постоянная Лежандра

Константа пропорциональности плотности простых чисел

Первые 100 000 элементов последовательности a _n = log( n ) −  n / π ( n ) (красная линия), похоже, сходятся к значению около 1,08366 (синяя линия).

Более поздние элементы до 10 000 000 одной и той же последовательности a _n = log( n ) −  n / π ( n ) (красная линия) оказываются постоянно меньше 1,08366 (синяя линия).

Константа Лежандра — это математическая константа , встречающаяся в формуле, созданной Адрианом-Мари Лежандром для аппроксимации поведения функции подсчета простых чисел . Теперь известно, что значение, которое точно соответствует его асимптотическому поведению, равно 1. ${\displaystyle \pi (x)}$

Изучение имеющихся числовых данных для известных значений Лежандра привело к аппроксимирующей формуле. ${\displaystyle \pi (x)}$

Лежандр построил в 1808 году формулу

${\displaystyle \pi (x)\approx {\frac {x}{\log(x)-B}},}$

где ( OEIS : A228211 ), что дает приближение с «очень удовлетворительной точностью». ^{[1] [2]} ${\displaystyle B=1.08366}$ ${\displaystyle \pi (x)}$

Сегодня определяют ценность такого, что ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log(x)-B}},}$

которое решается положить

${\displaystyle B=\lim _{n\to \infty }\left(\log(n)-{n \over \pi (n)}\right),}$

при условии, что этот предел существует.

Теперь известно не только, что предел существует, но и что его значение несколько меньше, чем у Лежандра. Независимо от его точного значения, существование предела подразумевает теорему о простых числах . ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 1.08366.}$ ${\displaystyle B}$

Пафнутий Чебышев доказал в 1849 году ^[3] , что если предел B существует, то он должен быть равен 1. Более простое доказательство было дано Пинцем в 1980 году. ^[4]

Это непосредственное следствие теоремы о простых числах в точной форме с явной оценкой погрешности.

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$

(для некоторой положительной константы a , где O (…) — обозначение большого O ), как доказал в 1899 году Шарль де Ла Валле Пуссен ^[5] , что B действительно равно 1. (Теорема о простых числах была доказана в 1896 г., независимо Жаком Адамаром ^[6] и Ла Валле Пуссеном ^[7] , но без какой-либо оценки задействованного члена ошибки).

Из-за такого простого числа термин «константа Лежандра» имеет в основном только историческую ценность, причем он часто (технически неправильно) используется для обозначения первого предположения Лежандра 1,08366... ​​вместо этого.

Рекомендации

1. Лежандр, А.-М. (1808). Эссе по теории чисел. Курьер. п. 394.
2. Рибенбойм, Пауло (2004). Маленькая книга больших простых чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 188. ИСБН 0-387-20169-6.
3. Эдмунд Ландау . Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, стр. 17. Третье (исправленное) издание, два тома в одном, 1974 г., Челси, 1974 г.
4. Пинц, Янош (1980). «О формуле простых чисел Лежандра». Американский математический ежемесячник . 87 (9): 733–735. дои : 10.2307/2321863. ISSN  0002-9890. JSTOR  2321863.
5. Ла Валле Пуссен, C. Mém. Куроннес Акад. Рой. Бельгика 59, 1–74, 1899 г.
6. Sur la Distribution des Zéros de la fonction et ses Consequences arithmétiques ${\displaystyle \zeta (s)}$ , Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24, 1896, стр. 199–220. Архивировано в Интернете 17 июля 2012 г., в Wayback Machine.
7. «Аналитические исследования по теории премьер-министров», Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896 г., стр. 183–256 и 281–361.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Постоянная Лежандра». Математический мир .