В геометрии , наброски кривых (или трассировка кривых ) — это методы для получения приблизительного представления об общей форме плоской кривой по ее уравнению, без вычисления большого количества точек, необходимых для подробного построения графика. Это применение теории кривых для нахождения их основных характеристик.
Следующие действия обычно легко выполнить, и они дают важные подсказки относительно формы кривой:
Диаграмма Ньютона (также известная как параллелограмм Ньютона , в честь Исаака Ньютона ) — это метод определения формы алгебраической кривой вблизи и вдали от начала координат. Она состоит из построения графика (α, β) для каждого члена Ax α y β в уравнении кривой. Затем полученная диаграмма анализируется для получения информации о кривой.
В частности, проведите диагональную линию, соединяющую две точки на диаграмме так, чтобы каждая другая точка находилась либо на ней, либо справа и выше. По крайней мере одна такая линия существует, если кривая проходит через начало координат. Пусть уравнение линии будет q α+ p β= r . Предположим, что кривая аппроксимируется y = Cx p/q вблизи начала координат. Тогда член Ax α y β приблизительно равен Dx α+βp/q . Показатель степени равен r/q , когда (α, β) находится на линии, и выше, когда он находится выше и правее. Следовательно, значимыми членами вблизи начала координат при этом предположении являются только те, которые лежат на линии, а остальные можно игнорировать; это дает простое приближенное уравнение для кривой. Может быть несколько таких диагональных линий, каждая из которых соответствует одной или нескольким ветвям кривой, и приближенные уравнения ветвей можно найти, применяя этот метод к каждой линии по очереди.
Например, лист Декарта определяется уравнением
Тогда диаграмма Ньютона имеет точки в (3, 0), (1, 1) и (0, 3). Две диагональные линии могут быть проведены, как описано выше, 2α+β=3 и α+2β=3. Это дает
как приближенные уравнения для горизонтальных и вертикальных ветвей кривой, где они пересекаются в начале координат. [2]
Де Гуа расширил диаграмму Ньютона, чтобы сформировать технику, называемую аналитическим треугольником (или треугольником де Гуа ). Точки (α, β) наносятся на график, как и в методе диаграммы Ньютона, но линия α+β= n , где n — степень кривой, добавляется для формирования треугольника, содержащего диаграмму. Этот метод рассматривает все линии, которые ограничивают наименьший выпуклый многоугольник, содержащий нанесенные точки (см. выпуклая оболочка ). [3]
