Соты (геометрия)

Замощение евклидова или гиперболического пространства трех или более измерений

Кубические соты

В геометрии соты — это заполнение пространства или плотная упаковка многогранных или многомерных ячеек , так что нет никаких пробелов. Это пример более общей математической мозаики или тесселяции в любом количестве измерений. Его размерность можно пояснить как n -соты для сот n - мерного пространства.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве. Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические соты. Любой конечный однородный многогранник может быть спроецирован на его описанную сферу , чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.

Плоскость можно заполнить многоугольниками , которые не сходятся в своих углах, например, используя прямоугольники , как в шаблоне кирпичной стены: это не правильная мозаика, потому что углы лежат частично вдоль ребра соседнего многоугольника. Аналогично, в правильных сотах не должно быть ребер или вершин, лежащих частично вдоль грани соседней ячейки. Интерпретация каждой кирпичной грани как шестиугольника с двумя внутренними углами по 180 градусов позволяет считать шаблон правильной мозаикой. Однако не все геометры принимают такие шестиугольники.

Классификация

Существует бесконечно много сот, которые классифицированы лишь частично. Наиболее регулярные привлекли наибольший интерес, в то время как богатый и разнообразный ассортимент других продолжает открываться.

Простейшие соты для построения формируются из сложенных слоев или пластин призм , основанных на некоторых мозаиках плоскости. В частности, для каждого параллелепипеда копии могут заполнять пространство, причем кубические соты являются особенными, поскольку это единственные правильные соты в обычном (евклидовом) пространстве. Другое интересное семейство — тетраэдры Хилла и их обобщения, которые также могут замостить пространство.

Равномерный 3-сотовый

3-мерные однородные соты — это соты в 3-пространстве , состоящие из однородных многогранных ячеек , и имеющие все вершины одинаковые (т. е. группа [изометрий 3-пространства, сохраняющих мозаику] транзитивна на вершинах ). Существует 28 выпуклых примеров в евклидовом 3-пространстве, ^[1] также называемых архимедовыми сотами .

Соты называются регулярными, если группа изометрий, сохраняющих мозаику, действует транзитивно на флаги, где флаг — это вершина, лежащая на ребре, лежащем на грани, лежащей в ячейке. Все регулярные соты автоматически однородны. Однако в евклидовом 3-пространстве есть только одни регулярные соты, кубические соты . Две из них являются квазирегулярными (созданными из двух типов регулярных ячеек):

Тетраэдрально -октаэдрические соты и спиральные тетраэдрально-октаэдрические соты генерируются 3 или 2 позициями слоев пластин, в каждой из которых чередуются тетраэдры и октаэдры. Бесконечное количество уникальных сот может быть создано более высоким порядком шаблонов повторения этих слоев пластин.

Многогранники, заполняющие пространство

Сота, все ячейки которой идентичны в пределах ее симметрии, называется ячеечно-транзитивной или изохорной . В трехмерном евклидовом пространстве ячейка такой соты называется заполняющим пространство многогранником . ^[2] Необходимым условием для того, чтобы многогранник был заполняющим пространство многогранником, является то, что его инвариант Дена должен быть равен нулю, ^{[3] [4]} исключая любые Платоновы тела, кроме куба.

Пять заполняющих пространство выпуклых многогранников могут замостить трехмерное евклидово пространство, используя только переносы. Они называются параллелоэдрами :

1. Кубические соты (или вариации: кубоид , ромбический шестидесятигранник или параллелепипед )
2. Шестиугольные призматические соты ^[5]
3. Ромбические додекаэдрические соты
4. Удлиненные додекаэдрические соты ^[6]
5. Усеченные кубические соты или усеченные октаэдры ^[7]

Другие известные примеры многогранников, заполняющих пространство, включают в себя:

• Треугольные призматические соты
• Спиралевидные треугольные призматические соты
• Триакисовидные усеченные тетраэдрические соты . Ячейки Вороного атомов углерода в алмазе имеют такую ​​форму. ^[8]
• Трапециевидно -ромбические додекаэдрические соты ^[9]
• Изоэдральные мозаики ^[10]

Другие соты с двумя или более многогранниками

Иногда два ^[11] или более различных многогранников могут быть объединены для заполнения пространства. Помимо многих однородных сот, другим известным примером является структура Уайера-Фелана , заимствованная из структуры кристаллов клатратных гидратов ^[12]

Невыпуклые 3-сотовые

Документированные примеры редки. Можно выделить два класса:

• Невыпуклые ячейки, которые упаковываются без перекрытия, аналогично мозаикам вогнутых многоугольников. Они включают упаковку малого звездчатого ромбического додекаэдра , как в кубе Ёсимото .
• Перекрытие ячеек, положительные и отрицательные плотности которых «уравновешиваются», образуя равномерно плотный континуум, аналогичный перекрывающимся мозаикам плоскости.

Гиперболические соты

В 3-мерном гиперболическом пространстве двугранный угол многогранника зависит от его размера. Таким образом, правильные гиперболические соты включают два с четырьмя или пятью додекаэдрами, встречающимися на каждом ребре; их двугранные углы, таким образом, равны π/2 и 2π/5, оба из которых меньше, чем у евклидова додекаэдра. Помимо этого эффекта, гиперболические соты подчиняются тем же топологическим ограничениям, что и евклидовы соты и полихоры.

Перечислены 4 компактных и 11 паракомпактных правильных гиперболических сот, а также множество компактных и паракомпактных однородных гиперболических сот.

