Предельные теоремы Сегё

Определитель больших матриц Тёплица

В математическом анализе предельные теоремы Сегё описывают асимптотическое поведение определителей больших матриц Тёплица . ^{[1] [2] [3]} Они были впервые доказаны Габором Сегё .

Обозначение

Пусть будет рядом Фурье с коэффициентами Фурье , связанными друг с другом соотношением ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle c_{k}}$

${\displaystyle w(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{ik\theta },\qquad \theta \in [0,2\pi ],}$

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }w(\theta )e^{-ik\theta }\,d\theta ,}$

так что матрицы Теплица являются эрмитовыми , т.е. если то . Тогда и собственные значения являются действительными, а определитель задается выражением ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle T_{n}(w)=\left(c_{k-l}\right)_{0\leq k,l\leq n-1}}$ ${\displaystyle T_{n}(w)=T_{n}(w)^{\ast }}$ ${\displaystyle c_{-k}={\overline {c_{k}}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle (\lambda _{m}^{(n)})_{0\leq m\leq n-1}}$ ${\displaystyle T_{n}(w)}$

${\displaystyle \det T_{n}(w)=\prod _{m=1}^{n-1}\lambda _{m}^{(n)}}$.

Теорема Сегё

При соответствующих предположениях теорема Сегё утверждает, что

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{m=0}^{n-1}F(\lambda _{m}^{(n)})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }F(w(\theta ))\,d\theta }$

для любой функции , которая непрерывна в области значений . В частности, ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle w}$

таким образом, что среднее арифметическое сходится к интегралу . ^[4] ${\displaystyle \lambda ^{(n)}}$ ${\displaystyle w}$

Первая теорема Сегё

Первая теорема Сегё ^{[1] [3] [5]} утверждает, что если правая часть ( 1 ) верна и , то ${\displaystyle w\geq 0}$

справедливо для и . Правая часть ( 2 ) является геометрическим средним (хорошо определено неравенством арифметического и геометрического среднего ). ${\displaystyle w>0}$ ${\displaystyle w\in L_{1}}$ ${\displaystyle w}$

Вторая теорема Сегё

Пусть будет коэффициентом Фурье , записанным как ${\displaystyle {\widehat {c}}_{k}}$ ${\displaystyle \log w\in L^{1}}$

${\displaystyle {\widehat {c}}_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log(w(\theta ))e^{-ik\theta }\,d\theta }$

Вторая (или сильная) теорема Сегё ^{[1] [6]} утверждает, что если , то ${\displaystyle w\geq 0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\det T_{n}(w)}{e^{(n+1){\widehat {c}}_{0}}}}=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }k\left|{\widehat {c}}_{k}\right|^{2}\right).}$

Смотрите также

• Тригонометрическая проблема моментов
• Теорема Верблунского

Ссылки

1. Бетчер, Альбрехт; Зильберманн, Бернд (1990). «Определители Теплица». Анализ операторов Теплица . Берлин: Springer-Verlag. п. 525. ИСБН 3-540-52147-X. МР  1071374.
2. Эрхардт, Т.; Зильберманн, Б. (2001) [1994], "Szegö_limit_theorems", Энциклопедия математики , EMS Press
3. Simon, Barry (2011). Теорема Сегё и ее потомки: спектральная теория для L ² возмущений ортогональных многочленов . Принстон: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14704-8.
4. Грей, Роберт М. (2006). "Теплиц и циркулянтные матрицы: обзор" (PDF) . Основы и тенденции в обработке сигналов .
5. Сегё, Г. (1915). «Ein Grenzwertsatz über die Toeplitzschen Determinanten einer reellen позитивная функция». Математика. Энн . 76 (4): 490–503. дои : 10.1007/BF01458220. S2CID  123034653.
6. Szegő, G. (1952). «О некоторых эрмитовых формах, связанных с рядом Фурье положительной функции». Comm. Sém. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] : 228–238. MR  0051961.