Отличное кольцо.

В коммутативной алгебре квазипревосходное кольцо — это нётерово коммутативное кольцо , которое хорошо себя ведёт относительно операции завершения , и называется превосходным кольцом, если оно также универсально цепное . Превосходные кольца — один из ответов на проблему нахождения естественного класса «хорошо себя ведущих» колец, содержащего большинство колец, которые встречаются в теории чисел и алгебраической геометрии . Одно время казалось, что класс нётеровых колец может быть ответом на эту проблему, но Масаёси Нагата и другие нашли несколько странных контрпримеров, показывающих, что в общем случае нётеровы кольца не обязательно должны быть хорошо себя ведущими: например, нормальное нётерово локальное кольцо не обязательно должно быть аналитически нормальным .

Класс превосходных колец был определен Александром Гротендиком (1965) как кандидат на такой класс хорошо ведущих себя колец. Квазипревосходные кольца предположительно являются базовыми кольцами, для которых может быть решена проблема разрешения особенностей ; Хиронака (1964) показал это в характеристике 0, но случай положительной характеристики (по состоянию на 2024 год) все еще остается крупной открытой проблемой. По сути, все нётеровы кольца, которые естественным образом встречаются в алгебраической геометрии или теории чисел, являются превосходными; на самом деле довольно сложно построить примеры нётеровых колец, которые не являются превосходными.

Определения

Определение превосходных колец довольно сложное, поэтому мы напомним определения технических условий, которым оно удовлетворяет. Хотя это кажется длинным списком условий, большинство колец на практике являются превосходными, например поля , полиномиальные кольца , полные нётеровы кольца, дедекиндовы области над характеристикой 0 (например, ), а также фактор-кольца и кольца локализации этих колец. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Вспомненные определения

• Кольцо, содержащее поле, называется геометрически регулярным над , если для любого конечного расширения кольца является регулярным . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R\otimes _{k}K}$
• Гомоморфизм колец из называется регулярным, если он плоский и для любого слоя геометрически регулярен над полем вычетов . ${\displaystyle R\to S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)}$ ${\displaystyle S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• Кольцо называется G-кольцом ^[1] (или кольцом Гротендика ), если оно нётерово и его формальные слои геометрически регулярны; это означает, что для любого отображение из локального кольца в его пополнение регулярно в указанном выше смысле. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}\to {\hat {R_{\mathfrak {p}}}}}$

Наконец, кольцо является J-2 ^[2], если любая конечная тип -алгебра является J-1 , что означает, что регулярная подсхема открыта. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{Reg}}({\text{Spec}}(S))\subset {\text{Spec}}(S)}$

Определение (квази-)совершенства

Кольцо называется квазипревосходным, если оно является G-кольцом и J-2-кольцом. Оно называется превосходным ^{[3] стр. 214,} если оно квазипревосходное и универсально цепное . На практике почти все нётеровы кольца являются универсально цепными, поэтому между превосходными и квазипревосходными кольцами мало различий. ${\displaystyle R}$

Схема называется превосходной или квазипревосходной, если она имеет покрытие открытыми аффинными подсхемами с тем же свойством, что подразумевает, что каждая открытая аффинная подсхема обладает этим свойством .

Характеристики

Поскольку превосходное кольцо является G-кольцом, ^[1] оно является нётеровым по определению. Поскольку оно универсально цепное, каждая максимальная цепь простых идеалов имеет одинаковую длину. Это полезно для изучения теории размерности таких колец, поскольку их размерность может быть ограничена фиксированной максимальной цепью. На практике это означает, что бесконечномерные нётеровы кольца ^[4], которые имеют индуктивное определение максимальных цепей простых идеалов, дающее бесконечномерное кольцо, не могут быть построены. ${\displaystyle R}$

Схемы

При наличии превосходной схемы и локально конечного морфизма типа , то является превосходным ^{[3] стр. 217} . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X'\to X}$ ${\displaystyle X'}$

Квази-превосходство

Любое квазипревосходное кольцо является кольцом Нагаты .

Любое квазипревосходное редуцированное локальное кольцо аналитически редуцировано .

Любое квазипревосходное нормальное локальное кольцо аналитически нормально .

Примеры

Отличные кольца.

