В теории меры (раздел математического анализа ) свойство сохраняется почти везде , если в техническом смысле множество, для которого это свойство имеет место, охватывает почти все возможности. Понятие «почти всюду» является сопутствующим понятию меры ноль и аналогично понятию почти наверняка в теории вероятностей .
Точнее, свойство выполняется почти везде, если оно выполняется для всех элементов набора, кроме подмножества нулевой меры, [1] [2] или, что то же самое, если набор элементов, для которых это свойство выполняется, — conull . В случаях, когда мера не является полной , достаточно, чтобы множество содержалось внутри множества нулевой меры. При обсуждении множеств действительных чисел обычно предполагается мера Лебега , если не указано иное.
Термин почти везде сокращается ae ; [3] в более старой литературе используется pp для обозначения эквивалентной французской фразы presque partout . [4]
Множество с полной мерой — это множество, дополнение которого имеет нулевую меру. В теории вероятностей термины « почти наверняка» , «почти наверняка » и «почти всегда» относятся к событиям с вероятностью 1, не обязательно включая все исходы. Это и есть множества полной меры в вероятностном пространстве.
Иногда вместо того, чтобы сказать, что свойство справедливо почти везде, говорят, что это свойство справедливо почти для всех элементов (хотя термин « почти все» может иметь и другие значения).
Определение
Если пространство с мерой, то говорят, что свойство выполняется почти всюду, если существует множество с и все они обладают этим свойством . [5] Другой распространенный способ выразить то же самое — сказать, что «почти каждый пункт удовлетворяет » или что «почти для каждого выполняется ».
Не обязательно , чтобы множество имело меру 0; оно может не принадлежать . По приведенному выше определению достаточно, чтобы оно содержалось в некотором измеримом множестве и имело меру 0.
Характеристики
Если собственность справедлива почти везде и подразумевает собственность , то собственность справедлива почти везде. Это следует из монотонности мер.
Если — конечная или счетная последовательность свойств, каждое из которых выполняется почти всюду, то их соединение выполняется почти всюду. Это следует из счетной субаддитивности мер.
Напротив, если это несчетное семейство свойств, каждое из которых выполняется почти всюду, то их соединение не обязательно выполняется почти всюду. Например, если является мерой Лебега и является свойством не быть равным (т.е. верно тогда и только тогда, когда ), то каждое из них выполняется почти всюду, но конъюнкция нигде не выполняется.
Вследствие первых двух свойств часто можно рассуждать о «почти каждой точке» пространства меры, как если бы это была обычная точка, а не абстракция. [ нужна цитата ] Это часто делается неявно в неформальных математических аргументах. Однако следует быть осторожным с этим способом рассуждения из-за третьего пункта выше: универсальная квантификация бесчисленных семейств утверждений действительна для обычных точек, но не для «почти каждой точки».
для всех действительных чисел существует набор E (зависящий от f ) такой, что, если x находится в E , среднее Лебега
сходится к f ( x ) при уменьшении до нуля. Множество E называется множеством Лебега функции f . Можно доказать, что его дополнение имеет нулевую меру. Другими словами, среднее Лебега функции f сходится к f почти всюду.
Ограниченная функция f : [ a , b ] → R интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она непрерывна почти всюду.
Любопытно, что десятичное разложение почти каждого действительного числа в интервале [0, 1] содержит полный текст пьес Шекспира , закодированный в ASCII ; аналогично для любой другой последовательности конечных цифр, см. Нормальное число .
Определение с помощью ультрафильтров
Вне контекста реального анализа понятие свойства, истинного почти всюду, иногда определяется в терминах ультрафильтра . Ультрафильтр на множестве X — это максимальный набор F подмножеств X такой, что:
Если U ∈ F и U ⊆ V , то V ∈ F
Пересечение любых двух множеств из F находится в F
Пустое множество не находится в F
Свойство P точек в X выполняется почти всюду относительно ультрафильтра F , если множество точек, для которых выполняется P , находится в F.
Например, одна конструкция гипердействительной системы счисления определяет гипердействительное число как класс эквивалентности последовательностей, которые равны почти всюду, как это определено ультрафильтром.
Определение почти всюду в терминах ультрафильтров тесно связано с определением в терминах мер, поскольку каждый ультрафильтр определяет конечно-аддитивную меру, принимающую только значения 0 и 1, где множество имеет меру 1 тогда и только тогда, когда оно включено. в ультрафильтре.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Почти везде». mathworld.wolfram.com . Проверено 19 ноября 2019 г.
^ Халмос, Пол Р. (1974). Теория меры. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN0-387-90088-8.
^ «Определение почти везде | Dictionary.com» . www.dictionary.com . Проверено 19 ноября 2019 г.
^ Урселл, HD (1 января 1932 г.). «О сходимости почти всюду ряда Радемахера и сумм Бохнерфейера функции, почти периодической по Степанову». Труды Лондонского математического общества . с2-33(1): 457–466. дои : 10.1112/plms/s2-33.1.457. ISSN 0024-6115.
^ «Свойства, которые есть почти везде - Матонлайн» . mathonline.wikidot.com . Проверено 19 ноября 2019 г.
Библиография
Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-00710-2.