Шестизначный

Система счисления с основанием 6

Шестеричная ( / ˈ s iː n ər i , ˈ s ɛ n ər i / ) система счисления (также известная как система счисления с основанием 6 , шестнадцатеричная или секстичная ) имеет в качестве основания шесть . Она была принята независимо небольшим числом культур. Как и десятичная система счисления с основанием 10 , основание является полупростым , хотя оно уникально как произведение единственных двух последовательных чисел, которые оба являются простыми (2 и 3). Поскольку шесть является высшим высоко составным числом , многие из аргументов, выдвинутых в пользу двенадцатеричной системы, также применимы к шестеричной системе.

Формальное определение

Стандартный набор цифр в шестеричной системе — это , с линейным порядком . Пусть — замыкание Клини для , где — операция конкатенации строк для . Шестеричная система счисления для натуральных чисел — это фактор-множество, снабженное порядком shortlex , где класс эквивалентности — . Поскольку имеет порядок shortlex, он изоморфен натуральным числам . ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}=\lbrace 0,1,2,3,4,5\rbrace }$ ${\displaystyle 0<1<2<3<4<5}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {D}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{6}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}^{*}/\sim }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \lbrace n\in {\mathcal {D}}_{6}^{*},n\sim 0n\rbrace }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{6}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Математические свойства

При выражени в шестеричной системе все простые числа, кроме 2 и 3, имеют в качестве конечной цифры 1 или 5. В шестеричной системе простые числа записываются так:

2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51, 101, 105, 111, 115, 125, 135, 141, 151, 155, 201, 211, 215, 225, 241, 245, 251, 255, 301, 305, 331, 335, 345, 351, 405, 411, 421, 431, 435, 445, 455, 501, 515, 521, 525, 531, 551, ... (последовательность A004680 в OEIS )

То есть для каждого простого числа p, большего 3, выполняются модульные арифметические соотношения, что либо p ≡ 1, либо 5 (mod 6) (то есть 6 делит либо p  − 1, либо p  − 5); последняя цифра — 1 или 5. Это доказывается от противного.

Для любого целого числа n :

• Если n ≡ 0 (mod 6), 6 | n
• Если n ≡ 2 (mod 6), 2 | n
• Если n ≡ 3 (mod 6), 3 | n
• Если n ≡ 4 (mod 6), 2 | n

Кроме того, поскольку наименьшие четыре простых числа (2, 3, 5, 7) являются либо делителями, либо соседями числа 6, у шестеричной системы есть простые тесты делимости для многих чисел.

Более того, все четные совершенные числа, кроме 6, имеют 44 в качестве последних двух цифр при выражений в шестеричной системе, что доказывается тем фактом, что каждое четное совершенное число имеет вид 2 ^{p – 1} (2 ^p – 1) , где 2 ^p − 1 является простым числом.

Шестиричная система счисления также является самой большой системой счисления с основанием r , которая не имеет других тотативов , кроме 1 и r  − 1, что делает ее таблицу умножения весьма регулярной для ее размера, минимизируя количество усилий, необходимых для запоминания ее таблицы. Это свойство максимизирует вероятность того, что результат целочисленного умножения закончится нулем, учитывая, что ни один из ее множителей не заканчивается нулем.

Если число делится на 2, то последняя цифра этого числа, выраженная в шестеричной системе, равна 0, 2 или 4. Если число делится на 3, то последняя цифра этого числа в шестеричной системе равна 0 или 3. Число делится на 4, если его предпоследняя цифра нечетная и его последняя цифра равна 2, или его предпоследняя цифра четная и его последняя цифра равна 0 или 4. Число делится на 5, если сумма его шестеричных цифр делится на 5 (эквивалент отбрасывания девяток в десятичной системе). Если число делится на 6, то последняя цифра этого числа равна 0. Чтобы определить, делится ли число на 7, можно сложить его чередующиеся цифры и вычесть эти суммы; если результат делится на 7, то число делится на 7, аналогично проверке делимости на «11» в десятичной системе счисления.

