Суперзолотое сечение

Число, приблизительно 1,46557

В математике суперзолотое сечение — геометрическая пропорция, близкая к 85/58 . Его истинное значение — это действительное решение уравнения x ³ = x ² + 1.

Название «суперзолотое сечение» происходит от аналогии с золотым сечением — положительным решением уравнения x ² = x + 1.

Треугольник со сторонами длиной ψ , 1 и 1 ∕ ψ имеет угол ровно 120 градусов. ^[1]

Определение

Две величины a > b > 0 находятся в квадрате суперзолотого сечения, если

${\displaystyle \left({\frac {a+b}{a}}\right)^{2}={\frac {a}{b}}}$.

Отношение обычно обозначается ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}}$ ${\displaystyle \psi .}$

Исходя из этого определения, можно сказать,

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=\left({\frac {a+b}{a}}\right)^{2}{\frac {b}{a}}\\&=\left({\frac {a+b}{a}}\right)^{2}\left({\frac {a+b}{a}}-1\right)\\&\implies \psi ^{2}\left(\psi -1\right)=1\end{aligned}}}$

Отсюда следует, что суперзолотое сечение находится как единственное действительное решение кубического уравнения. Десятичное разложение корня начинается как (последовательность A092526 в OEIS ). ${\displaystyle \psi ^{3}-\psi ^{2}-1=0.}$ ${\displaystyle 1.465\,571\,231\,876\,768...}$

Минимальный многочлен для обратного корня — это пониженный кубический многочлен , ^[2] таким образом, простейшее решение с формулой Кардано , ${\displaystyle x^{3}+x-1}$

${\displaystyle w_{1,2}=\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {31}{3}}}\right)/2}$

${\displaystyle 1/\psi ={\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}}$

или, используя гиперболический синус ,

${\displaystyle 1/\psi ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\sinh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right).}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle 1/\psi }$ — сверхстабильная неподвижная точка итерации . ${\displaystyle x\gets (2x^{3}+1)/(3x^{2}+1)}$

Итерация приводит к продолжению радикального ${\displaystyle x\gets {\sqrt[{3}]{1+x^{2}}}}$

${\displaystyle \psi ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3/2}]{1+{\sqrt[{3/2}]{1+\cdots }}}}}}}$ ^[3]

Разделив определяющий трехчлен на ⁠ ⁠, получаем , а сопряженные элементы ⁠ ⁠ равны ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-1}$ ${\displaystyle x-\psi }$ ${\displaystyle x^{2}+x/\psi ^{2}+1/\psi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle x_{1,2}=\left(-1\pm i{\sqrt {4\psi ^{2}+3}}\right)/2\psi ^{2},}$

с и ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=1-\psi \;}$ ${\displaystyle \;x_{1}x_{2}=1/\psi .}$

Характеристики

Прямоугольники с пропорциями ψ , ψ ² и ψ ³ (слева направо) заполняют квадрат.

Многие свойства ⁠ ⁠ ${\displaystyle \psi }$ связаны с золотым сечением ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$ . Например, суперзолотое сечение может быть выражено через само себя как бесконечная геометрическая прогрессия  ^[4]

${\displaystyle \psi =\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{-3n}}$и ${\displaystyle \,\psi ^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{-7n},}$

по сравнению с золотым сечением тождества

${\displaystyle \varphi =\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-2n}}$и наоборот .

Кроме того, в то время как ${\displaystyle 1+\varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}=2}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{7}\psi ^{-n}=3.}$

Для каждого целого числа имеется ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ^{n}&=\psi ^{n-1}+\psi ^{n-3}\\&=\psi ^{n-2}+\psi ^{n-3}+\psi ^{n-4}\\&=\psi ^{n-2}+2\psi ^{n-4}+\psi ^{n-6}.\end{aligned}}}$

Аргумент удовлетворяет тождеству ^[5] ${\displaystyle \;\theta =\operatorname {arcsec}(2\psi ^{4})\;}$ ${\displaystyle \;\tan(\theta )-4\sin(\theta )=3{\sqrt {3}}.}$

