Предельная скорость

Наивысшая скорость, достижимая падающим объектом

Направленная вниз сила тяжести ( F _g ) равна удерживающей силе сопротивления ( F _d ) плюс плавучесть. Чистая сила, действующая на объект, равна нулю, и в результате скорость объекта остается постоянной.

Конечная скорость — это максимальная скорость (скорость), которую достигает объект при падении через жидкость ( наиболее распространенный пример — воздух ). Это происходит, когда сумма силы сопротивления ( F _d ) и плавучести равна нисходящей силе тяжести ( F _G ), действующей на объект. Поскольку результирующая сила, действующая на объект, равна нулю, объект имеет нулевое ускорение . ^[1] Для объектов, падающих в обычном воздухе, выталкивающая сила обычно не учитывается и не принимается во внимание, поскольку ее влияние незначительно. ^{[ нужна цитата ]}

В гидродинамике объект движется со своей конечной скоростью, если его скорость постоянна из-за сдерживающей силы, оказываемой жидкостью, через которую он движется. ^[2]

По мере увеличения скорости объекта увеличивается и действующая на него сила сопротивления, которая также зависит от вещества, через которое он проходит (например, воздуха или воды). На некоторой скорости сопротивление или сила сопротивления будет равна гравитационному притяжению объекта. В этот момент объект перестает ускоряться и продолжает падать с постоянной скоростью, называемой конечной скоростью (также называемой скоростью стабилизации ). Объект, движущийся вниз со скоростью, превышающей предельную скорость (например, из-за того, что его бросили вниз, он упал из более тонкой части атмосферы или изменил форму), будет замедляться до тех пор, пока не достигнет конечной скорости. Перетаскивание зависит от проецируемой области , которая здесь представлена ​​поперечным сечением или силуэтом объекта в горизонтальной плоскости. Объект с большой проекционной площадью относительно его массы, например парашют, имеет более низкую конечную скорость, чем объект с небольшой проекционной площадью относительно его массы, например дротик. В общем, для одной и той же формы и материала конечная скорость объекта увеличивается с размером. Это связано с тем, что направленная вниз сила (вес) пропорциональна кубу линейного размера, а сопротивление воздуха примерно пропорционально площади поперечного сечения, которая увеличивается только пропорционально квадрату линейного размера. Для очень маленьких объектов, таких как пыль и туман, конечная скорость легко преодолевается конвекционными потоками, которые могут вообще помешать им достичь земли, и, следовательно, они могут оставаться в воздухе в течение неопределенного времени. Примерами являются загрязнение воздуха и туман.

Примеры

График зависимости скорости парашютиста от времени, достигшего конечной скорости.

Например, исходя из сопротивления воздуха, конечная скорость парашютиста в положении свободного падения животом к земле (т. е. лицом вниз) составляет около 55 м/с (180 футов/с). ^[3] Эта скорость является асимптотическим предельным значением скорости, и силы, действующие на тело, все более и более уравновешивают друг друга по мере приближения к конечной скорости. В этом примере скорость в 50 % от скорости терминала достигается всего примерно за 3 секунды, тогда как для достижения 90 % требуется 8 секунд, для достижения 99 % — 15 секунд и так далее.

Более высоких скоростей можно достичь, если парашютист подтянет конечности (см. Также свободный полет ). В этом случае конечная скорость увеличивается примерно до 90 м/с (300 футов/с), ^[3] что почти соответствует конечной скорости сапсана, пикирующего на свою добычу. ^[4] Согласно исследованию артиллерийского вооружения армии США 1920 года, такая же конечная скорость достигается для типичной пули .30-06, падающей вниз — когда она возвращается на землю после выстрела вверх или сбрасывается с башни. ^[5]

Парашютисты, участвующие в соревнованиях по скорости , летают с опущенной головой и могут достигать скорости 150 м/с (490 футов/с). ^{[ нужна цитата ]} Текущий рекорд принадлежит Феликсу Баумгартнеру , который прыгнул с высоты 38 887 м (127 582 фута) и достиг скорости 380 м/с (1200 фут/с), хотя он достиг этой скорости на большой высоте, где плотность воздух находится намного ниже, чем на поверхности Земли, что создает соответственно меньшую силу сопротивления. ^[6]

