Поток (математика)

Движение частиц в жидкости

Поток в фазовом пространстве задается дифференциальным уравнением маятника . По горизонтальной оси отложено положение маятника, по вертикальной — его скорость.

В математике поток формализует идею движения частиц в жидкости. Потоки повсеместно встречаются в науке, включая инженерию и физику . Понятие потока является базовым для изучения обыкновенных дифференциальных уравнений . Неформально поток можно рассматривать как непрерывное движение точек с течением времени. Более формально поток — это групповое действие действительных чисел на множестве .

Идея векторного потока , то есть потока, определяемого векторным полем , встречается в областях дифференциальной топологии , римановой геометрии и групп Ли . Конкретные примеры векторных потоков включают геодезический поток , гамильтонов поток , поток Риччи , поток средней кривизны и потоки Аносова . Потоки также могут быть определены для систем случайных величин и стохастических процессов и встречаются при изучении эргодических динамических систем . Самым известным из них, пожалуй, является поток Бернулли .

Формальное определение

Поток на множестве X — это групповое действие аддитивной группы действительных чисел на X. Более конкретно, поток — это отображение

${\displaystyle \varphi :X\times \mathbb {R} \to X}$

такой, что для всех x ∈ X и всех действительных чисел s и t ,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (x,0)=x;\\&\varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t).\end{aligned}}}$

Обычно пишут φ ^t ( x ) вместо φ ( x , t ) , так что уравнения выше можно выразить как ( функция тождества ) и (групповой закон). Тогда для всех ⁠ ⁠ отображение ⁠ ⁠ является биекцией с обратным ⁠ ⁠ Это следует из приведенного выше определения, и действительный параметр t может быть взят как обобщенная функциональная мощность , как в итерации функции . ${\displaystyle \varphi ^{0}={\text{Id}}}$ ${\displaystyle \varphi ^{s}\circ \varphi ^{t}=\varphi ^{s+t}}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \varphi ^{t}:X\to X}$ ${\displaystyle \varphi ^{-t}:X\to X.}$

Потоки обычно должны быть совместимы со структурами, предоставленными на множестве X. В частности, если X снабжено топологией , то φ обычно должно быть непрерывным . Если X снабжено дифференцируемой структурой , то φ обычно должно быть дифференцируемым . В этих случаях поток образует однопараметрическую группу гомеоморфизмов и диффеоморфизмов соответственно.

В определенных ситуациях можно также рассмотретьлокальные потоки s, которые определены только в некотором подмножестве

${\displaystyle \mathrm {dom} (\varphi )=\{(x,t)\ |\ t\in [a_{x},b_{x}],\ a_{x}<0<b_{x},\ x\in X\}\subset X\times \mathbb {R} }$

называетсяобласть потока φ. Это часто бывает спотоками векторных полей.

Альтернативные обозначения

Во многих областях, включая инженерию , физику и изучение дифференциальных уравнений , очень распространено использование обозначений, делающих поток неявным. Таким образом, x ( t ) записывается для ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi ^{t}(x_{0}),}$ и можно сказать, что переменная x зависит от времени t и начального условия x = x ₀ . Примеры приведены ниже.

В случае потока векторного поля V на гладком многообразии X поток часто обозначается таким образом, что его генератор делается явным. Например,

${\displaystyle \Phi _{V}\colon X\times \mathbb {R} \to X;\qquad (x,t)\mapsto \Phi _{V}^{t}(x).}$

Орбиты

При наличии x в X множество называется орбитой x при φ . Неформально его можно рассматривать как траекторию частицы, которая изначально была расположена в x . Если поток генерируется векторным полем , то его орбиты являются изображениями его интегральных кривых . ${\displaystyle \{\varphi (x,t):t\in \mathbb {R} \}}$

Примеры

Алгебраическое уравнение

Пусть ⁠ ⁠ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to X}$ — траектория, зависящая от времени, которая является биективной функцией. Тогда поток можно определить как

${\displaystyle \varphi (x,t)=f(t+f^{-1}(x)).}$

Автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ будет (не зависящим от времени) векторным полем и ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ решением начальной задачи

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t)),\qquad {\boldsymbol {x}}(0)={\boldsymbol {x}}_{0}.}$