Дроби

Поскольку шесть является произведением первых двух простых чисел и является смежным числом со следующими двумя простыми числами, многие шестеричные дроби имеют простые представления:

Подсчет пальцев

34 _{шестеричных} = 22 _{десятичных} , в шестеричной системе счисления по пальцам

Можно сказать, что каждая обычная человеческая рука имеет шесть однозначных положений: кулак, один вытянутый палец, два, три, четыре и затем все пять вытянутых пальцев.

Если правая рука используется для представления единицы (от 0 до 5), а левая — для представления чисел, кратных 6, то становится возможным для одного человека представлять значения от нуля до 55 _{в шестеричной системе} (35 _{в десятичной системе} ) с помощью своих пальцев, а не обычные десять, получаемые при стандартном счете по пальцам. Например, если вытянуть три пальца на левой руке и четыре на правой, будет представлено 34 _{в шестеричной системе} . Это эквивалентно 3 × 6 + 4 , что составляет 22 _{в десятичной системе} .

Кроме того, этот метод является наименее абстрактным способом счета с использованием двух рук, что отражает концепцию позиционной нотации , поскольку перемещение из одной позиции в другую осуществляется путем переключения с одной руки на другую. В то время как большинство развитых культур считают пальцами до 5 очень похожим образом, после 5 не-западные культуры отклоняются от западных методов, например, с помощью китайских числовых жестов . Поскольку шестеричный счет пальцами также отклоняется только после 5, этот метод счета соперничает по простоте с традиционными методами счета, факт, который может иметь последствия для обучения позиционной нотации молодых учеников.

Какая рука используется для «шестерок», а какая для единиц, зависит от предпочтений со стороны счетчика; однако, если смотреть с точки зрения счетчика, использование левой руки в качестве самой значимой цифры коррелирует с письменным представлением того же шестеричного числа. Переворачивание руки с «шестерками» на ее обратную сторону может помочь еще больше устранить неоднозначность, какая рука представляет «шестерки», а какая представляет единицы. Однако недостатком шестеричного счета является то, что без предварительного соглашения две стороны не смогут использовать эту систему, будучи не уверены, какая рука представляет шестерки, а какая рука представляет единицы, тогда как счет на основе десятичной системы (с числами после 5, выраженными открытой ладонью и дополнительными пальцами), являясь по сути унарной системой, требует от другой стороны только подсчета количества вытянутых пальцев.

В баскетбольной ассоциации NCAA номера игроков на форме ограничены шестеричными числами, содержащими не более двух цифр, чтобы судьи могли сигнализировать, какой игрок совершил нарушение, используя эту систему подсчета пальцев. ^[1]

Более абстрактные системы счета пальцев , такие как чисанбоп или пальцевая двоичная система , позволяют считать до 99, 1023 или даже выше в зависимости от метода (хотя не обязательно шестеричная по своей природе). Английский монах и историк Беда , описал в первой главе своего труда De temporum ratione (725), озаглавленного " Tractatus de computo, vel loquela per gestum digitorum ", систему, которая позволяла считать до 9999 на двух руках. ^{[2] [3]}

Естественные языки

Несмотря на редкость культур, в которых большие количества группируются по 6, обзор развития числовых систем предполагает пороговое значение числа 6 (возможно, осмысляемое как «целое», «кулак» или «больше пяти пальцев» ^[4] ), при этом числа 1–6 часто являются чистыми формами, а числа впоследствии конструируются или заимствуются. ^[5]

Сообщается, что в языке ндом в Индонезии и Новой Гвинее используются шестеричные числительные. [ 6 ] [ ^{7 ]} Mer означает 6, mer an thef означает 6 × 2 = 12, nif означает 36, а nif thef означает 36 × 2 = 72.

Другим примером из Папуа-Новой Гвинеи являются языки ям . В этих языках счет связан с ритуальным счетом ямса. Эти языки считают с основания шесть, используя слова для обозначения степеней числа шесть; до 6 ⁶ для некоторых языков. Одним из примеров является Komnzo со следующими числительными: nibo (6 ¹ ), fta (6 ² [36]), taruba (6 ³ [216]), damno (6 ⁴ [1296]), wärämäkä (6 ⁵ [7776]), wi (6 ⁶ [46656]).

