закон Кюри

Связь намагниченности с приложенным магнитным полем и температурой

Для многих парамагнитных материалов намагниченность материала прямо пропорциональна приложенному магнитному полю , для достаточно высоких температур и малых полей. Однако, если материал нагревается, эта пропорциональность уменьшается. Для фиксированного значения поля магнитная восприимчивость обратно пропорциональна температуре, то есть

${\displaystyle M=\chi H,\quad \chi ={\frac {C}{T}},}$

где

${\displaystyle \chi >0}$- (объемная) магнитная восприимчивость,

${\displaystyle M}$- величина результирующей намагниченности ( А / м ),

${\displaystyle H}$- величина приложенного магнитного поля (А/м),

${\displaystyle T}$абсолютная температура ( К ),

${\displaystyle C}$— константа Кюри (К), зависящая от материала .

Пьер Кюри открыл это соотношение, теперь известное как закон Кюри, путем подгонки данных из эксперимента. Оно справедливо только для высоких температур и слабых магнитных полей. Как показывают приведенные ниже выводы, намагниченность насыщается в противоположном пределе низких температур и сильных полей. Если константа Кюри равна нулю, доминируют другие магнитные эффекты, такие как диамагнетизм Ланжевена или парамагнетизм Ван Флека .

Вывод с помощью квантовой механики

Намагниченность парамагнетика как функция обратной температуры

Простая модель парамагнетика концентрируется на частицах, которые его составляют и которые не взаимодействуют друг с другом. Каждая частица имеет магнитный момент , определяемый выражением . Энергия магнитного момента в магнитном поле определяется выражением ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$

${\displaystyle E=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} ,}$

где - плотность магнитного поля, измеряемая в теслах (Тл). ${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )}$

Частицы с двумя состояниями (спин 1/2)

Для упрощения расчета мы будем работать с частицей с двумя состояниями : она может либо выровнять свой магнитный момент по магнитному полю, либо против него. Таким образом, единственными возможными значениями магнитного момента являются и . Если это так, то такая частица имеет только две возможные энергии, когда она выровнена по полю и когда она ориентирована противоположно полю. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\mu }$ ${\displaystyle -\mu B}$ ${\displaystyle +\mu B}$

Степень, в которой магнитные моменты выровнены с полем, можно рассчитать с помощью функции распределения . Для одной частицы это

${\displaystyle Z_{1}=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh(\mu B\beta ).}$

Функция распределения для набора из N таких частиц, если они не взаимодействуют друг с другом, равна

${\displaystyle Z=Z_{1}^{N},}$

и свободная энергия поэтому

${\displaystyle G=-{\frac {1}{\beta }}\log Z=-Nk_{\rm {B}}T\log Z_{1}.}$

Намагниченность является отрицательной производной свободной энергии по приложенному полю, поэтому намагниченность на единицу объема равна

${\displaystyle M=n\mu \tanh {\frac {\mu B}{k_{\rm {B}}T}},}$

где n — плотность магнитных моментов. ^{[1] : 117} Формула выше известна как парамагнитное уравнение Ланжевена . Пьер Кюри нашел приближение к этому закону , которое применяется к относительно высоким температурам и слабым магнитным полям, используемым в его экспериментах . По мере увеличения температуры и уменьшения магнитного поля аргумент гиперболического тангенса уменьшается. В режиме Кюри ,

${\displaystyle {\frac {\mu B}{k_{\rm {B}}T}}\ll 1.}$

Более того, если , то ${\displaystyle |x|\ll 1}$

${\displaystyle \tanh x\approx x,}$

поэтому намагниченность мала, и мы можем записать , и таким образом ${\displaystyle B\approx \mu _{0}H}$

${\displaystyle M\approx {\frac {\mu _{0}\mu ^{2}n}{k_{\rm {B}}}}{\frac {H}{T}}.}$

В этом режиме магнитная восприимчивость определяется выражением

${\displaystyle \chi ={\frac {\partial M}{\partial H}}\approx {\frac {M}{H}}}$

урожайность

${\displaystyle \chi (T\to \infty )={\frac {C}{T}},}$

с константой Кюри, заданной как , в градусах Кельвина (К). ^[2] ${\displaystyle C=\mu _{0}n\mu ^{2}/k_{\rm {B}}}$

