Погрешность измерения

Фактор меньшей вероятности при измерении

В метрологии неопределенность измерения — это выражение статистической дисперсии значений, приписываемых измеряемой величине . Все измерения подвержены неопределенности, и результат измерения является полным только тогда, когда он сопровождается заявлением о связанной с ним неопределенности, например, о стандартном отклонении . По международному соглашению эта неопределенность имеет вероятностную основу и отражает неполноту знания значения величины. Это неотрицательный параметр. ^[1]

Неопределенность измерения часто принимается как стандартное отклонение распределения вероятностей состояния знаний по возможным значениям, которые можно отнести к измеряемой величине. Относительная неопределенность — это неопределенность измерения относительно величины конкретного выбора значения измеряемой величины, когда этот выбор не равен нулю. Этот конкретный единственный выбор обычно называют измеренным значением, которое может быть оптимальным в некотором четко определенном смысле (например, среднее значение , медиана или мода ). Таким образом, относительная неопределенность измерения представляет собой неопределенность измерения, деленную на абсолютное значение измеряемой величины, когда измеренное значение не равно нулю.

Фон

Целью измерения является предоставление информации об интересующей величине – измеряемой величине. Например, измеряемой величиной может быть размер цилиндрической детали, объем сосуда, разность потенциалов между клеммами батареи или массовая концентрация свинца в колбе с водой.

Ни одно измерение не является точным. Результат измерения величины зависит от измерительной системы, процедуры измерения, квалификации оператора, окружающей среды и других факторов. ^[2] Даже если величину придется измерять несколько раз, одним и тем же способом и при одних и тех же обстоятельствах, как правило, каждый раз будет получаться другое измеренное значение, при условии, что измерительная система имеет достаточную разрешающую способность, чтобы различать значения.

Разброс измеренных значений будет зависеть от того, насколько хорошо выполнено измерение. Их среднее значение даст оценку истинного значения величины, которая, как правило, будет более надежной, чем индивидуальное измеренное значение. Дисперсия и количество измеренных значений предоставят информацию, относящуюся к среднему значению, как оценку истинного значения. Однако этой информации в целом будет недостаточно.

Измерительная система может выдавать измеренные значения, которые расходятся не относительно истинного значения, а с некоторым отклонением от него. Возьмите бытовые напольные весы. Предположим, что он настроен не на отображение нуля, когда на весах никого нет, а на показ некоторого смещения значения от нуля. Тогда, независимо от того, сколько раз массу человека измеряли заново, эффект этого смещения будет неизбежно присутствовать в среднем значении значений.

«Руководство по выражению неопределенности в измерениях» (широко известное как GUM) является исчерпывающим документом по этому вопросу. GUM был принят всеми крупными национальными измерительными институтами (НМИ) и международными стандартами аккредитации лабораторий, такими как ISO/IEC 17025 «Общие требования к компетентности испытательных и калибровочных лабораторий» , который необходим для международной аккредитации лабораторий и используется в большинстве современные национальные и международные документированные стандарты по методам и технологии измерений. См. Объединенный комитет руководств по метрологии .

Неопределённость измерений имеет важные экономические последствия для деятельности по калибровке и измерениям. В отчетах о калибровке величина неопределенности часто рассматривается как показатель качества лаборатории, а меньшие значения неопределенности обычно имеют более высокую ценность и более высокую стоимость. Американское общество инженеров-механиков (ASME) разработало набор стандартов, рассматривающих различные аспекты неопределенности измерений. Например, стандарты ASME используются для рассмотрения роли неопределенности измерения при приемке или отклонении продуктов на основе результата измерения и спецификации продукта, ^[3] для обеспечения упрощенного подхода (относительно GUM) к оценке неопределенности измерения размеров. , ^[4] для разрешения разногласий по поводу величины заявления о неопределенности измерений, ^[5] и для предоставления рекомендаций относительно рисков, связанных с любым решением о приемке/отказе продукта. ^[6]

Косвенное измерение

Вышеизложенное касается прямого измерения величины, которое, кстати, встречается редко. Например, напольные весы могут преобразовать измеренное растяжение пружины в оценку измеряемой величины — массы человека на весах. Конкретное соотношение между удлинением и массой определяется калибровкой весов . Модель измерения преобразует значение величины в соответствующее значение измеряемой величины.