Непрерывная дробная модель нескольких малых степеней

${\displaystyle \psi ^{-1}=[0;1,2,6,1,3,5,4,22,...]\approx 0.6823}$( 13/19 )

${\displaystyle \ \psi ^{0}=[1]}$

${\displaystyle \ \psi ^{1}=[1;2,6,1,3,5,4,22,1,...]\approx 1.4656}$( 22/15 )

${\displaystyle \ \psi ^{2}=[2;6,1,3,5,4,22,1,1,...]\approx 2.1479}$( 15/7 )

${\displaystyle \ \psi ^{3}=[3;6,1,3,5,4,22,1,1,...]\approx 3.1479}$( 22/7 )

${\displaystyle \ \psi ^{4}=[4;1,1,1,1,2,2,1,2,2,...]\approx 4.6135}$( 60/13 )

${\displaystyle \ \psi ^{5}=[6;1,3,5,4,22,1,1,4,...]\approx 6.7614}$( 115/17 )

Примечательно, что непрерывная дробь ⁠ ⁠ ${\displaystyle \psi ^{2}}$ начинается как перестановка первых шести натуральных чисел; следующий член равен их сумме + 1.

Суперзолотое сечение — четвертое наименьшее число Пизо . ^[6] Поскольку абсолютное значение алгебраических сопряженных чисел меньше 1, степени ⁠ ⁠ генерируют почти целые числа . Например: . После одиннадцати шагов вращения фазы внутренней спиральной сопряженной пары — изначально близкие к ⁠ ⁠ — почти совпадают с мнимой осью. ${\displaystyle 1/{\sqrt {\psi }}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{11}=67.000222765...\approx 67+1/4489}$ ${\displaystyle \pm 13\pi /22}$

Минимальный многочлен суперзолотого сечения имеет дискриминант . Поле классов Гильберта мнимого квадратичного поля может быть образовано присоединением ⁠ ⁠ . С аргументом генератор для кольца целых чисел ⁠ ⁠ , есть специальное значение Дедекинда эта- частного ${\displaystyle m(x)=x^{3}-x^{2}-1}$ ${\displaystyle \Delta =-31}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {\Delta }})/2\,}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \psi ={\frac {e^{\pi i/24}\,\eta (\tau )}{{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}}}$.

Выражено в терминах инварианта класса Вебера-Рамануджана G _n

${\displaystyle \psi ={\frac {{\mathfrak {f}}({\sqrt {\Delta }})}{\sqrt {2}}}={\frac {G_{31}}{\sqrt[{4}]{2}}}}$. ^[7]

Свойства соответствующего инварианта Клейна j ⁠ ⁠ ${\displaystyle j(\tau )}$ приводят к почти тождественному результату . Разница составляет < 1/143092 . ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}\approx \left({\sqrt {2}}\,\psi \right)^{24}-24}$

Эллиптическое интегральное сингулярное значение ^[8] для ⁠ ⁠ имеет замкнутую форму выражения ${\displaystyle k_{r}=\lambda ^{*}(r)}$ ${\displaystyle r=31}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(31)=\sin(\arcsin \left(({\sqrt[{4}]{2}}\,\psi )^{-12}\right)/2)}$

(что составляет менее 1/10 эксцентриситета орбиты Венеры).

последовательность Нараяны

Коровы Нараяны — это рекуррентная последовательность , возникшая из задачи, предложенной индийским математиком XIV века Нараяной Пандитой . ^[9] Он спросил о количестве коров и телят в стаде через 20 лет, начиная с одной коровы в первый год, где каждая корова рожает одного теленка каждый год, начиная с трехлетнего возраста.

Последовательность Нараяны тесно связана с последовательностями Фибоначчи и Падована и играет важную роль в кодировании данных, криптографии и комбинаторике. Количество композиций n на части 1 и 3 подсчитывается n- ым числом Нараяны.

Последовательность Нараяны определяется рекуррентным соотношением третьего порядка

${\displaystyle N_{n}=N_{n-1}+N_{n-3}}$для n > 2 ,

с начальными значениями

${\displaystyle N_{0}=N_{1}=N_{2}=1}$.

Первые несколько членов — 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88,... (последовательность A000930 в OEIS ). Предельное соотношение между последовательными членами — это суперзолотое сечение.

