Предложение (математическая логика)

В математической логике — правильно построенная формула без свободных переменных.

В математической логике предложение ( или замкнутая формула ) ^[1] предикатной логики — это правильно сформированная формула с булевыми значениями без свободных переменных . Предложение можно рассматривать как выражение суждения , чего-то, что должно быть истинным или ложным. Ограничение отсутствия свободных переменных необходимо для того, чтобы гарантировать, что предложения могут иметь конкретные, фиксированные значения истинности : поскольку свободные переменные (общей) формулы могут иметь несколько значений, значение истинности такой формулы может меняться.

Предложения без каких-либо логических связок или квантификаторов в них известны как атомарные предложения ; по аналогии с атомарной формулой . Затем предложения строятся из атомарных предложений путем применения связок и квантификаторов.

Набор предложений называется теорией ; таким образом, отдельные предложения могут быть названы теоремами . Чтобы правильно оценить истинность (или ложность) предложения, необходимо сослаться на интерпретацию теории. Для теорий первого порядка интерпретации обычно называются структурами . При наличии структуры или интерпретации предложение будет иметь фиксированное значение истинности. Теория выполнима, когда возможно представить интерпретацию, в которой все ее предложения истинны. Изучение алгоритмов для автоматического обнаружения интерпретаций теорий, которые делают все предложения истинными, известно как проблема выполнимости по модулю теорий .

Пример

Для интерпретации формул рассмотрим следующие структуры: положительные действительные числа , действительные числа и комплексные числа . Следующий пример в логике первого порядка

${\displaystyle \forall y\ \exists x\ (y=x^{2})}$

— это предложение. Это предложение означает, что для каждого y существует x такой, что Это предложение истинно для положительных действительных чисел, ложно для действительных чисел и истинно для комплексных чисел. ${\textstyle y=x^{2}.}$

Однако формула

${\displaystyle \exists x\ (y=x^{2})}$

не является предложением из-за наличия свободной переменной y . Для действительных чисел эта формула верна, если мы подставим (произвольно) , но ложна, если ${\textstyle y=2,}$ ${\textstyle y=-2.}$

Важно наличие свободной переменной, а не непостоянное значение истинности; например, даже для комплексных чисел, где формула всегда истинна, она все равно не считается предложением. Такая формула может быть названа предикатом .

Смотрите также

• Выражение земли
• Открытая формула
• Утверждение (логика)
• Предложение

Ссылки

1. Эдгар Моршер, «Логическая истина и логическая форма», Grazer Philosophische Studien 82 (1), стр. 77–90.

• Хинман, П. (2005). Основы математической логики . AK Peters. ISBN 1-56881-262-0.
• Раутенберг, Вольфганг (2010), Краткое введение в математическую логику (3-е изд.), Нью-Йорк : Springer Science+Business Media , doi :10.1007/978-1-4419-1221-3, ISBN 978-1-4419-1220-6.