На практике существует множество типов измерений и, следовательно, множество моделей. Простая модель измерения (например, весы, где масса пропорциональна растяжению пружины) может оказаться достаточной для повседневного домашнего использования. Альтернативно, более сложная модель взвешивания, включающая дополнительные эффекты, такие как плавучесть воздуха , способна обеспечить лучшие результаты для промышленных или научных целей. В общем, часто существует несколько различных величин, например температура , влажность и смещение , которые способствуют определению измеряемой величины и которые необходимо измерить.

Поправочные условия должны быть включены в модель измерения, если условия измерения не совсем соответствуют оговоренным. Эти члены соответствуют систематическим ошибкам . Учитывая оценку корректирующего члена, соответствующая величина должна быть скорректирована с помощью этой оценки. С оценкой будет связана неопределенность, даже если она равна нулю, как это часто бывает. Случаи систематических ошибок при измерении высоты возникают, когда юстировка измерительного инструмента не совсем вертикальна, а температура окружающей среды отличается от предписанной. Ни юстировка прибора, ни температура окружающей среды точно не указаны, но информация об этих эффектах доступна, например, отклонение юстировки составляет не более 0,001°, а температура окружающей среды во время измерения отличается от предусмотренной не более чем на 2. °С.

Помимо необработанных данных, представляющих измеренные значения, существует еще одна форма данных, которая часто требуется в модели измерения. Некоторые такие данные относятся к величинам, представляющим физические константы , каждая из которых известна недостаточно. Примерами являются константы материала, такие как модуль упругости и теплоемкость . Часто в справочниках, сертификатах калибровки и т. д. приводятся и другие соответствующие данные, которые рассматриваются как оценки дальнейших количеств.

Элементы, необходимые модели измерения для определения измеряемой величины, известны как входные величины в модели измерения. Эту модель часто называют функциональными отношениями. Выходной величиной в модели измерения является измеряемая величина.

Формально выходная величина, обозначаемая , о которой требуется информация, часто связана с входными величинами, обозначаемыми , о которых имеется информация, моделью измерения в виде ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$

${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N}),}$

где называется функцией измерения. Общее выражение для модели измерения: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle h(Y,}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N})=0.}$

Предполагается, что процедура вычисления заданного существует и однозначно определяется этим уравнением. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle Y}$

Распространение дистрибутивов

Истинные значения входных величин неизвестны. В подходе GUM характеризуются вероятностными распределениями и математически рассматриваются как случайные величины . Эти распределения описывают соответствующие вероятности их истинных значений, лежащих в разных интервалах, и назначаются на основе имеющихся знаний о . Иногда некоторые или все из них взаимосвязаны, и соответствующие распределения, известные как совместные , применимы к этим величинам, взятым вместе. ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$

Рассмотрим оценки соответственно входных величин , полученные из сертификатов и отчетов, спецификаций производителей, анализа данных измерений и так далее. Распределения вероятностей, характеризующие, выбираются так, чтобы оценки соответственно были ожиданиями [ ^7] . Более того, для входной величины рассмотрим так называемую стандартную неопределенность , обозначенную символом и определяемую как стандартное отклонение ^[7] входной величины . Говорят, что эта стандартная неопределенность связана с (соответствующей) оценкой . ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u(x_{i})}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Использование имеющихся знаний для установления распределения вероятностей для характеристики каждой интересующей величины применимо к , а также к . В последнем случае характеризующее распределение вероятностей для определяется моделью измерений вместе с распределениями вероятностей для . Определение распределения вероятностей на основе этой информации известно как распространение распределений . ^[7] ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y}$

На рисунке ниже изображена модель измерения в случае, когда и характеризуются (разным) прямоугольным или равномерным распределением вероятностей. в этом случае имеет симметричное трапециевидное распределение вероятностей. ${\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Y}$

Аддитивная функция измерения с двумя входными величинами , характеризующаяся прямоугольными распределениями вероятностей. ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$

После того как входные величины охарактеризованы соответствующими распределениями вероятностей и разработана модель измерения, распределение вероятностей для измеряемой величины полностью определяется с точки зрения этой информации. В частности, ожидание используется в качестве оценки , а стандартное отклонение — в качестве стандартной неопределенности, связанной с этой оценкой. ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Часто требуется интервал, содержащий заданную вероятность. Такой интервал, интервал покрытия, можно вывести из распределения вероятностей для . Указанная вероятность известна как вероятность покрытия. Для заданной вероятности покрытия существует более одного интервала покрытия. Вероятностно-симметричный интервал покрытия — это интервал, для которого вероятности (суммирование до единицы минус вероятность покрытия) значения слева и справа от интервала равны. Кратчайший интервал покрытия — это интервал, длина которого наименьшая среди всех интервалов покрытия, имеющих одинаковую вероятность покрытия. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Также можно учитывать предварительные знания об истинном значении выходной величины . Для бытовых весов для ванной тот факт, что масса человека положительна, и что измеряется масса человека, а не автомобиля, представляют собой предварительное знание о возможных значениях измеряемой величины в этот пример. Такая дополнительная информация может использоваться для определения распределения вероятностей, которое может дать меньшее стандартное отклонение и, следовательно, меньшую стандартную неопределенность, связанную с оценкой . ^{[8] [9] [10]} ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Оценка неопределенности типа A и типа B

Знания о входной величине выводятся из повторяющихся измеренных значений («оценка неопределенности типа А») или научных суждений или другой информации, касающейся возможных значений величины («оценка неопределенности типа Б»). ${\displaystyle X_{i}}$

При оценках неопределенности измерения типа А часто делается предположение, что распределение, наилучшим образом описывающее входную величину с учетом повторяющихся ее измеренных значений (полученных независимо), представляет собой распределение Гаусса . тогда математическое ожидание равно среднему измеренному значению, а стандартное отклонение равно стандартному отклонению среднего. Когда неопределенность оценивается по небольшому количеству измеренных значений (рассматриваемых как примеры величины, характеризующейся распределением Гаусса), соответствующее распределение можно принять как t -распределение . ^[11] Другие соображения применимы, когда измеренные значения не получены независимо. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Для оценки неопределенности типа B часто единственной доступной информацией является информация, лежащая в заданном интервале [ ]. В таком случае знание величины можно охарактеризовать прямоугольным распределением вероятностей ^[11] с пределами и . Если бы была доступна другая информация, использовалось бы распределение вероятностей, соответствующее этой информации. ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Коэффициенты чувствительности

Коэффициенты чувствительности описывают, как на оценку будут влиять небольшие изменения в оценках входных величин . Для модели измерения коэффициент чувствительности равен частной производной первого порядка по отношению к оценкам при , и т. д. Для линейной модели измерения ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{N}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N})}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{1}=x_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}=x_{2}}$

${\displaystyle Y=c_{1}X_{1}+\cdots +c_{N}X_{N},}$

при независимом изменение равное приведет к изменению Это утверждение обычно будет приблизительным для моделей измерения . Относительные величины членов полезны при оценке соответствующих вкладов входных величин в стандартную неопределенность, связанную с . Стандартная неопределенность , связанная с оценкой выходной величины, определяется не суммой , а этими членами, объединенными в квадратуре, ^[1] а именно выражением, которое обычно является приближенным для моделей измерения : ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle u(x_{i})}$ ${\displaystyle c_{i}u(x_{i})}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N})}$ ${\displaystyle |c_{i}|u(x_{i})}$ ${\displaystyle u(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle |c_{i}|u(x_{i})}$ ${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N})}$

${\displaystyle u^{2}(y)=c_{1}^{2}u^{2}(x_{1})+\cdots +c_{N}^{2}u^{2}(x_{N}),}$

который известен как закон распространения неопределенности.

Когда входные величины содержат зависимости, приведенная выше формула дополняется членами , содержащими ковариации ^[1] , которые могут увеличиваться или уменьшаться . ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle u(y)}$

Оценка неопределенности

Основными этапами оценки неопределенности являются формулирование и расчет, последний состоит из распространения и обобщения. Стадия формулирования представляет собой

1. определение выходной величины (измеряемой величины), ${\displaystyle Y}$
2. определение входных величин, от которых зависит, ${\displaystyle Y}$
3. разработку модели измерения, касающейся входных величин, и ${\displaystyle Y}$
4. присвоение на основе имеющихся знаний распределений вероятностей — гауссовых, прямоугольных и т. д. — входным величинам (или совместного распределения вероятностей тем входным величинам, которые не являются независимыми).

Этап расчета состоит из распространения распределений вероятностей для входных величин через модель измерения для получения распределения вероятностей для выходной величины и суммирования с использованием этого распределения для получения ${\displaystyle Y}$

1. ожидание , принятое за оценку , ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$
2. стандартное отклонение , принятое за стандартную неопределенность, связанную с , и ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u(y)}$ ${\displaystyle y}$
3. интервал покрытия, содержащий указанную вероятность покрытия. ${\displaystyle Y}$

Стадия распространения оценки неопределенности известна как распространение распределений, для которого доступны различные подходы, в том числе

1. структура неопределенности GUM, представляющая собой применение закона распространения неопределенности и характеристику выходной величины с помощью гауссовского или -распределения , ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle t}$
2. аналитические методы, в которых математический анализ используется для получения алгебраической формы распределения вероятностей для , и ${\displaystyle Y}$
3. метод Монте-Карло ^[7] , в котором аппроксимация функции распределения устанавливается численно путем случайных выборок из распределений вероятностей входных величин и оценки модели по полученным значениям. ${\displaystyle Y}$

Для любой конкретной задачи оценки неопределенности используется подход 1), 2) или 3) (или какой-либо другой подход), 1) в целом приблизительный, 2) точный и 3) обеспечивающий решение с числовой точностью, которой можно управлять.

Модели с любым количеством выходных величин

Когда модель измерения является многомерной, то есть имеет любое количество выходных величин, вышеуказанные концепции могут быть расширены. ^[13] Выходные величины теперь описываются совместным распределением вероятностей, интервал покрытия становится областью покрытия, закон распространения неопределенности имеет естественное обобщение, и доступна процедура расчета, реализующая многомерный метод Монте-Карло.

Неопределенность как интервал

Наиболее распространенный взгляд на неопределенность измерения использует случайные величины в качестве математических моделей для неопределенных величин и простые распределения вероятностей, достаточные для представления неопределенностей измерений. Однако в некоторых ситуациях математический интервал может быть лучшей моделью неопределенности, чем распределение вероятностей. Это может включать ситуации, связанные с периодическими измерениями, объединенными значениями данных, цензурой , пределами обнаружения или диапазонами измерений плюс-минус, когда какое-либо конкретное распределение вероятностей кажется оправданным или когда нельзя предположить, что ошибки между отдельными измерениями полностью независимы. ^{[ нужна цитата ]}

Более надежное представление неопределенности измерения в таких случаях можно получить с помощью интервалов. ^{[14] [15]} Интервал [ a ,  b ] отличается от прямоугольного или равномерного распределения вероятностей в том же диапазоне тем, что последнее предполагает, что истинное значение лежит внутри правой половины диапазона [( a  +  b )/ 2,  b ] с вероятностью, равной половине, и в пределах любого подинтервала из [ a ,  b ] с вероятностью, равной ширине подинтервала, деленной на b  −  a . Интервал не делает таких заявлений, за исключением того, что измерение находится где-то внутри интервала. Распределения таких интервалов измерений можно обобщить в виде ящиков вероятности и структур Демпстера-Шейфера над действительными числами, которые включают в себя как алеаторические, так и эпистемические неопределенности .

Смотрите также

• Тщательность и точность
• Доверительный интервал
• Экспериментальный анализ неопределенности
• История измерений
• Распространение неопределенности
• Повторяемость
• Установить идентификацию
• Метод испытания
• Неопределенность
• Количественная оценка неопределенности
• Случайно-нечеткая переменная

