Полином степени d можно выразить как степенной ряд вокруг любого центра c , где все члены степени выше d имеют нулевой коэффициент. Например, полином можно записать в виде степенного ряда вокруг центра как
или вокруг центра как
Это связано с тем, что разложение f(x) в ряд Тейлора составляет
as и ненулевые производные являются , so и , константой.
Или действительно, расширение возможно вокруг любого другого центра c . [1] Можно рассматривать степенные ряды как «многочлены бесконечной степени», хотя степенные ряды не являются полиномами.
Геометрический ряд, показательная функция и синус
Формула геометрического ряда
, действительная для , является одним из наиболее важных примеров степенного ряда, как и формула показательной функции
и формула синуса.
справедливо для всех действительных x .
Эти степенные ряды также являются примерами рядов Тейлора .
О множестве показателей
Отрицательные степени не допускаются в степенных рядах; например, не считается степенным рядом (хотя это ряд Лорана ). Точно так же не допускаются дробные степени, такие как (но см. ряд Пюизо ). Коэффициентам не разрешается зависеть от , например:
не является степенным рядом.
Радиус схождения
Степенной ряд сходится для некоторых значений переменной x , которая всегда будет включать x = c (как обычно, оценивается как1 , и сумма ряда, таким образом, равна x = c ). Ряд может расходиться при других значениях x . Если c не единственная точка сходимости, то всегда существует число r с 0 < r ≤ ∞ такое, что ряд сходится всякий раз, когда | х – с | < r и расходится всякий раз, когда | х – с | > р . Число г называется радиусом сходимости степенного ряда; в общем случае это задается как
или, что то же самое,
(это теорема Коши-Адамара ; объяснение обозначений см. в разделе «Предел верхний» и «нижний предел» ). Отношение
также выполняется, если этот предел существует.
Для | х – с | = r , общего утверждения о сходимости ряда не существует. Однако теорема Абеля утверждает, что если ряд сходится для некоторого значения z такого, что | г – с | = r , то сумма ряда для x = z является пределом суммы ряда для x = c + t ( z – c ) , где t — действительная переменная, меньшая, чем1 , который имеет тенденцию1 .
Действия над степенным рядом
Сложение и вычитание
Когда две функции f и g разлагаются в степенные ряды вокруг одного и того же центра c , степенной ряд суммы или разности функций можно получить путем почленного сложения и вычитания. То есть, если и
тогда
Неверно, что если два степенных ряда имеют одинаковый радиус сходимости, то и они имеют этот радиус сходимости. Если и , то оба ряда имеют одинаковый радиус сходимости 1, но ряд имеет радиус сходимости 3.
Сумма двух степенных рядов будет иметь, как минимум, радиус сходимости меньшего из двух радиусов сходимости двух рядов (и он может быть больше, чем любой из них, как показано в примере выше). [2]
Умножение и деление
При тех же определениях и степенной ряд произведения и частного функции можно получить следующим образом:
Последовательность известна как свертка последовательностей и .
Для деления, если к
тому времени определить последовательность
и можно рекурсивно найти члены, сравнивая коэффициенты.
Решение соответствующих уравнений дает формулы, основанные на определителях некоторых матриц коэффициентов и
Обе эти серии имеют тот же радиус сходимости, что и исходная.
Аналитические функции
Функция f, определенная на некотором открытом подмножестве U в R или C, называется аналитической , если она локально задается сходящимся степенным рядом. Это означает, что каждый a ∈ U имеет открытую окрестность V ⊆ U , такую что существует степенной ряд с центром a , который сходится к f ( x ) для каждого x ∈ V.
Каждый степенной ряд с положительным радиусом сходимости аналитичен внутри своей области сходимости. Все голоморфные функции комплексно-аналитические. Суммы и произведения аналитических функций являются аналитическими, как и частные, пока знаменатель не равен нулю.
Если функция аналитическая, то она бесконечно дифференцируема, но в реальном случае обратное, вообще говоря, неверно. Для аналитической функции коэффициенты a n можно вычислить как
где обозначает n-ю производную f в точке c и . Это означает, что каждая аналитическая функция локально представлена своим рядом Тейлора .
