Превосходное высокосоставное число

Класс натуральных чисел

Функция делителя d ( n ) до n = 250

Факторы первичной мощности

В теории чисел высшее высокосоставное число — это натуральное число , которое в строгом смысле имеет много делителей . В частности, оно определяется отношением между количеством делителей целого числа и этим целым числом, возведенным в некоторую положительную степень.

Для любого возможного показателя степени любое целое число с наибольшим отношением является превосходящим высокосоставным числом. Это более сильное ограничение, чем ограничение высокосоставного числа , которое определяется как имеющее больше делителей, чем любое меньшее положительное целое число.

Перечислены первые десять высших высокосоставных чисел и их факторизация.

График количества делителей целых чисел от 1 до 1000. Высокосоставные числа выделены жирным шрифтом, а превосходные высокосоставные числа помечены звездочками. В файле SVG наведите курсор на столбец, чтобы увидеть его статистику.

Для высшего высоко составного числа n существует положительное действительное число ε > 0 такое, что для всех натуральных чисел k > 1 имеем где d ( n ) , функция делителей , обозначает число делителей n . Термин был введен Рамануджаном (1915). ^[1] $${\displaystyle {\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}\geq {\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}}$$

Например, число с наибольшим количеством делителей на квадратный корень самого числа — 12; это можно продемонстрировать с помощью некоторых весьма составных чисел, близких к 12. $${\displaystyle {\frac {2}{2^{.5}}}\approx 1.414,{\frac {3}{4^{.5}}}=1.5,{\frac {4}{6^{.5}}}\approx 1.633,{\frac {6}{12^{.5}}}\approx 1.732,{\frac {8}{24^{.5}}}\approx 1.633,{\frac {12}{60^{.5}}}\approx 1.549}$$

120 — еще одно превосходное высокосоставное число, поскольку оно имеет самое большое отношение делителей к себе в степени 0,4. $${\displaystyle {\frac {9}{36^{.4}}}\approx 2.146,{\frac {10}{48^{.4}}}\approx 2.126,{\frac {12}{60^{.4}}}\approx 2.333,{\frac {16}{120^{.4}}}\approx 2.357,{\frac {18}{180^{.4}}}\approx 2.255,{\frac {20}{240^{.4}}}\approx 2.233,{\frac {24}{360^{.4}}}\approx 2.279}$$

Первые 15 высших высокосоставных чисел, 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (последовательность A002201 в OEIS ) также являются первыми 15 колоссально обильными числами , которые удовлетворяют аналогичному условию, основанному на функции суммы делителей, а не на количестве делителей. Однако ни один из наборов не является подмножеством другого.

Характеристики

Диаграмма Эйлера для чисел до 100:

   Обильный

   Примитивный обильный

   Очень распространенный

   Сверхобильный и очень сложный

   Колоссально обильный и превосходный, высококомпозитный

   Странный

   Идеальный

   Композитный

   Недостаточный

Все превосходные высокосоставные числа являются высокосоставными . Это легко доказать: если существует некоторое число k , которое имеет то же количество делителей, что и n, но меньше самого n (т. е. , но ), то для всех положительных ε, поэтому если число "n" не является высокосоставным, оно не может быть превосходным высокосоставным. ${\displaystyle d(k)=d(n)}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle {\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}>{\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}}$

Эффективная конструкция множества всех высших высокосоставных чисел задается следующим монотонным отображением положительных действительных чисел. ^[2] Пусть для любого простого числа p и положительного действительного числа x . Тогда — высшее высокосоставное число. $${\displaystyle e_{p}(x)=\left\lfloor {\frac {1}{{\sqrt[{x}]{p}}-1}}\right\rfloor }$$ $${\displaystyle s(x)=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{e_{p}(x)}}$$

Обратите внимание, что произведение не обязательно должно вычисляться бесконечно, поскольку если то , то вычисление произведения можно прекратить один раз . ${\displaystyle p>2^{x}}$ ${\displaystyle e_{p}(x)=0}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle p\geq 2^{x}}$

Также следует отметить, что в определении аналогично неявному определению высшего высокосоставного числа. ${\displaystyle e_{p}(x)}$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Более того, для каждого высшего высокосоставного числа существует полуоткрытый интервал такой, что . ${\displaystyle s'}$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \forall x\in I:s(x)=s'}$

Это представление подразумевает, что существует бесконечная последовательность таких, что для n -го высшего высоко составного числа выполняется ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2},\ldots \in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle s_{n}}$ $${\displaystyle s_{n}=\prod _{i=1}^{n}\pi _{i}}$$

Первые — это 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, ... (последовательность A000705 в OEIS ). Другими словами, частное двух последовательных высших высокосоставных чисел является простым числом. ${\displaystyle \pi _{i}}$

Радичес

Первые несколько высших высокосоставных чисел часто использовались в качестве оснований из-за их высокой делимости для их размера. Например:

• Двоичный (основание 2)
• Шестеричная (основание 6)
• Двенадцатеричная (основание 12)
• Шестидесятеричная (основание 60)

Большие числа SHCN можно использовать и другими способами. 120 отображается как длинная сотня , а 360 отображается как количество градусов в окружности.

Примечания

1. Weisstein, Eric W. "Superior Highly Composite Number" (Превосходное высокосоставное число). mathworld.wolfram.com . Получено 05.03.2021 .
2. Рамануджан (1915); см. также URL http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/hcn.dvi

Ссылки

• Рамануджан, С. (1915). «Высокосоставные числа». Proc. London Math. Soc . Series 2. 14 : 347–409. doi :10.1112/plms/s2_14.1.347. JFM  45.1248.01. Перепечатано в сборнике статей (ред. GH Hardy et al.), Нью-Йорк: Chelsea, стр. 78–129, 1962 г.
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag . стр. 45–46. ISBN 1-4020-4215-9. Збл  1151.11300.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Превосходное высокосоставное число». MathWorld .