Рекомендации

1. JCGM 100:2008. Оценка данных измерений – Руководство по выражению неопределенности измерений, Объединенный комитет руководств по метрологии.
2. Белл, С. Руководство по передовой практике измерений № 11. Руководство для начинающих по неопределенности измерений. Тех. представитель Национальной физической лаборатории, 1999.
3. ASME B89.7.3.1, Рекомендации по правилам принятия решений при определении соответствия спецификациям
4. ASME B89.7.3.2, Рекомендации по оценке неопределенности измерения размеров.
5. ASME B89.7.3.3, Рекомендации по оценке надежности заявлений о неопределенности измерений размеров
6. ASME B89.7.4, Неопределенность измерений и тестирование на соответствие: анализ рисков
7. JCGM 101:2008. Оценка данных измерений – Приложение 1 к «Руководству по выражению неопределенности измерений» – Распространение распределений методом Монте-Карло. Объединенный комитет руководств по метрологии.
8. Бернардо Дж. и Смит А. «Байесовская теория». John Wiley & Sons, Нью-Йорк, США, 2000. 3.20.
9. Эльстер, Клеменс (2007). «Расчет неопределенности при наличии предварительных знаний». Метрология . 44 (2): 111–116. Бибкод : 2007Метро..44..111E. дои : 10.1088/0026-1394/44/2/002. S2CID  123445853.
10. ЕВРАХИМ / СИТАК. «Количественная оценка неопределенности аналитических измерений». Тех. Руководство CG4, EU-RACHEM/CITEC, EURACHEM/CITAC Guide], 2000. Второе издание.
11. JCGM 104:2009. Оценка данных измерений. Введение в «Руководство по выражению неопределенности измерений» и сопутствующие документы. Объединенный комитет руководств по метрологии.
12. Вайзе, К.; Вогер, В. (1993). «Байесовская теория неопределенности измерений». Измерительная наука и технология . 4 (1): 1–11. Бибкод : 1993MeScT...4....1W. дои : 10.1088/0957-0233/4/1/001. S2CID  250751314.
13. Объединенный комитет руководств по метрологии (2011). JCGM 102: Оценка данных измерений – Дополнение 2 к «Руководству по выражению неопределенности в измерениях» – Расширение на любое количество выходных величин (PDF) (Технический отчет). JCGM . Проверено 13 февраля 2013 г.
14. Мански, CF (2003); Частичная идентификация вероятностных распределений , Серия Спрингера в статистике, Спрингер, Нью-Йорк
15. Ферсон, С., В. Крейнович, Дж. Хаджагос, В. Оберкампф и Л. Гинзбург (2007); Экспериментальная оценка неопределенности и статистика для данных, имеющих интервальную неопределенность, Sandia National Laboratories SAND 2007-0939

дальнейшее чтение

• Бич В., Кокс М.Г. и Харрис П.М. Эволюция «Руководства по выражению неопределенности в измерениях». Метрология, 43(4):С161–С166, 2006.
• Кокс, М.Г. и Харрис, премьер-министр SSfM. Руководство по передовой практике № 6, Оценка неопределенности. Технический отчет DEM-ES-011, Национальная физическая лаборатория, 2006 г.
• Грабе, М. Исчисление обобщенных гауссовских ошибок, Springer 2010.
• ЭА. Выражение неопределенности измерения при калибровке. Технический отчет EA-4/02, Европейское сотрудничество по аккредитации, 1999 г.
• Ферсон, С.; Крейнович В.; Хаджагос, Дж.; Оберкампф, В.; Гинзбург, Л. (2007). «Экспериментальная оценка неопределенности и статистика для данных, имеющих интервальную неопределенность» (PDF) .
• Лира., I. Оценка неопределенности измерения. Основы и практическое руководство. Институт физики, Бристоль, Великобритания, 2002 г.
• Майсен Н., Тейлор П. (редакторы), Практические примеры прослеживаемости, неопределенности измерений и валидации в химии, Том 1, 2010 г.; ISBN 978-92-79-12021-3 . 
• Поссоло А. и Айер Х.К. 2017 Концепции и инструменты для оценки неопределенности измерений Rev. Sci. Инструмент.,88 011301 (2017).
• UKAS M3003 «Выражение неопределенности и уверенности в измерениях» (издание 3, ноябрь 2012 г.) UKAS
• Руо, М. (2013), Распространение неопределенностей в экспериментальных измерениях (PDF) (краткая редакция)
• Да Силва, РБ; Бульска, Э.; Годлевска-Зилкевич, Б.; Хедрич, М.; Майсен, Н.; Магнуссон, Б.; Маринчич, С.; Пападакис, И.; Патриарка, М.; Васильева Е.; Тейлор, П. (2012). Аналитические измерения: неопределенность измерений и статистика . ISBN 978-92-79-23070-7.

Внешние ссылки

• NPLUnc
• Оценка температуры и ее неопределенность в малых системах, 2011.
• Введение в оценку неопределенности измерений
• JCGM 200:2008. Международный словарь метрологии – Основные и общие понятия и связанные с ними термины, 3-е издание. Объединенный комитет руководств по метрологии.
• ИСО 3534-1:2006. Статистика. Словарь и символы. Часть 1. Общие статистические термины и термины, используемые в теории вероятности. ИСО
• JCGM 106:2012. Оценка данных измерений. Роль неопределенности измерений в оценке соответствия. Объединенный комитет руководств по метрологии.
• НИСТ. Неопределенность результатов измерений.