Первые 11 индексов n, для которых является простым числом, это n = 3, 4, 8, 9, 11, 16, 21, 25, 81, 6241, 25747 (последовательность A170954 в OEIS ). Последнее число имеет 4274 десятичных цифры. ${\displaystyle N_{n}}$

Последовательность может быть расширена до отрицательных индексов с помощью

${\displaystyle N_{n}=N_{n+3}-N_{n+2}}$.

Производящая функция последовательности Нараяны определяется выражением

${\displaystyle {\frac {1}{1-x-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n}x^{n}}$для ${\displaystyle x<1/\psi }$

Числа Нараяны связаны с суммами биномиальных коэффициентов соотношением

${\displaystyle N_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor }{n-2k \choose k}}$.

Характеристическое уравнение рекуррентности . Если три решения представляют собой действительный корень ⁠ ⁠ и сопряженную пару ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ , числа Нараяны можно вычислить с помощью формулы Бине ^[10] ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-1=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle N_{n-2}=a\alpha ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}}$, с действительными ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ и сопряженными ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ корнями . ${\displaystyle 31x^{3}+x-1=0}$

Так как и , то число ⁠ ⁠ является ближайшим целым числом к ​​, при этом n ≥ 0 и 0,28469 30799 75318 50274 74714... ${\displaystyle \left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <1/{\sqrt {\alpha ^{n}}}}$ ${\displaystyle \alpha =\psi }$ ${\displaystyle N_{n}}$ ${\displaystyle a\,\psi ^{n+2}}$ ${\displaystyle a=\psi /(\psi ^{2}+3)=}$

Коэффициенты приводят к формуле Бине для соответствующей последовательности . ${\displaystyle a=b=c=1}$ ${\displaystyle A_{n}=N_{n}+2N_{n-3}}$

Первые несколько членов — 3, 1, 1, 4, 5, 6, 10, 15, 21, 31, 46, 67, 98, 144,... (последовательность A001609 в OEIS ).

Эта анонимная последовательность обладает свойством Ферма : если p — простое число, . Обратное не верно, но небольшое количество нечетных псевдопростых чисел делает последовательность особенной. ^[11] 8 нечетных составных чисел ниже 10 ^{8 ,} которые должны пройти тест, — это n = 1155, 552599, 2722611, 4822081, 10479787, 10620331, 16910355, 66342673. ${\displaystyle A_{p}\equiv A_{1}{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle \,n\mid (A_{n}-1)}$

Суперзолотой фрактал Рози типа a ↦ ab с площадями, как указано выше. Граница фрактала имеет размерность подсчета ячеек 1,50

Числа Нараяны получаются как целые степени n > 3 матрицы с действительным собственным значением ⁠ ⁠ ^[9 ] ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle Q^{n}={\begin{pmatrix}N_{n}&N_{n-2}&N_{n-1}\\N_{n-1}&N_{n-3}&N_{n-2}\\N_{n-2}&N_{n-4}&N_{n-3}\end{pmatrix}}}$

След ⁠ ⁠ дает вышесказанное ⁠ ⁠ .​ ${\displaystyle Q^{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

В качестве альтернативы, ⁠ ⁠ ${\displaystyle Q}$ можно интерпретировать как матрицу инцидентности для системы Линденмайера D0L на алфавите ⁠ ⁠ с соответствующим правилом подстановки ${\displaystyle \{a,b,c\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}a\;\mapsto \;ab\\b\;\mapsto \;c\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}}$

и инициатор ⁠ ⁠ ${\displaystyle w_{0}=b}$ . Ряд слов ⁠ ⁠, ${\displaystyle w_{n}}$ полученный путем итерации подстановки, обладает тем свойством, что количество c, b и a равно последовательным числам Нараяны. Длины этих слов равны ${\displaystyle l(w_{n})=N_{n}.}$

С этим процессом переписывания строк связан компактный набор, состоящий из самоподобных плиток, называемый фракталом Рози , который визуализирует комбинаторную информацию, содержащуюся в многопоточной трехбуквенной последовательности. ^[12]

Суперзолотой прямоугольник

Вложенные суперзолотые прямоугольники с перпендикулярными диагоналями и длинами сторон по степеням ψ .