Биолог Дж.Б.С. Холдейн писал:

Для мыши и любого более мелкого животного [гравитация] практически не представляет опасности. Вы можете бросить мышь в шахту длиной в тысячу ярдов; и, достигнув дна, он испытывает легкий шок и уходит. Крыса убита, человек сломан, лошадь забрызгана. Ибо сопротивление, оказываемое движению воздуха, пропорционально поверхности движущегося объекта. Разделите длину, ширину и высоту животного на десять; вес его уменьшен на тысячную долю, а поверхность лишь на сотую. Таким образом, сопротивление падению маленького животного относительно в десять раз превышает движущую силу. ^[7]

Физика

Используя математические термины, конечная скорость - без учета эффектов плавучести - определяется выражением

$${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}}$$

• ${\displaystyle V_{t}}$представляет конечную скорость,
• ${\displaystyle m}$- масса падающего предмета,
• ${\displaystyle g}$- ускорение свободного падения ,
• ${\displaystyle C_{d}}$коэффициент лобового сопротивления ,
• ${\displaystyle \rho }$- плотность жидкости , через которую падает объект, и
• ${\displaystyle A}$– проецируемая площадь объекта. ^[8]

В действительности объект приближается к своей конечной скорости асимптотически .

Эффекты плавучести, возникающие из-за направленной вверх силы на объект со стороны окружающей жидкости, можно учесть, используя принцип Архимеда : масса должна уменьшаться на массу вытесненной жидкости вместе с объемом объекта. Поэтому вместо использования приведенной массы в этой и последующих формулах. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \rho V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m_{r}=m-\rho V}$

Конечная скорость объекта изменяется в зависимости от свойств жидкости, массы объекта и площади его проекционной поверхности поперечного сечения .

Плотность воздуха увеличивается с уменьшением высоты примерно на 1% на 80 метров (260 футов) (см. барометрическую формулу ). Для объектов, падающих в атмосфере, на каждые 160 метров (520 футов) падения конечная скорость уменьшается на 1%. После достижения локальной конечной скорости, продолжая падение, скорость уменьшается и изменяется вместе с локальной конечной скоростью.

Используя математические термины, определяя положительную величину, результирующая сила, действующая на объект, падающий вблизи поверхности Земли, равна (согласно уравнению сопротивления ):

$${\displaystyle F_{\text{net}}=ma=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d},}$$

где v ( t ) скорость объекта как функция времени t .

В состоянии равновесия результирующая сила равна нулю ( F _net = 0) ^[9] и скорость становится конечной скоростью lim _{t →∞} v ( t ) = V _t :

$${\displaystyle mg-{1 \over 2}\rho V_{t}^{2}AC_{d}=0.}$$

Решение для V _t дает:

Уравнение сопротивления, предполагая, что _ρ , g и Cd являются постоянными, имеет следующий вид:

$${\displaystyle ma=m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d}.}$$

Хотя это уравнение Риккати , которое можно решить путем сведения к линейному дифференциальному уравнению второго порядка, в нем легче разделить переменные .

Более практичную форму этого уравнения можно получить, сделав замену α ² =ρAC _д/2 мг.

Разделив обе части на m , получим

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=g\left(1-\alpha ^{2}v^{2}\right).}$$

Уравнение можно переписать в

$${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} v}{g(1-\alpha ^{2}v^{2})}}.}$$

Взяв интеграл от обеих частей, получим

$${\displaystyle \int _{0}^{t}{\mathrm {d} t'}={1 \over g}\int _{0}^{v}{\frac {\mathrm {d} v'}{1-\alpha ^{2}v^{\prime 2}}}.}$$

После интеграции это становится

$${\displaystyle t-0={1 \over g}\left[{\ln(1+\alpha v') \over 2\alpha }-{\frac {\ln(1-\alpha v')}{2\alpha }}+C\right]_{v'=0}^{v'=v}={1 \over g}\left[{\ln {\frac {1+\alpha v'}{1-\alpha v'}} \over 2\alpha }+C\right]_{v'=0}^{v'=v}}$$

