Псевдотензор

В физике и математике псевдотензор обычно представляет собой величину, которая преобразуется подобно тензору при сохраняющем ориентацию преобразовании координат (например, собственном вращении ), но дополнительно меняет знак при меняющем ориентацию преобразовании координат (например, несобственном вращении ), которое является преобразованием, которое может быть выражено как собственное вращение с последующим отражением . Это обобщение псевдовектора . Чтобы оценить знак тензора или псевдотензора, его необходимо свернуть с некоторыми векторами, столько же, сколько его ранг , принадлежащими пространству, в котором выполняется вращение, при этом сохраняя координаты тензора неизменными (в отличие от того, что делается в случае изменения базы). При несобственном вращении псевдотензор и собственный тензор того же ранга будут иметь разные знаки, которые зависят от того, является ли ранг четным или нечетным . Иногда инверсия осей используется в качестве примера несобственного вращения, чтобы увидеть поведение псевдотензора, но это работает только в том случае, если размерность векторного пространства нечетная, в противном случае инверсия является собственным вращением без дополнительного отражения.

Существует второе значение псевдотензора (и аналогично псевдовектора ), ограниченное общей теорией относительности . Тензоры подчиняются строгим законам преобразования, но псевдотензоры в этом смысле не так ограничены. Следовательно, форма псевдотензора, в общем случае, будет меняться при изменении системы отсчета . Уравнение, содержащее псевдотензоры, которое выполняется в одной системе отсчета, не обязательно будет выполняться в другой системе отсчета. Это делает псевдотензоры ограниченно релевантными, поскольку уравнения, в которых они появляются, не являются инвариантными по форме.

Математические разработки 1980-х годов позволили рассматривать псевдотензоры как сечения струйных расслоений .

Определение

Два совершенно разных математических объекта называются псевдотензорами в разных контекстах.

Первый контекст по сути является тензором, умноженным на дополнительный знаковый множитель, так что псевдотензор меняет знак при отражениях, когда нормальный тензор этого не делает. Согласно одному определению, псевдотензор P типа является геометрическим объектом, компоненты которого в произвольном базисе нумеруются индексами и подчиняются правилу преобразования при смене базиса. ^[1]^[2]^[3] $(п,д)$ $(p+q)$ ${\hat {P}}_{\,j_{1}\ldots j_{p}}^{i_{1}\ldots i_{q}}=(-1)^{A}A^{i_{1}}{}_{k_{1}}\cdots A^{i_{q}}{}_{k_{q}}B^{l_{1}}{}_{j_{1}}\cdots B^{l_{p}}{}_{j_{p}}P_{l_{1}\ldots l_{p}}^{k_{1}\ldots k_{q}}$

Здесь — компоненты псевдотензора в новом и старом базисах соответственно, — матрица перехода для контравариантных индексов, — матрица перехода для ковариантных индексов, и Это правило преобразования отличается от правила для обычного тензора только наличием множителя ${\hat {P}}_{\,j_{1}\ldots j_{p}}^{i_{1}\ldots i_{q}},P_{l_{1}\ldots l_{p}}^{k_{1}\ldots k_{q}}$ $A^{i_{q}}{}_{k_{q}}$ $B^{l_{p}}{}_{j_{p}}$ $(-1)^{A}=\mathrm {знак} \left(\det \left(A^{i_{q}}{}_{k_{q}}\right)\right)=\pm {1}.$ $(-1)^{A}.$

Второй контекст, в котором используется слово «псевдотензор», — это общая теория относительности . В этой теории невозможно описать энергию и импульс гравитационного поля тензором энергии-импульса. Вместо этого вводятся объекты, которые ведут себя как тензоры только по отношению к ограниченным преобразованиям координат. Строго говоря, такие объекты вообще не являются тензорами. Известным примером такого псевдотензора является псевдотензор Ландау–Лифшица .

Примеры

На неориентируемых многообразиях невозможно определить форму объема глобально из-за неориентируемости, но можно определить элемент объема , который формально является плотностью , и может также называться формой псевдообъема из-за дополнительного знакового поворота (тензорного с помощью пучка знаков). Элемент объема является псевдотензорной плотностью согласно первому определению.

Изменение переменных в многомерной интеграции может быть достигнуто путем включения фактора абсолютного значения определителя матрицы Якоби . Использование абсолютного значения вводит изменение знака для неправильных преобразований координат, чтобы компенсировать соглашение о сохранении положительного элемента интегрирования (объема); как таковое, подынтегральное выражение является примером псевдотензорной плотности согласно первому определению.

Символы Кристоффеля аффинной связности на многообразии можно рассматривать как поправочные члены к частным производным координатного выражения векторного поля по координатам, чтобы сделать его ковариантной производной векторного поля. В то время как сама аффинная связность не зависит от выбора координат, ее символы Кристоффеля зависят, что делает их псевдотензорной величиной согласно второму определению.

Смотрите также

Действие (физика) – Физическая величина размерности энергия × время
Закон сохранения – Научный закон, касающийся сохранения физического свойства.
Общая теория относительности – Теория гравитации как искривленного пространства-времени
Тензор – алгебраический объект с геометрическими приложениями
Плотность тензора – Обобщение тензорных полей
Тензорное поле – задание тензора, непрерывно изменяющегося в некоторой области пространства.
Теорема Нётер – Утверждение, связывающее дифференцируемые симметрии с сохраняющимися величинами.
Псевдовектор – физическая величина, которая меняет знак при неправильном вращении.
Вариационный принцип – Научные принципы, позволяющие использовать вариационное исчисление.

Ссылки

^ Шарипов, РА (1996). Курс дифференциальной геометрии, Уфа: Башкирский государственный университет, Россия, стр. 34, ур. 6.15. ISBN 5-7477-0129-0 , arXiv :math/0412421v1
^ Лоуден, Дерек Ф. (1982). Введение в тензорное исчисление, теорию относительности и космологию. Чичестер: John Wiley & Sons Ltd., стр. 29, ур. 13.1. ISBN 0-471-10082-X
^ Борисенко, А.И. и Тарапов, И.Е. (1968). Векторный и тензорный анализ с приложениями, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. 124, уравнение 3.34. ISBN 0-486-63833-2

Внешние ссылки

Описание псевдотензора в Mathworld.