Суперзолотой прямоугольник — это прямоугольник, длины сторон которого находятся в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \psi :1}$ отношении. По сравнению с золотым прямоугольником , содержащим линейные отношения , суперзолотой прямоугольник имеет на одну степень больше самоподобия . ${\displaystyle \varphi ^{2}:\varphi :1}$

Дан прямоугольник высотой 1 , длиной ⁠ ⁠ ${\displaystyle \psi }$ и длиной диагонали (согласно ). Треугольник на диагонали имеет высоту, перпендикулярное основание делит диагональ в отношении ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\sqrt {\psi ^{3}}}}$ ${\displaystyle 1+\psi ^{2}=\psi ^{3}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\psi }}\,;}$ ${\displaystyle \psi ^{2}}$

С левой стороны отрежьте квадрат со стороной 1 и отметьте пересечение с падающей диагональю. Оставшийся прямоугольник теперь имеет соотношение сторон ⁠ ⁠ ${\displaystyle \psi ^{2}:1}$ (согласно ). Разделите исходный прямоугольник на четыре части вторым, горизонтальным разрезом, проходящим через точку пересечения. ^{[13] [4]} ${\displaystyle \psi -1=\psi ^{-2}}$

Прямоугольник под диагональю имеет соотношение сторон ⁠ ⁠ ${\displaystyle \psi ^{3}}$ , остальные три — суперзолотые прямоугольники. Площади прямоугольников напротив диагонали оба равны ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1/\psi ^{3}}$ . Большой суперзолотой прямоугольник и три масштабированные копии имеют линейные размеры в соотношениях ${\displaystyle \psi ^{3}:\psi ^{2}:\psi :1.}$

В суперзолотом прямоугольнике над диагональю процесс можно повторить в масштабе ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1:\psi ^{2}}$ .

Смотрите также

• Решения уравнений, подобных : ${\displaystyle x^{3}=x^{2}+1}$
  • Золотое сечение – единственное положительное решение уравнения ${\displaystyle x^{2}=x+1}$
  • Коэффициент пластичности – единственное реальное решение уравнения ${\displaystyle x^{3}=x+1}$
  • Коэффициент суперсеребра – единственное реальное решение уравнения ${\displaystyle x^{3}=2x^{2}+1}$

Ссылки

1. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A092526". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
2. (последовательность A263719 в OEIS )
3. ^м/н √ х = х ^н/м
4. Koshy, Thomas (2017). Числа Фибоначчи и Люка с приложениями (2-е изд.). John Wiley & Sons. doi :10.1002/9781118033067. ISBN 978-0-471-39969-8.
5. Пьезас III, Тито (18 декабря 2022 г.). «О постоянной трибоначчи с cos(2πk/11), пластической постоянной с cos(2πk/23) и другими». Обмен стеками Mathematics . Получено 11 июня 2024 г.
6. (последовательность A092526 в OEIS )
7. Рамануджан G-функция (на немецком)
8. Вайсштейн, Эрик В. "Эллиптическое интегральное сингулярное значение". MathWorld .
9. (последовательность A000930 в OEIS )
10. Линь, Синь (2021). «О свойствах рекуррентности последовательности коров Нараяны». Симметрия . 13 (149): 149. Bibcode : 2021Symm...13..149L. doi : 10.3390/sym13010149 .
11. Изучалось вместе с последовательностью Перрина в: Adams, William; Shanks, Daniel (1982). «Сильные тесты на простоту, которые недостаточны». Math. Comp . 39 (159). AMS: 255–300. doi : 10.2307/2007637 . JSTOR  2007637.
12. Сигел, Энн; Тусовальднер, Йорг М. (2009). «Топологические свойства фракталов Рози». Мемуары математического общества Франции . 2. 118 : 1–140. дои : 10.24033/msmf.430.
13. Крилли, Тони (1994). «Сверхзолотой прямоугольник». The Mathematical Gazette . 78 (483): 320–325. doi :10.2307/3620208. JSTOR  3620208. S2CID  125782726.