Тогда есть поток векторного поля F . Это хорошо определенный локальный поток при условии, что векторное поле ⁠ ⁠ является липшицево-непрерывным . Тогда ⁠ ⁠ также является липшицево-непрерывным везде, где определено. В общем случае может быть трудно показать, что поток φ глобально определен, но один простой критерий состоит в том, что векторное поле F имеет компактный носитель . ${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}}_{0},t)={\boldsymbol {x}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$

Обыкновенные дифференциальные уравнения, зависящие от времени

В случае векторных полей, зависящих от времени , ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ обозначается , где ⁠ ⁠ — решение уравнения ${\displaystyle \varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})={\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t),t),\qquad {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {x}}_{0}.}$

Тогда ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})}$ — это зависящий от времени поток F . Это не «поток» по определению выше, но его можно легко рассматривать как таковой, переставляя его аргументы. А именно, отображение

${\displaystyle \varphi \colon (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} )\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ;\qquad \varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t)=(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0})}$

действительно удовлетворяет групповому закону для последней переменной:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t),s)&=\varphi ((\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0}),s)\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}({\boldsymbol {x}}(t+t_{0})),s+t+t_{0})\\&=({\boldsymbol {x}}(s+t+t_{0}),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s+t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),s+t+t_{0})\\&=\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),s+t).\end{aligned}}}$

Можно рассматривать зависящие от времени потоки векторных полей как частные случаи не зависящих от времени потоков с помощью следующего приема. Определить

${\displaystyle {\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {x}},t):=({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}},t),1),\qquad {\boldsymbol {y}}(t):=({\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),t+t_{0}).}$

Тогда y ( t ) является решением «не зависящей от времени» задачи начального значения

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {y}}}(s)={\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {y}}(s)),\qquad {\boldsymbol {y}}(0)=({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0})}$

тогда и только тогда, когда x ( t ) является решением исходной зависящей от времени задачи начального значения. Более того, тогда отображение φ является в точности потоком «не зависящего от времени» векторного поля G .

Потоки векторных полей на многообразиях

Потоки векторных полей, независимых и зависящих от времени, определяются на гладких многообразиях точно так же, как они определяются на евклидовом пространстве ⁠ ⁠, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и их локальное поведение одинаково. Однако глобальная топологическая структура гладкого многообразия сильно проявляется в том, какие глобальные векторные поля оно может поддерживать, и потоки векторных полей на гладких многообразиях действительно являются важным инструментом в дифференциальной топологии. Основная часть исследований динамических систем проводится на гладких многообразиях, которые в приложениях рассматриваются как «пространства параметров».

Формально: Пусть будет дифференцируемым многообразием . Пусть обозначает касательное пространство точки Пусть будет полным касательным многообразием; то есть Пусть будет зависящим от времени векторным полем на ; то есть f является гладким отображением таким, что для каждого и , то есть отображение отображает каждую точку в элемент ее собственного касательного пространства. Для подходящего интервала, содержащего 0, поток f является функцией , которая удовлетворяет ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {M}}.}$ ${\displaystyle \mathrm {T} {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \mathrm {T} {\mathcal {M}}=\cup _{p\in {\mathcal {M}}}\mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}.}$ $${\displaystyle f:\mathbb {R} \times {\mathcal {M}}\to \mathrm {T} {\mathcal {M}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle f(t,p)\in \mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}};}$ ${\displaystyle x\mapsto f(t,x)}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \phi :I\times {\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (0,x_{0})&=x_{0}&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big |}_{t=t_{0}}\phi (t,x_{0})&=f(t_{0},\phi (t_{0},x_{0}))&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}},t_{0}\in I\end{aligned}}}$$

Решения уравнения теплопроводности

Пусть Ω — подобласть (ограниченная или нет) ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (где n — целое число). Обозначим через Γ ее границу (предполагаемую гладкой). Рассмотрим следующее уравнение теплопроводности на Ω × (0, T ) для T > 0 ,

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}u_{t}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T),\end{array}}}$

со следующим начальным условием u (0) = u ⁰ в Ω .

