Поточечная сходимость

Понятие конвергенции в математике

В математике поточечная сходимость — это один из различных смыслов, в котором последовательность функций может сходиться к определенной функции. Она слабее равномерной сходимости , с которой ее часто сравнивают. ^{[1] [2]}

Определение

Предположим, что это множество и топологическое пространство , такое как, например, действительные или комплексные числа или метрическое пространство . Говорят, что последовательность функций , имеющих одну и ту же область определения и кодовую область , поточечно сходится к заданной функции, которую часто записывают как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}=f\ {\mbox{pointwise}}}$$

предел последовательности ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle \forall x\in X.\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x).}$$

поточечной предельной ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right).}$

Это определение легко обобщается с последовательностей на сети . Мы говорим сходиться поточечно к , записанному как ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \lim _{a\in A}f_{a}=f\ {\mbox{pointwise}}}$$

${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{\bullet }(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \forall x\in X.\lim _{a\in A}f_{a}(x)=f(x).}$$

Иногда авторы используют термин ограниченная поточечная сходимость, когда существует такая константа, что . ^[3] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \forall n,x,\;|f_{n}(x)|<C}$

Характеристики

Этой концепции часто противопоставляют равномерную конвергенцию . Чтобы сказать это

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}=f\ {\mbox{uniformly}}}$$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in A\,\}=0,}$$

верхнюю грань ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle f_{n}:[0,1)\to [0,1)}$ ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n},}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0}$ ${\displaystyle [0,1),}$

Поточечный предел последовательности непрерывных функций может быть разрывной функцией, но только в том случае, если сходимость не является равномерной. Например,

$${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }\cos(\pi x)^{2n}}$$

${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$

Значения функций не обязательно должны быть действительными числами, но могут находиться в любом топологическом пространстве , чтобы концепция поточечной сходимости имела смысл. Равномерная сходимость, с другой стороны, не имеет смысла для функций, принимающих значения в топологических пространствах вообще, но имеет смысл для функций, принимающих значения в метрических пространствах и, в более общем плане, в равномерных пространствах . ${\displaystyle f_{n}}$

Топология

Обозначим через некоторое множество всех функций из некоторого заданного множества в некоторое топологическое пространство . Как описано в статье о характеристиках категории топологических пространств , при выполнении определенных условий можно определить единственную топологию на множестве, в терминах которой сети сходятся и не сходятся . Определение поточечной сходимости удовлетворяет этим условиям и поэтому порождает топологию , называемую ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$топология поточечной сходимости , на множествевсех функций вида Сеть всходится в этой топологии тогда и только тогда, когда она сходится поточечно. ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle X\to Y.}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

Топология поточечной сходимости такая же, как и топология произведения в пространстве, где – область определения, а – кодобласть. Явно, если это набор функций из некоторого множества в некоторое топологическое пространство , то топология поточечной сходимости равна топологии подпространства , которую она наследует от пространства продукта , когда идентифицируется как подмножество этого декартова произведения через каноническое отображение включения. определяется ${\displaystyle Y^{X},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \prod _{x\in X}Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to \prod _{x\in X}Y}$ ${\displaystyle f\mapsto (f(x))_{x\in X}.}$

Если кообласть компактна , то по теореме Тихонова пространство также компактно. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

Почти везде сходимость

В теории меры говорят о сходимости почти всюду последовательности измеримых функций , определенных на измеримом пространстве . Это означает поточечную сходимость почти всюду , то есть на подмножестве области, дополнение к которому имеет нулевую меру. Теорема Егорова утверждает, что поточечная сходимость почти всюду на множестве конечной меры влечет за собой равномерную сходимость на немного меньшем множестве.

Почти всюду поточечная сходимость в пространстве функций на пространстве с мерой не определяет структуру топологии в пространстве измеримых функций на пространстве с мерой (хотя это структура сходимости ). Ибо в топологическом пространстве, когда каждая подпоследовательность последовательности сама по себе имеет подпоследовательность с тем же последовательным пределом , сама последовательность должна сходиться к этому пределу.

Но рассмотрим последовательность функций так называемых «скакущих прямоугольников», которые определяются с помощью функции пола : let и mod и let ${\displaystyle N=\operatorname {floor} \left(\log _{2}n\right)}$ ${\displaystyle k=n}$ ${\displaystyle 2^{N},}$

$${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}1,&{\frac {k}{2^{N}}}\leq x\leq {\frac {k+1}{2^{N}}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Тогда любая подпоследовательность последовательности имеет подпоследовательность, которая сама почти всюду сходится к нулю, например подпоследовательность функций, не обращающихся в нуль при Но ни в какой точке исходная последовательность не сходится поточечно к нулю. Следовательно, в отличие от сходимости по мере и сходимости поточечная сходимость почти всюду не является сходимостью какой-либо топологии в пространстве функций. ${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n}}$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Смотрите также

• Коробчатая топология
• Пространство сходимости  - обобщение понятия сходимости, которое встречается в общей топологии.
• Комплект цилиндров  – естественный базовый комплект в продуктовых пространствахСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта
• Список топологий  - Список конкретных топологий и топологических пространств.
• Режимы конвергенции (аннотированный указатель)  – Аннотированный указатель различных режимов конвергенции.
• Топологии на пространствах линейных отображений
• Слабая топология  - математический термин
• Топология Weak-*  - математический терминСтраницы с краткими описаниями целей перенаправления.

Рекомендации

1. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . МакГроу-Хилл . ISBN 0-07-054235-Х.
2. Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2.
3. Ли, Цзэнху (2011). Мерозначные ветвящиеся марковские процессы . Спрингер. ISBN 978-3-642-15003-6.