Суперотбор

Правило, запрещающее согласованность определенных состояний

В квантовой механике суперотбор расширяет концепцию правил отбора .

Правила суперотбора — это постулированные правила, запрещающие создание квантовых состояний , которые демонстрируют согласованность между собственными состояниями определенных наблюдаемых . ^[1] Первоначально оно было введено Виком , Вайтманом и Вигнером , чтобы наложить дополнительные ограничения на квантовую теорию, помимо ограничений правил отбора .

Говоря математическим языком, два квантовых состояния и разделяются правилом отбора, если для данного гамильтониана , и правилом суперотбора, если для всех физических наблюдаемых . Потому что никакие наблюдаемые не соединяются , и их нельзя поместить в квантовую суперпозицию , и/или квантовую суперпозицию нельзя отличить от классической смеси двух состояний. Это также означает, что существует классически сохраняющаяся величина, которая различается между двумя состояниями. ^[2] ${\displaystyle \psi _{1}}$ ${\displaystyle \psi _{2}}$ ${\displaystyle \langle \psi _{1}|H|\psi _{2}\rangle =0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \langle \psi _{1}|A|\psi _{2}\rangle =0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle \psi _{1}|}$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle \alpha |\psi _{1}\rangle +\beta |\psi _{2}\rangle }$

Сектор суперотбора — понятие, используемое в квантовой механике , когда представление *-алгебры разлагается на неприводимые компоненты . Он формализует идею о том, что не все самосопряженные операторы являются наблюдаемыми , поскольку относительная фаза суперпозиции ненулевых состояний из разных неприводимых компонентов не наблюдаема (математические ожидания наблюдаемых не могут различать их).

Формулировка

Предположим, что A — *-алгебра с единицей , а O — * -подалгебра с единицей, самосопряженные элементы которой соответствуют наблюдаемым. Унитарное представление O можно разложить как прямую сумму неприводимых унитарных представлений O . Каждый изотипический компонент в этом разложении называется сектором суперотбора . Observables сохраняют сектора супервыбора.

Отношение к симметрии

Симметрии часто приводят к появлению секторов суперотбора (хотя это не единственный способ их возникновения). Предположим, что группа G действует на A и что H является унитарным представлением как A , так и G , которое эквивариантно в том смысле, что для всех g в G , a в A и ψ в H ,

${\displaystyle g(a\cdot \psi )=(ga)\cdot (g\psi )}$

Предположим, что O — инвариантная подалгебра A относительно G (все наблюдаемые инвариантны относительно G , но не каждый самосопряженный оператор, инвариантный относительно G , обязательно является наблюдаемой). H разлагается на сектора супервыбора, каждый из которых является тензорным произведением неприводимого представления G с представлением O .

Это можно обобщить, предположив, что H — это только представление расширения или покрытия K группы G. (Например, G может быть группой Лоренца, а K — соответствующим двойным спиновым покрытием .) Альтернативно, можно заменить G алгеброй Ли , супералгеброй Ли или алгеброй Хопфа .

Примеры

Рассмотрим квантовомеханическую частицу, заключенную в замкнутый контур (т.е. периодическую линию с периодом L ). Секторы супервыбора помечены углом θ от 0 до 2π. Все волновые функции в пределах одного сектора суперотбора удовлетворяют

${\displaystyle \psi (x+L)=e^{i\theta }\psi (x).}$

Сектора суперотбора

Большая физическая система с бесконечным множеством степеней свободы не всегда посещает все возможные состояния, даже если у нее достаточно энергии. Если магнит намагничен в определенном направлении, каждый спин будет колебаться при любой температуре, но итоговая намагниченность никогда не изменится. Причина в том, что бесконечно маловероятно, что все бесконечное число спинов в каждой позиции будут колебаться одинаково одинаково.

В большой системе часто имеются сектора суперотбора . В твердом теле различные вращения и перемещения, не являющиеся симметриями решетки, определяют сектора суперотбора. В общем, правило суперотбора — это величина, которая никогда не может измениться из-за локальных флуктуаций. Помимо параметров порядка, таких как намагниченность магнита, существуют также топологические величины, такие как число обмоток. Если струна намотана на круглую проволоку, общее количество витков, которые она обмотает, никогда не изменится при локальных колебаниях. Это обычный закон сохранения. Если провод представляет собой бесконечную линию, то в условиях, когда в вакууме нет флуктуаций числа намоток, когерентных во всей системе, закон сохранения представляет собой правило суперотбора — вероятность того, что обмотка размотается, равна нулю.

Существуют квантовые флуктуации, суперпозиции, возникающие из-за различных конфигураций интеграла по путям фазового типа, и статистические флуктуации из интеграла по путям типа Больцмана. Оба этих интеграла по траекториям обладают тем свойством, что большие изменения в фактически бесконечной системе требуют невероятного сговора между флуктуациями. Итак, существуют как статистико-механические, так и квантово-механические правила суперотбора.

В теории, где вакуум инвариантен относительно симметрии, сохраняющийся заряд приводит к секторам суперотбора в случае, когда заряд сохраняется. Электрический заряд в нашей Вселенной сохраняется, поэтому на первый взгляд это кажется тривиальным примером. Но когда сверхпроводник заполняет пространство или, что то же самое, находится в фазе Хиггса, электрический заряд все еще глобально сохраняется, но больше не определяет сектора суперотбора. Раскачивание сверхпроводника может привести к увеличению заряда любого объема с очень небольшими затратами. В этом случае сектора суперотбора вакуума помечены направлением поля Хиггса. Поскольку различные направления Хиггса связаны точной симметрией, все они в точности эквивалентны. Это предполагает глубокую связь между направлениями нарушения симметрии и сохраняющимися зарядами.

Дискретная симметрия

В двумерной модели Изинга при низких температурах существуют два различных чистых состояния: одно со средним спином, направленным вверх, а другое со средним спином, направленным вниз. Это упорядоченная фаза. При высоких температурах существует только одно чистое состояние со средним спином, равным нулю. Это фаза беспорядка. При фазовом переходе между ними симметрия между спином вверх и вниз нарушается.

Ниже температуры фазового перехода бесконечная модель Изинга может находиться либо в конфигурации «в основном плюс», либо в конфигурации «в основном минус». Если он начинается в фазе преимущественно плюс, он никогда не достигнет фазы преимущественно минус, хотя переворот всех вращений даст одинаковую энергию. Изменяя температуру, система приобрела новое правило суперотбора — средний спин. Есть два сектора суперотбора — в основном минус и преимущественно плюс.

Есть и другие сектора суперотбора; например, состояния, в которых левая половина плоскости в основном плюсовая, а правая половина плоскости в основном минусовая.

Когда появляется новое правило суперотбора, система спонтанно упорядочивает . Выше критической температуры модель Изинга неупорядочена. В принципе, он мог бы посетить каждое государство. Ниже перехода система случайным образом выбирает одну из двух возможностей и никогда не меняет своего решения.

Для любой конечной системы суперотбор несовершенен. Модель Изинга на конечной решетке в конечном итоге будет колебаться от преимущественно плюса к преимущественно минусу при любой ненулевой температуре, но это занимает очень много времени. Количество времени экспоненциально мало для размера системы, измеряемого длинами корреляции , поэтому для всех практических целей переворот никогда не происходит даже в системах, лишь в несколько раз превышающих длину корреляции.

Непрерывные симметрии

Если статистическое или квантовое поле имеет три действительных скалярных поля , а энергия или действие зависят только от комбинаций, которые симметричны относительно вращений этих компонентов друг в друга, вклады с наименьшей размерностью равны ( условие суммирования ): ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},\phi _{3}}$

${\displaystyle |\nabla \phi _{i}|^{2}+t\phi _{i}^{2}+\lambda (\phi _{i}^{2})^{2}\,}$

и определить действие в контексте квантового поля или свободную энергию в статистическом контексте. Есть две фазы. Когда t велико, потенциал имеет тенденцию смещать среднее значение к нулю. При больших и отрицательных значениях квадратичный потенциал выталкивается , но потенциал четвертой степени не позволяет ему стать бесконечным. Если это сделать в квантовом интеграле по траекториям, то это квантовый фазовый переход , в классической статистической сумме — классический фазовый переход . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

Таким образом, по мере того, как t движется к более отрицательным значениям в любом контексте, поле должно выбрать какое-то направление, в котором будет указываться. Как только он это сделает, он не сможет изменить свое мнение. Система приказала . В упорядоченной фазе все еще существует некоторая симметрия — вращение вокруг оси разрушения. Поле может указывать в любом направлении, отмеченном всеми точками единичной сферы в пространстве, которое является смежным пространством непрерывной подгруппы SO (2) в полной группе симметрии SO (3). ${\displaystyle \phi }$

В неупорядоченной фазе сектора суперотбора описываются представлением SO(3), при котором данная конфигурация трансформируется глобально. Поскольку SO(3) является целостным, различные представления не будут смешиваться друг с другом. Никакие локальные колебания никогда не приведут к возникновению нетривиальных конфигураций SO(3) из бесконечности. Локальная конфигурация полностью определяется ее представлением.

Существует массовый разрыв, или корреляционная длина, которая отделяет конфигурации с нетривиальными преобразованиями SO(3) от вращательно-инвариантного вакуума. Это верно до тех пор, пока не наступит критическая точка по t, когда исчезает массовая щель и длина корреляции становится бесконечной. Исчезающая щель является признаком того, что флуктуации поля SO(3) собираются конденсироваться.

В упорядоченной области существуют конфигурации полей, которые могут нести топологический заряд. Они помечены элементами второй гомотопической группы . Каждый из них описывает различную конфигурацию поля, которая на больших расстояниях от начала координат представляет собой извилистую конфигурацию. Хотя каждая такая изолированная конфигурация имеет бесконечную энергию, она отмечает сектора суперотбора, в которых разница в энергии между двумя состояниями конечна. Кроме того, при подходе к переходу снизу можно в большом количестве создавать пары конфигураций обмоток с противоположным топологическим зарядом. ${\displaystyle \pi _{2}(SO(3)/SO(2))=\mathbb {Z} }$

Когда число витков равно нулю, так что поле повсюду направлено в одном направлении, существует дополнительная бесконечность секторов суперотбора, каждый из которых помечен разным значением непрерывного заряда SO (2).

В упорядоченном состоянии существует массовый разрыв для секторов суперотбора, помеченных ненулевым целым числом, поскольку топологические солитоны массивны, даже бесконечно массивны. Но для всех секторов суперотбора, отмеченных нулем, не существует массовой щели, поскольку существуют безмассовые бозоны Голдстоуна , описывающие флуктуации в направлении конденсата.

Если значения полей идентифицируются при отражении Z ₂ (что соответствует изменению знака всех полей), сектора супервыбора помечаются неотрицательным целым числом (абсолютное значение топологического заряда). ${\displaystyle \phi }$

Заряды O(3) имеют смысл только в неупорядоченной фазе, а не в упорядоченной фазе. Это связано с тем, что при нарушении симметрии образуется заряженный конденсат , не инвариантный относительно группы симметрии. И наоборот, топологический заряд имеет смысл только в упорядоченной фазе, а не в неупорядоченной фазе, потому что каким-то образом в неупорядоченной фазе существует «топологический конденсат», который хаотизирует поле от точки к точке. Рандомизацию можно рассматривать как пересечение множества границ конденсированной топологической обмотки.

Сам вопрос о том, какие обвинения имеют смысл, во многом зависит от фазы. Приближаясь к фазовому переходу с неупорядоченной стороны, масса заряженных частиц приближается к нулю. Подходя к нему с упорядоченной стороны, массовая щель, связанная с флуктуациями топологических солитонов, приближается к нулю.

Примеры из физики элементарных частиц

Механизм Хиггса

В стандартной модели физики элементарных частиц в электрослабом секторе модель низкой энергии представляет собой SU(2) и U(1), разбитые на U(1) дублетом Хиггса. Единственное правило суперотбора, определяющее конфигурацию, — это полный электрический заряд. Если есть монополи, то необходимо учитывать заряд монополя.

Если параметр Хиггса t изменить так, чтобы он не приобрел вакуумное математическое ожидание, Вселенная теперь станет симметричной относительно непрерывной калибровочной группы SU (2) и U (1). Если SU(2) имеет бесконечно слабые связи, так что он ограничивается только на огромных расстояниях, то представление группы SU(2) и заряда U(1) являются правилами суперотбора. Но если SU(2) имеет ненулевую связь, то сектора суперотбора разделены бесконечной массой, поскольку масса любого состояния в нетривиальном представлении бесконечна.

Изменяя температуру, флуктуации Хиггса могут обнулить математическое ожидание при конечной температуре. Выше этой температуры квантовые числа SU(2) и U(1) описывают сектора суперотбора. Ниже фазового перехода только электрический заряд определяет сектор суперотбора.

Хиральный кварковый конденсат

Рассмотрим глобальную ароматную симметрию КХД в киральном пределе, когда массы кварков равны нулю. Это не совсем та Вселенная, в которой мы живем, где верхние и нижние кварки имеют крошечную, но ненулевую массу, но это очень хорошее приближение, поскольку изоспин сохраняется.

Ниже определенной температуры, которая является температурой восстановления симметрии, фаза упорядочивается. Образуется киральный конденсат и рождаются пионы небольшой массы. Заряды SU(N _f ), Изоспин , Гиперзаряд и SU(3), имеют смысл. Выше температуры КХД находится неупорядоченная фаза, в которой имеют смысл заряды SU(N _f )×SU(N _{f ) и цветные SU(3).}

Остается открытым вопрос, является ли температура деконфайнмента КХД также температурой плавления кирального конденсата.

Примечания

1. Бартлетт, Стивен Д.; Рудольф, Терри ; Спеккенс, Роберт В. (апрель – июнь 2007 г.). «Системы отсчета, правила суперотбора и квантовая информация». Обзоры современной физики . 79 (2): 555–606. arXiv : Quant-ph/0610030 . Бибкод : 2007РвМП...79..555Б. doi : 10.1103/RevModPhys.79.555. S2CID  118880279.
2. Джулини, Доменико (2007). «Правила суперотбора». arXiv : 0710.1516 [квант-ph].

Рекомендации

• Хоружий Сергей Сергеевич; Хоружий, С.С. (1990), Введение в алгебраическую квантовую теорию поля , Springer, ISBN 978-90-277-2722-0.
• Моретти, Вальтер (2017), Спектральная теория и квантовая механика: математические основы квантовых теорий, симметрии и введение в алгебраическую формулировку. , Спрингер, ISBN 978-3-319-70705-1.
• Моретти, Вальтер (2019), Фундаментальные математические структуры квантовой теории: спектральная теория, фундаментальные проблемы, симметрии, алгебраические формулировки. , Спрингер, ISBN 978-3-030-18345-5.
• Халворсон, Ганс; Мюгер, Майкл (2006). «Алгебраическая квантовая теория поля». arXiv : math-ph/0602036 .