В режиме низких температур или высоких полей стремится к максимальному значению , что соответствует полному выравниванию всех частиц с полем. Поскольку этот расчет не описывает электроны, глубоко погруженные в поверхность Ферми , которым принципом Паули запрещено переворачивать свои спины, он не иллюстрирует квантовую статистику задачи при низких температурах. Используя распределение Ферми–Дирака , можно обнаружить, что при низких температурах линейно зависит от магнитного поля, так что магнитная восприимчивость насыщается до константы. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\mu }$ ${\displaystyle M}$

Общий случай

Когда частицы имеют произвольный спин (любое количество спиновых состояний), формула немного сложнее. При слабых магнитных полях или высокой температуре спин следует закону Кюри, с ^[3]

${\displaystyle C={\frac {\mu _{0}\mu _{\text{B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}ng^{2}J(J+1),}$

где — квантовое число полного углового момента , а — g -фактор (такой, что — магнитный момент). Для двухуровневой системы с магнитным моментом формула сводится к приведенной выше, тогда как соответствующие выражения в гауссовых единицах имеют вид ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu =gJ\mu _{\text{B}}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle C={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}n\mu _{0}\mu ^{2},}$$ $${\displaystyle C={\frac {\mu _{\rm {B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}ng^{2}J(J+1),}$$ $${\displaystyle C={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}n\mu ^{2}.}$$

Для этой более общей формулы и ее вывода (включая сильное поле, низкую температуру) см. статью Функция Бриллюэна . По мере того, как спин стремится к бесконечности, формула для намагниченности приближается к классическому значению, выведенному в следующем разделе.

Вывод с помощью классической статистической механики

Альтернативное рассмотрение применяется, когда парамагнетики представляются классическими, свободно вращающимися магнитными моментами. В этом случае их положение будет определяться их углами в сферических координатах , а энергия для одного из них будет:

${\displaystyle E=-\mu B\cos \theta ,}$

где — угол между магнитным моментом и магнитным полем (который мы считаем направленным в координате). Соответствующая статистическая сумма равна ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).}$

Мы видим, что нет зависимости от угла, и также мы можем заменить переменные, чтобы получить ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle y=\cos \theta }$

${\displaystyle Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .}}$

Теперь ожидаемое значение компонента намагниченности (два других, как и должно быть, равны нулю (из-за интегрирования по ), будет определяться выражением ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].}$

Для упрощения расчета мы видим, что это можно записать в виде дифференцирования : ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z\beta }{\frac {\partial Z}{\partial B}}={1 \over \beta }{\frac {\partial \ln Z}{\partial B}}}$

(Этот подход можно использовать и для модели выше, но расчеты были настолько простыми, что это не так уж полезно.)

Проводя вывод, находим

${\displaystyle M=n\left\langle \mu _{z}\right\rangle =n\mu L(\mu B\beta ),}$

где — функция Ланжевена : ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L(x)=\coth x-{1 \over x}.}$

Эта функция может показаться сингулярной для малых , но это не так, поскольку два сингулярных члена взаимно уничтожают друг друга. Фактически, ее поведение для малых аргументов равно , поэтому предел Кюри также применим, но с константой Кюри в три раза меньшей в этом случае. Аналогично, функция насыщается при для больших значений своего аргумента, и противоположный предел также восстанавливается. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L(x)\approx x/3}$ ${\displaystyle 1}$

История

Пьер Кюри заметил в 1895 году, что магнитная восприимчивость кислорода обратно пропорциональна температуре. Поль Ланжевен представил классический вывод этой зависимости десять лет спустя. ^[4]

Смотрите также

• Закон Кюри-Вейсса

Ссылки

1. Кардар, Мехран (2007). Статистическая физика частиц . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-87342-0. OCLC  860391091.
2. Coey, JMD; Coey, JMD (2010-03-25). Магнетизм и магнитные материалы. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-81614-4.
3. Киттель, Чарльз (11 ноября 2004 г.). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). Wiley. стр. 304. ISBN 0-471-41526-X.
4. Ван Флек, Дж. Х. (1978-07-14). «Квантовая механика: ключ к пониманию магнетизма». Science . 201 (4351): 113–120. doi :10.1126/science.201.4351.113.

Внешние ссылки

• Закон Кюри в Merriam-Webster