Большинство естественно встречающихся коммутативных колец в теории чисел или алгебраической геометрии превосходны. В частности:

• Все полные нётеровы локальные кольца, например, все поля и кольцо Z _p целых p -адических чисел , являются превосходными.
• Все дедекиндовы области характеристики 0 превосходны. В частности, кольцо Z целых чисел превосходно. Дедекиндовы области над полями характеристики больше 0 не обязаны быть превосходными.
• Кольца сходящихся степенных рядов с конечным числом переменных над R или C превосходны.
• Любая локализация отличного кольца превосходна.
• Любая конечно порожденная алгебра над превосходным кольцом является превосходной. Это включает все полиномиальные алгебры с превосходным. Это означает, что большинство колец, рассматриваемых в алгебраической геометрии, являются превосходными. ${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{k})}$ ${\displaystyle R}$

Кольцо J-2, которое не является кольцом G

Вот пример кольца дискретного нормирования A размерности 1 и характеристики p > 0 , которое является J-2 , но не является G -кольцом и, таким образом, не является квазипревосходным. Если k - любое поле характеристики p с [ k  : k ^p ] = ∞ , а A - кольцо степенных рядов Σ a _i x ⁱ такое, что [ k ^p ( a ₀ , a ₁ , ...) : k ^p ] конечно, то не все формальные слои кольца A геометрически регулярны, поэтому A не является G -кольцом. Это кольцо является J-2 , поскольку все нётеровы локальные кольца размерности не более 1 являются J-2 -кольцами. Оно также является универсально цепным, поскольку является областью Дедекинда. Здесь k ^p обозначает образ k при морфизме Фробениуса a → a ^p .

G-кольцо, которое не является кольцом J-2

Вот пример кольца, которое является G-кольцом, но не является J-2-кольцом и, таким образом, не является квазипревосходным. Если R — подкольцо многочленного кольца k [ x ₁ , x ₂ ,...] с бесконечным числом образующих, порожденных квадратами и кубами всех образующих, и S получается из R присоединением обратных ко всем элементам, не содержащимся ни в одном из идеалов, порожденных некоторым x _n , то S — одномерная нётерова область, которая не является J-1- кольцом, поскольку S имеет особенность типа касп в каждой замкнутой точке, поэтому множество особых точек не замкнуто, хотя оно является G-кольцом. Это кольцо также является универсально цепным, поскольку его локализация в каждом простом идеале является фактором регулярного кольца.

Квази-превосходное кольцо, которое не является превосходным

Пример Нагаты двумерного нётерова локального кольца, которое является цепным, но не универсально цепным, является G-кольцом, а также J-2-кольцом, поскольку любое локальное G-кольцо является J-2-кольцом (Мацумура 1980, стр. 88, 260). Таким образом, это квазипревосходное цепное локальное кольцо, которое не является превосходным.

Разрешение сингулярностей

Квазипревосходные кольца тесно связаны с проблемой разрешения особенностей , и это, по-видимому, было мотивацией Гротендика ^{[3] стр. 218} для их определения. Гротендик (1965) заметил, что если возможно разрешить особенности всех полных целочисленных локальных нётеровых колец, то возможно разрешить особенности всех редуцированных квазипревосходных колец. Хиронака (1964) доказал это для всех полных целочисленных нётеровых локальных колец над полем характеристики 0, что влечет его теорему о том, что все особенности превосходных схем над полем характеристики 0 могут быть разрешены. Наоборот, если возможно разрешить все особенности спектров всех целочисленных конечных алгебр над нётеровым кольцом R, то кольцо R является квазипревосходным.

Смотрите также

• Разрешение сингулярностей

Ссылки

1. "Раздел 15.49 (07GG): G-кольца — проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 24.07.2020 .
2. "Раздел 15.46 (07P6): Единичное локус — проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 24.07.2020 .
3. Гротендик, Александр (1965). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное исследование схем и морфизмов схем, Вторая партия». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 24 :5–231.
4. "Раздел 108.14 (02JC): Нетерово кольцо бесконечной размерности — проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 24.07.2020 .

• Александр Гротендик , Жан Дьедонне , Элементы алгебраической геометрии IV Publications Mathématiques de l'IHÉS 24 (1965), раздел 7
• В.И. Данилов (2001) [1994], "Отличное кольцо", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Хиронака, Хейсуке (1964). «Разрешение особенностей алгебраического многообразия над полем нулевой характеристики: I». Annals of Mathematics . 79 (1): 109–203. doi :10.2307/1970486. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970486.
• Хиронака, Хейсуке (1964). «Разрешение особенностей алгебраического многообразия над полем нулевой характеристики: II». Annals of Mathematics . 79 (2): 205–326. doi :10.2307/1970547. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970547.
• Мацумура, Хидеюки (1980). "Глава 13". Коммутативная алгебра . Рединг, Массачусетс: Benjamin/Cummings Pub. Co. ISBN 0-8053-7026-9.