Потемнение конечностей

Оптический эффект, наблюдаемый на краях звезд с точки зрения астронома

Отфильтрованное изображение Солнца в видимом свете, показывающее эффект затемнения края как более тусклую светимость по направлению к краю или краю солнечного диска. Изображение было получено во время транзита Венеры в 2012 году (здесь видно как темное пятно в правом верхнем углу).

Потемнение каемки — оптический эффект, наблюдаемый у звезд (включая Солнце ) и планет, когда центральная часть диска выглядит ярче края, или каемки . ^[1] Его понимание дало ранним астрономам, изучающим солнечную сферу, возможность построить модели с такими градиентами. Это способствовало развитию теории переноса излучения .

Основная теория

Идеализированный случай потемнения к краю. Внешняя граница — это радиус, на котором фотоны, испускаемые звездой, больше не поглощаются. L — это расстояние, для которого оптическая глубина равна единице. Высокотемпературные фотоны, испускаемые в точке A, едва ли покинут звезду, как и низкотемпературные фотоны, испускаемые в точке B. Этот рисунок не в масштабе. Например, для Солнца L будет составлять всего несколько сотен км.

Оптическая глубина , мера непрозрачности объекта или части объекта, в сочетании с эффективными температурными градиентами внутри звезды производит потемнение к краю. Видимый свет приблизительно равен интегралу всего излучения вдоль линии визирования, модулированному оптической глубиной для наблюдателя (т. е. 1/e умноженное на излучение при 1 оптической глубине, 1/e ² умноженное на излучение при 2 оптических глубинах и т. д.). Вблизи центра звезды оптическая глубина фактически бесконечна, что приводит к приблизительно постоянной яркости. Однако эффективная оптическая глубина уменьшается с увеличением радиуса из-за меньшей плотности газа и более короткого расстояния линии визирования через звезду, создавая постепенное затемнение, пока не станет равной нулю на видимом крае звезды.

Эффективная температура фотосферы также уменьшается с увеличением расстояния от центра звезды. Излучение, испускаемое газом, приблизительно равно излучению черного тела , интенсивность которого пропорциональна четвертой степени температуры. Поэтому даже в направлениях прямой видимости, где оптическая глубина фактически бесконечна, излучаемая энергия исходит из более холодных частей фотосферы, в результате чего меньшее количество общей энергии достигает наблюдателя.

Температура в атмосфере звезды не всегда уменьшается с увеличением высоты. Для некоторых спектральных линий оптическая глубина наибольшая в областях с повышенной температурой. В этом сценарии вместо этого наблюдается явление «осветления края». На Солнце существование области минимума температуры означает, что осветление края должно начать доминировать в дальнем инфракрасном или радиодиапазоне . Выше нижней атмосферы и значительно выше области минимума температуры Солнце окружено солнечной короной в миллион кельвинов . Для большинства длин волн эта область оптически тонка, т. е. имеет малую оптическую глубину, и, следовательно, должна быть осветлена краем, если она сферически симметрична.

Расчет потемнения лимба

Геометрия затемнения лимба. Центр звезды находится в точке O   и имеет радиус R.  Наблюдатель находится в точке P   на расстоянии r   от центра звезды и смотрит на точку S   на поверхности звезды. С точки зрения наблюдателя, S   находится под углом θ к линии, проходящей через центр звезды, а край или лимб звезды находится под углом Ω.

На рисунке, показанном здесь, пока наблюдатель в точке P находится вне звездной атмосферы, интенсивность, видимая в направлении θ, будет функцией только угла падения ψ . Это наиболее удобно аппроксимировать как полином по cos  ψ : где I ( ψ ) — интенсивность, видимая в P вдоль линии зрения, образующей угол ψ относительно радиуса звезды, а I (0) — центральная интенсивность. Для того чтобы отношение было равно единице при ψ = 0 , мы должны иметь $${\displaystyle {\frac {I(\psi )}{I(0)}}=\sum _{k=0}^{N}a_{k}\cos ^{k}\psi ,}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{N}a_{k}=1.}$$

Например, для ламбертовского излучателя (без потемнения к краю) мы будем иметь все a _k = 0, за исключением a ₁ = 1. В качестве другого примера, для Солнца при 550 нанометрах (5,5 × 10−7  м) потемнение к краю хорошо выражается ^[2] с помощью N = 2 ^и $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=1-a_{1}-a_{2}=0.3,\\a_{1}&=0.93,\\a_{2}&=-0.23\end{aligned}}}$$

Уравнение для потемнения к краю иногда удобнее записывать в виде, которое теперь имеет N независимых коэффициентов, а не N + 1 коэффициентов, сумма которых должна давать единицу. $${\displaystyle {\frac {I(\psi )}{I(0)}}=1+\sum _{k=1}^{N}A_{k}(1-\cos \psi )^{k},}$$

Константы a _k можно связать с константами A _k . Для N = 2 , $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=-(a_{1}+2a_{2}),\\A_{2}&=a_{2}.\end{aligned}}}$$

Для Солнца при 550 нм мы имеем $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=-0.47,\\A_{2}&=-0.23.\end{aligned}}}$$

Эта модель дает интенсивность на краю солнечного диска , составляющую всего 30% от интенсивности в центре диска.