Глобальная форма аналитической функции полностью определяется ее локальным поведением в следующем смысле: если f и g — две аналитические функции, определенные на одном и том же связном открытом множестве U , и если существует элемент c ∈ U такой, что f ( n ) ( c ) знак равно грамм ( п ) ( c ) для всех n ≥ 0 , тогда ж ( Икс ) знак равно грамм ( Икс ) для всех Икс ∈ U .
Если задан степенной ряд с радиусом сходимости r , можно рассматривать аналитические продолжения этого ряда, т.е. аналитические функции f , которые определены на множествах, больших, чем { x | | Икс - с | < r } и согласуем с заданным степенным рядом на этом множестве. Число r максимально в следующем смысле: всегда существует комплексное число x такое, что | Икс - с | = r такой, что в точке x не может быть определено аналитическое продолжение ряда .
Сумма степенного ряда с положительным радиусом сходимости является аналитической функцией в каждой точке внутри круга сходимости. Однако в точках на границе этого диска может наблюдаться различное поведение. Например:
Расхождение, пока сумма продолжается до аналитической функции : имеет радиус сходимости, равный и расходится в каждой точке . Тем не менее, сумма в есть , которая является аналитической в каждой точке плоскости, кроме .
Сходящийся в одних точках и расходящийся в других : имеет радиус сходимости . Он сходится при , а расходится при .
Сходящаяся на замыкании круга сходимости, но не непрерывная сумма : Серпинский привел пример [3] степенного ряда с радиусом сходимости , сходящегося во всех точках с , но сумма является неограниченной функцией и, в частности, разрывной. Достаточное условие односторонней непрерывности в граничной точке дает теорема Абеля .
Расширение теории необходимо для целей исчисления многих переменных . Степенной ряд здесь определяется как бесконечный ряд вида,
где j = ( j 1 , …, j n ) — вектор натуральных чисел, коэффициенты a ( j 1 , …, j n ) обычно являются действительными или комплексными. числа, а центр c = ( c 1 , …, c n ) и аргумент x = ( x 1 , …, x n ) обычно являются действительными или комплексными векторами. Символом является символ произведения , обозначающий умножение. В более удобной многоиндексной записи это можно записать
где – набор натуральных чисел , а также набор упорядоченных n - кортежей натуральных чисел.
Теория таких рядов сложнее, чем для рядов с одной переменной, с более сложными областями сходимости. Например, степенной ряд абсолютно сходится на множестве двух гипербол. (Это пример логарифмически-выпуклого множества в том смысле, что множество точек , где лежит в указанной выше области, является выпуклым множеством. В более общем смысле можно показать, что когда c = 0, внутренняя часть области С другой стороны, внутри этой области сходимости можно дифференцировать и интегрировать под знаком ряда, так же, как это можно сделать с обычными степенными рядами. [4]
Порядок степенного ряда
Пусть α — мультииндекс степенного ряда f ( x 1 , x 2 , …, x n ) . Порядок степенного ряда f определяется как наименьшее значение , при котором существует α ≠ 0 при , или если f ≡ 0. В частности, для степенного ряда f ( x ) от одной переменной x порядок f — наименьшая степень x с ненулевым коэффициентом. Это определение легко распространяется на ряды Лорана .
Примечания
^ Говард Леви (1967). Полиномы, степенные ряды и исчисление. Ван Ностранд. п. 24.
^ Вацлав Серпинский (1916). «Sur une série potentielle qui, étant convernte en tout point de son cercle de конвергенции, représente sur ce cercle une fonction прекращено. (Французский)». Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 41 . Палермо Рэнд.: 187–190. дои : 10.1007/BF03018294. ЖФМ 46.1466.03. S2CID 121218640.
^ Беккенбах, EF (1948). «Выпуклые функции». Бюллетень Американского математического общества . 54 (5): 439–460. дои : 10.1090/S0002-9904-1948-08994-7 .