Сообщается, что в некоторых языках Нигера и Конго используется шестеричная система счисления, обычно в дополнение к другой, например, десятичной или двадцатеричной . ^[5]

Предполагается, что в протоуральском языке также существовала шестеричная система счисления, причем число 7 было заимствовано позже, хотя свидетельства построения более крупных чисел (8 и 9) путем вычитания из десяти позволяют предположить, что это может быть не так. ^[5]

Основание 36 как шестеричное сжатие

Для некоторых целей шестеричная система может оказаться слишком маленькой для удобства. Это можно обойти, используя ее квадратную основу 36 (гексатригезимальную), так как тогда преобразование упрощается путем простого выполнения следующих замен:

Таким образом, число 3ARK ₃₆ в системе счисления с основанием 36 равно шестеричному числу 3144332 _6. В десятичной системе счисления это 153 920.

Выбор 36 в качестве основания удобен тем, что цифры могут быть представлены с использованием арабских цифр 0–9 и латинских букв A–Z; этот выбор является основой схемы кодирования base36 . Эффект сжатия 36, являющегося квадратом 6, приводит к тому, что многие шаблоны и представления становятся короче в base36:

⁠1/9 ₁₀⁠ = 0,04 ₆ = 0,4 ₃₆

⁠1/16 ₁₀⁠ = 0,0213 ₆ = 0,29 ₃₆

⁠1/5 ₁₀⁠ = 0. 1 ₆ = 0. 7 ₃₆

⁠1/7 ₁₀⁠ = 0, 05 ₆ = 0, 5 ₃₆

Смотрите также

• Метод Diceware для кодирования значений по основанию 6 в произносимые пароли.
• Схема кодирования Base36
• Шифр ADFGVX для шифрования текста в последовательность фактически шестеричных цифр

Ссылки

1. Шёнбрун, Зак (31 марта 2015 г.). «Crunching the Numbers: College Basketball Players Can't Wear 6, 7, 8 or 9» . The New York Times . ISSN  0362-4331 . Получено 31 августа 2022 г. .
2. Блум, Джонатан М. (весна 2002 г.). «Суммы на руках: древнее искусство счета пальцами». Бостонский колледж . Архивировано из оригинала 13 августа 2011 г. Получено 12 мая 2012 г.
3. "Дактилономия". Laputan Logic. 16 ноября 2006 г. Архивировано из оригинала 23 марта 2012 г. Получено 12 мая 2012 г.{{cite web}}: CS1 maint: unfit URL (link)
4. Блевинс, Джульетта (3 мая 2018 г.). «Происхождение севернокостаноанского ʃak:en 'six': Пересмотр сенарного счета в утийском». Международный журнал американской лингвистики . 71 (1): 87–101. doi :10.1086/430579. JSTOR  10.1086/430579. S2CID  144384806.
5. Plank, Frans (26 апреля 2009 г.). "Senary summary so far" (PDF) . Linguistic Typology . 13 (2). doi :10.1515/LITY.2009.016. S2CID  55100862. Архивировано (PDF) из оригинала 2016-04-06 . Получено 31 августа 2022 г. .
6. Оуэнс, Кей (апрель 2001 г.). «Работа Глендона Лина по системам подсчета Папуа-Новой Гвинеи и Океании» . Журнал исследований в области математического образования . 13 (1): 47–71. Bibcode :2001MEdRJ..13...47O. doi :10.1007/BF03217098. ISSN  1033-2170. S2CID  161535519 . Получено 31 августа 2022 г. – через Springer.
7. Оуэнс, Кей (2001), «Работа Глендона Лина по системам подсчета Папуа-Новой Гвинеи и Океании», Журнал исследований математического образования , 13 (1): 47–71, Bibcode : 2001MEdRJ..13...47O, doi : 10.1007/BF03217098, S2CID  161535519, архивировано из оригинала 26.09.2015

Внешние ссылки

• Комплексный ресурс по основанию шесть
• Диалект Шака с шестью основаниями
• Перевод шестеричной базы
• Преобразователь системы счисления в систему счисления (Sooeet)
• Калькулятор