или в более простой форме

$${\displaystyle t={1 \over 2\alpha g}\ln {\frac {1+\alpha v}{1-\alpha v}}={\frac {\mathrm {artanh} (\alpha v)}{\alpha g}},}$$

обратная функция гиперболического тангенса

Альтернативно,

$${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}\tanh(\alpha gt)=v,}$$

гиперболического тангенсаgαv

$${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\tanh \left(t{\sqrt {\frac {g\rho AC_{d}}{2m}}}\right).}$$

Использование формулы для конечной скорости

$${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}}$$

$${\displaystyle v=V_{t}\tanh \left(t{\frac {g}{V_{t}}}\right).}$$

Поскольку время стремится к бесконечности ( t → ∞), гиперболический тангенс стремится к 1, что приводит к конечной скорости.

$${\displaystyle V_{t}=\lim _{t\to \infty }v(t)={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}.}$$

Ползучее обтекание сферы: линии тока , сила сопротивления F _d и сила тяжести F _g

При очень медленном движении жидкости силы инерции жидкости незначительны (допущение безмассовой жидкости) по сравнению с другими силами. Такие течения называются ползучими или потоками Стокса , а условием, при котором эти течения являются ползучими, является число Рейнольдса , . Уравнение движения ползущего потока (упрощенное уравнение Навье – Стокса ) имеет вид: ${\displaystyle Re\ll 1}$

$${\displaystyle {\mathbf {\nabla } }p=\mu \nabla ^{2}{\mathbf {v} }}$$

где:

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$– векторное поле скорости жидкости,
• ${\displaystyle p}$– поле давления жидкости,
• ${\displaystyle \mu }$— вязкость жидкости/жидкости .

Аналитическое решение для ползущего потока вокруг сферы было впервые дано Стоксом в 1851 году. ^[10] Из решения Стокса сила сопротивления, действующая на сферу диаметром, может быть получена как ${\displaystyle d}$

где число Рейнольдса, . Выражение для силы сопротивления, заданное уравнением ( 6 ), называется законом Стокса . ${\displaystyle Re={\frac {\rho d}{\mu }}V}$

Подставив значение в уравнение ( 5 ), получим выражение для конечной скорости сферического объекта, движущегося в условиях ползущего потока: ^[11] ${\displaystyle C_{d}}$

$${\displaystyle V_{t}={\frac {gd^{2}}{18\mu }}\left(\rho _{s}-\rho \right),}$$

${\displaystyle \rho _{s}}$

Приложения

Результаты ползучего течения могут быть применены для изучения оседания осадков у дна океана и падения капель влаги в атмосфере. Этот принцип также применяется в вискозиметре с падающей сферой — экспериментальном устройстве, используемом для измерения вязкости высоковязких жидкостей, например нефти, парафина, дегтя и т. д.

Конечная скорость при наличии силы плавучести

Скорость осаждения W _s песчинки (диаметр d, плотность 2650 кг/м ³ ) в воде при 20 °C, рассчитанная по формуле Soulsby (1997).

Если принять во внимание эффекты плавучести, объект, падающий в жидкости под собственным весом, может достичь конечной скорости (скорости стабилизации), если результирующая сила, действующая на объект, становится равной нулю. Когда достигается конечная скорость, вес объекта точно уравновешивается восходящей силой плавучести и силой сопротивления. То есть

где

• ${\displaystyle W}$это вес объекта,
• ${\displaystyle F_{b}}$- выталкивающая сила, действующая на объект, и
• ${\displaystyle D}$— сила сопротивления, действующая на объект.

Если падающий объект имеет сферическую форму, выражения для трех сил приведены ниже:

где

• ${\displaystyle d}$- диаметр сферического объекта,
• ${\displaystyle g}$- гравитационное ускорение,
• ${\displaystyle \rho }$- плотность жидкости,
• ${\displaystyle \rho _{s}}$плотность объекта,
• ${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\pi d^{2}}$- проецируемая площадь сферы,
• ${\displaystyle C_{d}}$- коэффициент лобового сопротивления, а
• ${\displaystyle V}$- характеристическая скорость (принимаемая как конечная скорость, ). ${\displaystyle V_{t}}$

Подставив уравнения ( 2 – 4 ) в уравнение ( 1 ) и найдя конечную скорость, получим следующее выражение ${\displaystyle V_{t}}$

В уравнении ( 1 ) предполагается, что объект плотнее жидкости. В противном случае знак силы сопротивления следует сделать отрицательным, поскольку объект будет двигаться вверх против силы тяжести. Примерами могут служить пузырьки, образующиеся на дне бокала для шампанского, и гелиевые шары. Конечная скорость в таких случаях будет иметь отрицательное значение, соответствующее скорости подъема вверх.

Смотрите также

• Закон Стокса
• Терминальная баллистика

Рекомендации

1. «6.4 Сила сопротивления и конечная скорость - Университетская физика, том 1 | OpenStax» . openstax.org . 19 сентября 2016 года . Проверено 15 июля 2023 г.
2. Риази, А.; Тюркер, У. (январь 2019 г.). «Коэффициент сопротивления и скорость осаждения частиц естественных отложений». Вычислительная механика частиц . 6 (3): 427–437. Бибкод : 2019CPM.....6..427R. дои : 10.1007/s40571-019-00223-6. S2CID  127789299.
3. Хуан, Цзянь (1998). Элерт, Гленн (ред.). «Скорость парашютиста (конечная скорость)». Справочник по физике . Проверено 25 января 2022 г.
4. "Все о сапсане" . Служба охраны рыбы и дикой природы США. 20 декабря 2007 г. Архивировано из оригинала 8 марта 2010 г.
5. Баллистик (март 2001 г.). «Пули в небе». W. Square Enterprises, 9826 Sagedale, Хьюстон, Техас, 77089. Архивировано из оригинала 31 марта 2008 г.
6. Гарбино, Алехандро; Блю, Ребекка С.; Паттарини, Джеймс М.; Лоу, Дженнифер; Кларк, Джонатан Б. (февраль 2014 г.). «Физиологический мониторинг и анализ программы испытаний пилотируемого стратосферного шара». Авиационная, космическая и экологическая медицина . 85 (2): 177–178. дои : 10.3357/ASEM.3744.2014 . ПМИД  24597163.
7. Холдейн, JBS (март 1926 г.). «О правильном размере». Журнал Харпера . Март 1926 г. Архивировано из оригинала 15 апреля 2015 г.Альтернативный URL
8. Казенс, Роджер; Дитэм, Кальвин; Закон, Ричард (2008). Распространение растений: популяционная перспектива. Издательство Оксфордского университета . стр. 26–27. ISBN 978-0-19-929911-9.
9. Массель, Станислав Р. (1999). Механика жидкости для морских экологов. Springer Science+Business Media . п. 22. дои : 10.1007/978-3-642-60209-2. ISBN 978-3-642-60209-2.
10. Стоукс, Г.Г. (1851). «О влиянии внутреннего трения жидкостей на движение маятников». Труды Кембриджского философского общества . 9, часть II: 8–106. Бибкод : 1851TCaPS...9....8S. Формула для конечной скорости ( V )] приведена на стр. [52], уравнение (127).
11. Лэмб, Х. (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 599. ИСБН 978-0-521-45868-9.Первоначально опубликованное в 1879 году, шестое расширенное издание появилось впервые в 1932 году.

Внешние ссылки

• Конечная скорость - сайт НАСА
• Бортовое видео твердотопливных ракетных ускорителей космического корабля "Шаттл" быстро замедляется до предельной скорости при входе в более плотную атмосферу: от 2900 миль в час (3,8 Маха) в 5:15 на видео до 220 миль в час в 6:45 при раскрытии парашютов 90 секунды спустя — видео и звук НАСА, @ io9.com.
• Конечная скорость стабилизации сферы при всех реалистичных числах Рейнольдса по методу таблиц Хейвуда.