Двойственность 3-сот

Для каждой соты существует двойная сота, которую можно получить путем обмена:

ячейки для вершин.

грани для кромок.

Это всего лишь правила дуализации четырехмерных 4-мерных многогранников , за исключением того, что обычный конечный метод взаимного перемещения вокруг концентрической гиперсферы может столкнуться с проблемами.

Более правильные соты аккуратно дуализируются:

• Кубические соты самодвойственны.
• Октаэдры и тетраэдры двойственны ромбододекаэдрам.
• Плиточные соты, полученные из однородных плоских мозаик, двойственны друг другу так же, как и сами мозаики.
• Двойственные оставшимся архимедовым сотам все являются транзитивными по ячейкам и были описаны Инчбальдом. ^[13]

Самодвойные соты

Соты также могут быть самодвойственными . Все n -мерные гиперкубические соты с символами Шлефли {4,3 ^{n −2} ,4} являются самодвойственными.

Смотрите также

• Список однородных мозаик
• Обычные соты
• Бесконечный косой многогранник
• Плезиоэдр

Ссылки

1. Грюнбаум (1994). "Однородные мозаики 3-пространства". Геомбинаторика 4(2)
2. Вайсштейн, Эрик В. «Заполняющий пространство многогранник». MathWorld .
3. Дебруннер, Ханс Э. (1980), "Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln", Archiv der Mathematik (на немецком языке), 35 (6): 583–587, doi : 10.1007/BF01235384, MR  0604258, S2CID  121301319.
4. Lagarias, JC ; Moews, D. (1995), «Многогранники, которые заполняют и ножницы, конгруэнтные», Discrete and Computational Geometry , 13 (3–4): 573–583, doi : 10.1007/BF02574064 , MR  1318797 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
5. [1] Равномерное заполнение пространства с использованием треугольных, квадратных и шестиугольных призм.
6. [2] Равномерное заполнение пространства с использованием только ромбо-гексагональных додекаэдров
7. [3] Равномерное заполнение пространства с использованием только усеченных октаэдров
8. Джон Конвей (2003-12-22). "Многогранник Вороного. геометрия.головоломки". Группа новостей : геометрия.головоломки. Usenet:  [e-mail].
9. X. Qian, D. Strahs и T. Schlick, J. Comput. Chem. 22 (15) 1843–1850 (2001)
10. [4] О. Дельгадо-Фридрихс и М. О'Киф. Изоэдральные простые мозаики: бинодальны и плитки с <16 гранями. Acta Crystallogr. (2005) A61, 358-362
11. [5] Архивировано 2015-06-30 в Wayback Machine Габбриелли, Руджеро. Тринадцатигранный многогранник, заполняющий пространство своей хиральной копией.
12. Полинг, Лайнус. Природа химической связи. Cornell University Press, 1960.
13. Инчбальд, Гай (июль 1997 г.), «Двойственные архимедовы соты», The Mathematical Gazette , 81 (491): 213–219, doi :10.2307/3619198, JSTOR  3619198.

Дальнейшее чтение

• Коксетер, HSM : Правильные многогранники .
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: Учебник-источник дизайна . Dover Publications, Inc. стр. 164–199. ISBN 0-486-23729-X.Глава 5: Упаковка многогранников и заполнение пространства
• Кричлоу, К.: Порядок в пространстве .
• Пирс, П.: Структура в природе — это стратегия дизайна .
• Голдберг, Майкл Три бесконечных семейства тетраэдрических заполнителей пространства Журнал комбинаторной теории A, 16, стр. 348–354, 1974.
• Голдберг, Майкл (1972). «Пентаэдры, заполняющие пространство». Журнал комбинаторной теории, Серия A. 13 (3): 437–443. doi :10.1016/0097-3165(72)90077-5.
• Голдберг, Майкл. Пентаэдры, заполняющие пространство II , Журнал комбинаторной теории 17 (1974), 375–378.
• Голдберг, Майкл (1977). «О гексаэдрах, заполняющих пространство». Geometriae Dedicata . 6. doi :10.1007/ BF00181585 . S2CID  189889869.
• Голдберг, Майкл (1978). «О заполняющих пространство гептаэдрах». Geometriae Dedicata . 7 (2): 175–184. doi :10.1007/BF00181630. S2CID  120562040.
• Голдберг, Майкл Выпуклые многогранные заполнители пространства с более чем двенадцатью гранями. Geom. Dedicata 8, 491-500, 1979.
• Голдберг, Майкл (1981). «О заполняющих пространство октаэдрах». Geometriae Dedicata . 10 (1–4): 323–335. doi :10.1007/BF01447431. S2CID  189876836.
• Голдберг, Майкл (1982). «О заполняющих пространство декаэдрах». Структурная топология (7): 39–44. hdl :2099/990.
• Голдберг, Майкл (1982). «О заполняющих пространство эннеаэдрах». Geometriae Dedicata . 12 (3). doi :10.1007/BF00147314. S2CID  120914105.

Внешние ссылки

• Ольшевский, Джордж. "Соты". Глоссарий гиперпространства . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
• Пять заполняющих пространство многогранников, Гай Инчбальд, The Mathematical Gazette 80 , ноябрь 1996 г., стр. 466-475.
• Раумфуллерлер (Многогранники, заполняющие пространство) Т. Е. Дорозинского
• Вайсштейн, Эрик В. «Заполняющий пространство многогранник». MathWorld .