Уравнение u = 0 на Γ × (0, T ) соответствует однородному граничному условию Дирихле. Математической постановкой этой задачи может быть полугрупповой подход. Чтобы использовать этот инструмент, мы вводим неограниченный оператор Δ _D, определяемый на его областью определения ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$

${\displaystyle D(\Delta _{D})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}$

(см. классические пространства Соболева с и ${\displaystyle H^{k}(\Omega )=W^{k,2}(\Omega )}$

${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )={\overline {C_{0}^{\infty }(\Omega )}}^{H^{1}(\Omega )}}$

является замыканием бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в Ω для нормы). ${\displaystyle H^{1}(\Omega )-}$

Для любого , мы имеем ${\displaystyle v\in D(\Delta _{D})}$

${\displaystyle \Delta _{D}v=\Delta v=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}v~.}$

С этим оператором уравнение теплопроводности становится и u (0) = u ⁰ . Таким образом, поток, соответствующий этому уравнению, равен (см. обозначения выше) ${\displaystyle u'(t)=\Delta _{D}u(t)}$

${\displaystyle \varphi (u^{0},t)={\mbox{e}}^{t\Delta _{D}}u^{0},}$

где exp( t Δ _D ) — (аналитическая) полугруппа, порожденная Δ _D .

Решения волнового уравнения

Опять же, пусть Ω будет подобластью (ограниченной или нет) ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (где n — целое число). Обозначим через Γ ее границу (предполагаемую гладкой). Рассмотрим следующее волновое уравнение на (для T > 0 ), ${\displaystyle \Omega \times (0,T)}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}u_{tt}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T),\end{array}}}$

при следующих начальных условиях u (0) = u ^1,0 в Ω и ${\displaystyle u_{t}(0)=u^{2,0}{\mbox{ in }}\Omega .}$

Используя тот же подход полугруппы, что и в случае уравнения теплопроводности выше. Запишем волновое уравнение как уравнение в частных производных первого порядка по времени, введя следующий неограниченный оператор,

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\begin{array}{cc}0&Id\\\Delta _{D}&0\end{array}}\right)}$

с областью определения (оператор Δ _D определен в предыдущем примере). ${\displaystyle D({\mathcal {A}})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )\times H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle H=H_{0}^{1}(\Omega )\times L^{2}(\Omega )}$

Введем векторы-столбцы

${\displaystyle U=\left({\begin{array}{c}u^{1}\\u^{2}\end{array}}\right)}$

(где и ) и ${\displaystyle u^{1}=u}$ ${\displaystyle u^{2}=u_{t}}$

${\displaystyle U^{0}=\left({\begin{array}{c}u^{1,0}\\u^{2,0}\end{array}}\right).}$

С учетом этих представлений волновое уравнение принимает вид и U (0) = U ⁰ . ${\displaystyle U'(t)={\mathcal {A}}U(t)}$

Таким образом, поток, соответствующий этому уравнению, равен

${\displaystyle \varphi (U^{0},t)={\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}U^{0}}$

где (унитарная) полугруппа, порожденная ${\displaystyle {\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

Течение Бернулли

Эргодические динамические системы , то есть системы, демонстрирующие случайность, также демонстрируют потоки. Самым известным из них, возможно, является поток Бернулли . Теорема об изоморфизме Орнштейна утверждает, что для любой заданной энтропии H существует поток φ ( x , t ) , называемый потоком Бернулли, такой, что поток в момент времени t = 1 , то есть φ ( x , 1) , является сдвигом Бернулли .

Более того, этот поток уникален с точностью до постоянного масштабирования времени. То есть, если ψ ( x , t ) — другой поток с той же энтропией, то ψ ( x , t ) = φ ( x , t ) для некоторой константы c . Понятие уникальности и изоморфизма здесь — это понятие изоморфизма динамических систем . Многие динамические системы, включая биллиарды Синая и потоки Аносова , изоморфны сдвигам Бернулли.

Смотрите также

• Уравнение Абеля
• Итерированная функция
• Уравнение Шредера
• Бесконечные композиции аналитических функций

Ссылки

• Д.В. Аносов (2001) [1994], "Непрерывный поток", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Д.В. Аносов (2001) [1994], "Измеримый поток", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• Д.В. Аносов (2001) [1994], "Специальный поток", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• В данной статье использованы материалы из Flow на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .