значения. Третий стандартизированный момент распределения.
Куртозис : мера «упитанности» хвостов pmf или pdf. Четвертый стандартизированный момент распределения.
Кумулятивная функция распределения
В частном случае действительной случайной величины распределение вероятностей может быть эквивалентно представлено кумулятивной функцией распределения вместо вероятностной меры. Кумулятивная функция распределения случайной величины с учетом распределения вероятностей определяется как
Кумулятивная функция распределения любой вещественной случайной величины обладает свойствами:
И наоборот, любая функция , которая удовлетворяет первым четырем свойствам, указанным выше, является кумулятивной функцией распределения некоторого распределения вероятностей действительных чисел. [13]
Любое распределение вероятностей можно разложить как смесь дискретного , абсолютно непрерывного и сингулярного непрерывного распределения [14] , и, таким образом, любая кумулятивная функция распределения допускает разложение в виде выпуклой суммы трех согласно кумулятивным функциям распределения.
Дискретное распределение вероятностей
Дискретное распределение вероятностей — это распределение вероятностей случайной величины, которая может принимать только счетное число значений [15] ( почти наверняка ) [16] . Это означает, что вероятность любого события может быть выражена как (конечная или счетная бесконечность) . ) сумма:
Дискретную случайную величину с действительным знаком можно эквивалентно определить как случайную величину, чья кумулятивная функция распределения увеличивается только за счет скачков , то есть ее cdf увеличивается только там, где она «перескакивает» к более высокому значению, и является постоянной в интервалах без скачков. Точки, в которых происходят скачки, и есть те значения, которые может принимать случайная величина. Таким образом, кумулятивная функция распределения имеет вид
Точки, в которых происходит скачок CDF, всегда образуют счетное множество; это может быть любое счетное множество и, следовательно, оно может быть даже плотным в действительных числах.
Дельта-представление Дирака
Дискретное распределение вероятностей часто представляется мерами Дирака , распределениями вероятностей детерминированных случайных величин . Для любого результата пусть будет мера Дирака, сосредоточенная в . Учитывая дискретное распределение вероятностей, существует счетное множество с и функцией вероятностной массы . Если какое-либо событие, то
Отсюда следует, что вероятность, принимающая любое значение, кроме , равна нулю, и поэтому можно записать как
кроме набора с нулевой вероятностью, где – индикаторная функция . Это может служить альтернативным определением дискретных случайных величин.
Одноточечное распределение
Особый случай — дискретное распределение случайной величины, которая может принимать только одно фиксированное значение; другими словами, это детерминированное распределение . Выражаясь формально, случайная величина имеет одноточечное распределение, если она имеет такой возможный результат, что [18] Тогда все остальные возможные результаты имеют вероятность 0. Ее кумулятивная функция распределения сразу же подскакивает от 0 до 1.
Абсолютно непрерывное распределение вероятностей
Абсолютно непрерывное распределение вероятностей — это распределение вероятностей действительных чисел с бесчисленным множеством возможных значений, например целым интервалом в действительной прямой, и где вероятность любого события может быть выражена в виде интеграла. [19] Точнее, реальная случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение вероятностей, если существует функция такая, что для каждого интервала вероятность принадлежности к дается интегралом от : [ 20] [21]
Абсолютно непрерывные распределения вероятностей, определенные выше, — это те, которые имеют абсолютно непрерывную кумулятивную функцию распределения. В этом случае кумулятивная функция распределения имеет вид
Примечание по терминологии: абсолютно непрерывные распределения следует отличать от непрерывных распределений , которые имеют непрерывную кумулятивную функцию распределения. Каждое абсолютно непрерывное распределение является непрерывным распределением, но обратное неверно: существуют сингулярные распределения , которые не являются ни абсолютно непрерывными, ни дискретными, ни их смесью и не имеют плотности. Примером может служить распределение Кантора . Однако некоторые авторы используют термин «непрерывное распределение» для обозначения всех распределений, кумулятивная функция распределения которых абсолютно непрерывна , т.е. называют абсолютно непрерывные распределения непрерывными распределениями. [7]
Более общее определение функций плотности и эквивалентных им абсолютно непрерывных мер см. в разделе « Абсолютно непрерывная мера» .
Абсолютно непрерывные и дискретные распределения с поддержкой или чрезвычайно полезны для моделирования множества явлений, [7] [5], поскольку большинство практических распределений поддерживаются на относительно простых подмножествах, таких как гиперкубы или шары . Однако это не всегда так, и существуют явления с опорами, которые на самом деле представляют собой сложные кривые в каком-то пространстве или что-то подобное. В этих случаях распределение вероятностей опирается на изображение такой кривой и, скорее всего, будет определено эмпирическим путем, а не поиском для него замкнутой формулы. [25]
Один из примеров показан на рисунке справа, где показана эволюция системы дифференциальных уравнений (широко известных как уравнения Рабиновича – Фабриканта ), которые можно использовать для моделирования поведения ленгмюровских волн в плазме . [26] Когда это явление изучается, наблюдаемые состояния из подмножества обозначены красным. Таким образом, можно было бы спросить, какова вероятность наблюдения состояния в определенной позиции красного подмножества; если такая вероятность существует, она называется вероятностной мерой системы. [27] [25]
Такая сложная поддержка довольно часто встречается в динамических системах . Установить, что система имеет вероятностную меру, непросто, и основная проблема заключается в следующем. Пусть – моменты времени и подмножество носителя; если для системы существует вероятностная мера, можно было бы ожидать, что частота наблюдений состояний внутри множества будет равна интервалу и , чего может не произойти; например, он может колебаться подобно синусу, предел которого при не сходится. Формально мера существует только в том случае, если предел относительной частоты сходится при наблюдении системы в бесконечное будущее. [28] Разделом динамических систем, изучающим существование вероятностной меры, является эргодическая теория .
Обратите внимание, что даже в этих случаях распределение вероятностей, если оно существует, все равно можно было бы назвать «абсолютно непрерывным» или «дискретным» в зависимости от того, является ли носитель несчетным или счетным соответственно.
Генерация случайных чисел
Большинство алгоритмов основаны на генераторе псевдослучайных чисел , который выдает числа , равномерно распределенные в полуоткрытом интервале [0, 1) . Эти случайные величины затем преобразуются с помощью некоторого алгоритма для создания новой случайной величины, имеющей требуемое распределение вероятностей. С помощью этого источника однородной псевдослучайности можно генерировать реализации любой случайной величины. [29]
Например, предположим, что имеет равномерное распределение между 0 и 1. Чтобы построить случайную переменную Бернулли для некоторого , мы определяем
Эта случайная величина X имеет распределение Бернулли с параметром . [29] Это преобразование дискретной случайной величины.
Для функции распределения абсолютно непрерывной случайной величины необходимо построить абсолютно непрерывную случайную величину. , обратная функция , относится к однородной переменной :
Например, предположим, что необходимо построить случайную величину, имеющую экспоненциальное распределение.
[29]
Частой проблемой при статистическом моделировании ( метод Монте-Карло ) является генерация псевдослучайных чисел , которые распределяются заданным образом.
Общие распределения вероятностей и их приложения.
Концепция распределения вероятностей и описываемых ими случайных величин лежит в основе математической дисциплины теории вероятностей и статистики. Существует разброс или изменчивость практически любой величины, которую можно измерить в популяции (например, рост людей, долговечность металла, рост продаж, транспортный поток и т. д.); почти все измерения производятся с некоторой основной погрешностью; В физике многие процессы описываются вероятностно, от кинетических свойств газов до квантовомеханического описания элементарных частиц . По этим и многим другим причинам простые числа часто недостаточны для описания величины, в то время как распределения вероятностей часто более подходят.
Ниже приводится список некоторых наиболее распространенных распределений вероятностей, сгруппированных по типу процесса, к которому они относятся. Более полный список см. в списке вероятностных распределений , которые группируются по характеру рассматриваемого результата (дискретные, абсолютно непрерывные, многомерные и т. д.).
Все приведенные ниже одномерные распределения имеют один пик; то есть предполагается, что значения группируются вокруг одной точки. На практике фактически наблюдаемые величины могут группироваться вокруг нескольких значений. Такие количества можно смоделировать с помощью распределения смеси .
Линейный рост (например, ошибки, смещения)
Нормальное распределение (распределение Гаусса) для одной такой величины; наиболее часто используемое абсолютно непрерывное распределение
Экспоненциальный рост (например, цен, доходов, населения)
Испытания Бернулли (события да/нет, с заданной вероятностью)
Основные дистрибутивы:
Распределение Бернулли для результатов одного испытания Бернулли (например, успех/неудача, да/нет)
Биномиальное распределение количества «положительных событий» (например, успехов, голосов «да» и т. д.) при фиксированном общем количестве независимых событий .
Отрицательное биномиальное распределение для наблюдений биномиального типа, но где интересующей величиной является количество неудач до того, как произойдет заданное количество успехов.
Бета-биномиальное распределение для количества «положительных событий» (например, успехов, голосов «да» и т. д.) с учетом фиксированного общего количества событий, выборка с использованием модели урны Пойа (в некотором смысле «противоположность» выборке без замены )
Категориальные исходы (события с K возможными исходами)
Полиномиальное распределение для количества каждого типа категориального результата при фиксированном общем количестве результатов; обобщение биномиального распределения
Абсолютные значения векторов с нормально распределенными компонентами
Распределение Рэлея для распределения векторных величин с гауссово распределенными ортогональными компонентами. Распределения Рэлея обнаруживаются в радиочастотных сигналах с гауссовыми действительными и мнимыми компонентами.
Распределение Райса — обобщение распределений Рэлея для случаев, когда имеется стационарная составляющая фонового сигнала. Обнаруживается в затухании радиосигналов по Райсу из-за многолучевого распространения и в МР-изображениях с шумовым искажением ненулевых сигналов ЯМР.
Вероятностный поток нагрузки при исследовании потока мощности объясняет неопределенности входных переменных как распределение вероятностей и обеспечивает расчет потока мощности также с точки зрения распределения вероятностей. [32]
Прогнозирование возникновения природных явлений на основе предыдущих распределений частот, таких как тропические циклоны , град, время между событиями и т. д. [33]
Примерка
Подбор распределения вероятностей или просто подбор распределения — это подбор распределения вероятностей к ряду данных, касающихся повторных измерений переменного явления. Целью подбора распределения является предсказание вероятности или прогнозирования частоты возникновения величины явления в определенном интервале .
Существует множество распределений вероятностей (см. список распределений вероятностей ), из которых некоторые можно более точно подогнать к наблюдаемой частоте данных, чем другие, в зависимости от характеристик явления и распределения. Предполагается, что распределение, дающее точное соответствие, приведет к хорошим прогнозам.
Поэтому при подборе распределения необходимо выбрать распределение, которое хорошо соответствует данным.
^ аб Эверитт, Брайан (2006). Кембриджский статистический словарь (3-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-511-24688-3. ОСЛК 161828328.
^ Эш, Роберт Б. (2008). Основная теория вероятностей (изд. Дувра). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 66–69. ISBN978-0-486-46628-6. ОКЛК 190785258.
^ аб Эванс, Майкл; Розенталь, Джеффри С. (2010). Вероятность и статистика: наука о неопределенности (2-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman and Co., с. 38. ISBN978-1-4292-2462-8. ОКЛК 473463742.
^ ab «1.3.6.1. Что такое распределение вероятностей». www.itl.nist.gov . Проверено 10 сентября 2020 г.
^ Аб Деккинг, Мишель (1946–) (2005). Современное введение в вероятность и статистику: понимание почему и как . Лондон, Великобритания: Спрингер. ISBN978-1-85233-896-1. ОСЛК 262680588.{{cite book}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
^ Уолпол, RE; Майерс, Р.Х.; Майерс, СЛ; Йе, К. (1999). Вероятность и статистика для инженеров . Прентис Холл.
^ abcd Росс, Шелдон М. (2010). Первый курс теории вероятности . Пирсон.
^ аб ДеГрут, Моррис Х.; Шервиш, Марк Дж. (2002). Вероятность и статистика . Аддисон-Уэсли.
^ Биллингсли, П. (1986). Вероятность и мера . Уайли. ISBN9780471804789.
^ Шепард, Нью-Йорк (1991). «От характеристической функции к функции распределения: простая основа теории». Эконометрическая теория . 7 (4): 519–529. дои : 10.1017/S0266466600004746. S2CID 14668369.
^ Эрхан, Чинлар (2011). Вероятность и стохастика . Нью-Йорк: Спрингер. п. 51. ИСБН9780387878591. ОСЛК 710149819.
^ Кон, Дональд Л. (1993). Теория меры . Биркхойзер.
^ Хури, Андре И. (март 2004 г.). «Применение дельта-функции Дирака в статистике». Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 35 (2): 185–195. дои : 10.1080/00207390310001638313. ISSN 0020-739X. S2CID 122501973.
^ Фиш, Марек (1963). Теория вероятностей и математическая статистика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 129. ИСБН0-471-26250-1.
^ Джеффри Сет Розенталь (2000). Первый взгляд на строгую теорию вероятностей . Всемирная научная.
^ Глава 3.2 ДеГрута и Шервиша (2002)
^ Борн, Мюррей. «11. Распределения вероятностей – понятия». www.intmath.com . Проверено 10 сентября 2020 г.
^ В., Строк, Дэниел (1999). Теория вероятностей: аналитический взгляд (Переизданная ред.). Кембридж [Англия]: Издательство Кембриджского университета. п. 11. ISBN978-0521663496. ОСЛК 43953136.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Колмогоров, Андрей (1950) [1933]. Основы теории вероятностей . Нью-Йорк, США: Издательство Челси. стр. 21–24.
^ Джойс, Дэвид (2014). «Аксиомы вероятности» (PDF) . Университет Кларка . Проверено 5 декабря 2019 г.
^ аб Аллигуд, КТ; Зауэр, Т.Д.; Йорк, Дж.А. (1996). Хаос: введение в динамические системы . Спрингер.
^ Раздел 1.9 Росс, С.М.; Пекез, Э.А. (2007). Второй курс вероятности (PDF) .
^ Уолтерс, Питер (2000). Введение в эргодическую теорию . Спрингер.
^ abc Деккинг, Фредерик Мишель; Краайкамп, Корнелис; Лопухаа, Хендрик Пауль; Мистер, Людольф Эрвин (2005), «Почему вероятность и статистика?», Современное введение в вероятность и статистику , Springer London, стр. 1–11, doi : 10.1007/1-84628-168-7_1, ISBN978-1-85233-896-1
^ Бишоп, Кристофер М. (2006). Распознавание образов и машинное обучение . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN0-387-31073-8. ОСЛК 71008143.
^ Чанг, Раймонд. (2014). Физическая химия для химических наук . Томан, Джон В. младший, 1960-. [Милл-Вэлли, Калифорния]. стр. 403–406. ISBN978-1-68015-835-9. ОСЛК 927509011.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
^ Чен, П.; Чен, З.; Бак-Йенсен, Б. (апрель 2008 г.). «Вероятностный поток нагрузки: обзор». 2008 Третья Международная конференция по дерегулированию и реструктуризации электроэнергетики и энергетическим технологиям . стр. 1586–1591. дои : 10.1109/drpt.2008.4523658. ISBN978-7-900714-13-8. S2CID 18669309.
^ Майти, Раджиб (30 апреля 2018 г.). Статистические методы в гидрологии и гидроклиматологии . Сингапур. ISBN978-981-10-8779-0. ОСЛК 1038418263.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
Источники
ден Деккер, AJ; Сийберс, Дж. (2014). «Распределение данных на магнитно-резонансных изображениях: обзор». Физика Медика . 30 (7): 725–741. дои :10.1016/j.ejmp.2014.05.002. ПМИД 25059432.
Вапник, Владимир Наумович (1998). Статистическая теория обучения . Джон Уайли и сыновья.
Внешние ссылки
Викискладе есть медиафайлы, связанные с распределением вероятностей.