Мы можем преобразовать эти формулы в функции θ, используя подстановку где Ω — угол от наблюдателя до лимба звезды. Для малых θ имеем $${\displaystyle \cos \psi ={\frac {\sqrt {\cos ^{2}\theta -\cos ^{2}\Omega }}{\sin \Omega }}={\sqrt {1-\left({\frac {\sin \theta }{\sin \Omega }}\right)^{2}}},}$$ $${\displaystyle \cos \psi \approx {\sqrt {1-\left({\frac {\theta }{\sin \Omega }}\right)^{2}}}.}$$

Мы видим, что производная cos ψ бесконечна на краю.

Вышеприведенное приближение можно использовать для получения аналитического выражения для отношения средней интенсивности к центральной интенсивности. Средняя интенсивность I _m представляет собой интеграл интенсивности по диску звезды, деленный на телесный угол, охватываемый диском: $${\displaystyle I_{m}={\frac {\int I(\psi )\,d\omega }{\int d\omega }},}$$

где dω = sin  θ dθ dφ — элемент телесного угла, а интегралы берутся по диску: 0 ≤ φ ≤ 2 π и 0 ≤ θ ≤ Ω . Мы можем переписать это как $${\displaystyle I_{m}={\frac {\int _{\cos \Omega }^{1}I(\psi )\,d\cos \theta }{\int _{\cos \Omega }^{1}d\cos \theta }}={\frac {\int _{\cos \Omega }^{1}I(\psi )\,d\cos \theta }{1-\cos \Omega }}.}$$

Хотя это уравнение можно решить аналитически, оно довольно громоздко. Однако для наблюдателя, находящегося на бесконечном расстоянии от звезды, можно заменить на , так что имеем что дает ${\displaystyle d\cos \theta }$ ${\displaystyle \sin ^{2}\Omega \cos \psi \,d\cos \psi }$ $${\displaystyle I_{m}={\frac {\int _{0}^{1}I(\psi )\cos \psi \,d\cos \psi }{\int _{0}^{1}\cos \psi \,d\cos \psi }}=2\int _{0}^{1}I(\psi )\cos \psi \,d\cos \psi ,}$$ $${\displaystyle {\frac {I_{m}}{I(0)}}=2\sum _{k=0}^{N}{\frac {a_{k}}{k+2}}.}$$

Для Солнца при 550 нм это означает, что средняя интенсивность составляет 80,5% от интенсивности в центре.

Ссылки

1. Раун, Дэниел (2003). «Потемнение конечностей». В Гарго, Мюриэль; Амилс, Рикардо; Кинтанилья, Хосе Серничаро; Кливс, Хендерсон Джеймс; Ирвин, Уильям М.; Пинти, Даниэле Л.; Визо, Мишель (ред.). Энциклопедия астробиологии. Берлин, Гейдельберг: Springer. стр. 925–926. дои : 10.1007/978-3-642-11274-4_885. ISBN 978-3-642-11271-3.
2. Кокс, Артур Н., изд. (2000). Астрофизические величины Аллена (14-е изд.). Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN 0-387-98746-0.

• Биллингс, Дональд Э. (1966). Путеводитель по солнечной короне . Academic Press, Нью-Йорк.
• Milne, EA (1921). «Радиационное равновесие во внешних слоях звезды: распределение температуры и закон потемнения». MNRAS . 81 (5): 361–375. Bibcode : 1921MNRAS..81..361M . doi : 10.1093/mnras/81.5.361 – через Zenodo.
• Миннарт, М. (1930). «О непрерывном спектре короны и ее поляризации». Zeitschrift für Astrophysik . 1 : 209. Бибкод : 1930ZA......1..209M – через NASA/ADS.
• Neckel, H.; Labs, D. (1994). "Solar Limb Darkening 1986-1990". Solar Physics . 153 (1–2): 91–114. Bibcode : 1994SoPh..153...91N . doi :10.1007/BF00712494. S2CID  119704650 – через NASA/ADS.
• van de Hulst; HC (1950). "Электронная плотность солнечной короны". Бюллетень астрономических институтов Нидерландов . 11 (410): 135. Bibcode : 1950BAN....11..135V.
• Мариска, Джон (1993). Область солнечного перехода . Cambridge University Press, Кембридж. ISBN 0521382610.
• Штайнер, О. (2007). «Фотосферные процессы и магнитные потоковые трубки». Труды конференции AIP . 919 : 74–121. arXiv : 0709.0081 . Bibcode : 2007AIPC..919...74S. doi : 10.1063/1.2756784. S2CID  16932214.