Артин дирижер

В математике проводник Артина — число или идеал , связанный с характером группы Галуа локального или глобального поля , введенный Эмилем Артином  (1930, 1931) как выражение, появляющееся в функциональном уравнении L-функции Артина .

Местные дирижеры Артина

Предположим, что L — конечное расширение Галуа локального поля K с группой Галуа G. Если — характер G , то кондуктор Артина — это число ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle f(\chi )=\sum _{i\geq 0}{\frac {g_{i}}{g_{0}}}(\chi (1)-\chi (G_{i}))}$

где G _i — i - я группа ветвления (в нижней нумерации ) порядка g _i , а χ( G _i ) — среднее значение на G _i . ^[1] Согласно результату Артина, локальный проводник является целым числом. ^{[2] [3]} Эвристически, проводник Артина измеряет, насколько далеко действие высших групп ветвления от тривиальности. В частности, если χ неразветвлен, то его проводник Артина равен нулю. Таким образом, если L не разветвлен над K , то проводники Артина всех χ равны нулю. ${\displaystyle \chi }$

Дикий инвариант ^[3] или лебедь-проводник ^[4] персонажа — это

${\displaystyle f(\chi )-(\chi (1)-\chi (G_{0})),}$

Другими словами, сумма членов более высокого порядка при i > 0.

Дирижеры мирового уровня Artin

Глобальный кондуктор Артина представления группы Галуа G конечного расширения L / K глобальных полей является идеалом K , определяемым как ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\chi )=\prod _{p}p^{f(\chi ,p)}}$

где произведение берется по простым числам p из K , а f (χ, p ) — локальный кондуктор Артина ограничения на группу разложения некоторого простого числа L, лежащего над p . ^[2] Поскольку локальный кондуктор Артина равен нулю в неразветвленных простых числах, указанное выше произведение нужно брать только по простым числам, которые разветвляются в L / K. ${\displaystyle \chi }$

Представление Артина и характер Артина

Предположим, что L — конечное расширение Галуа локального поля K с группой Галуа  G. Характер Артина a _G группы G — это характер

${\displaystyle a_{G}=\sum _{\chi }f(\chi )\chi }$

и представление Артина A _G является комплексным линейным представлением G с этим характером. Вайль (1946) попросил о прямом построении представления Артина. Серр (1960) показал, что представление Артина может быть реализовано над локальным полем Q _l для любого простого числа l , не равного характеристике вычета p . Фонтейн (1971) показал, что его можно реализовать над соответствующим кольцом векторов Витта. Его нельзя реализовать над рациональными числами или над локальным полем Q _p , что предполагает, что не существует простого способа явно построить представление Артина. ^[5]

Лебедь, представительство

Характер лебедя sw _G задается формулой

${\displaystyle sw_{G}=a_{G}-r_{G}+1}$

где r _g — характер регулярного представления , а 1 — характер тривиального представления. ^[6] Характер Свана — это характер представления G. Свон  (1963) показал, что существует единственное проективное представление G над l -адическими целыми числами с характером характером Свана.

Приложения

Проводник Артина появляется в формуле дискриминанта проводника для дискриминанта глобального поля. ^[5]

Оптимальный уровень в гипотезе модульности Серра выражается в терминах проводника Артина.

Проводник Артина появляется в функциональном уравнении L-функции Артина .

Представления Артина и Свана используются для определения проводника эллиптической кривой или абелева многообразия.

Примечания

1. Серр (1967) стр.158
2. Serre (1967) стр.159
3. Манин, Ю. И.; Панчишкин, А. А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Т. 49 (Второе изд.). С. 329. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396.
4. Снайт (1994) стр.249
5. Serre (1967) стр.160
6. Снайт (1994) стр.248

Ссылки

• Артин, Эмиль (1930), «Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren.», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (на немецком языке), 8 : 292–306, doi : 10.1007/BF02941010, JFM  56.0173.02, S2CID  120987633
• Артин, Эмиль (1931), «Die gruppentheoretische Struktur der Diskriminanten алгебраишер Zahlkörper.», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 1931 (164): 1–11, doi : 10.1515/crll.1931.164.1, ISSN  0075-4102, S2CID  117731518, Збл  0001.00801
• Фонтен, Жан-Марк (1971), «Sur les representations d'Artin», Colloque de Théorie des Nombres (Университет Бордо, Бордо, 1969), Mémoires de la Société Mathématique de France, vol. 25, Париж: Société Mathématique de France , стр. 71–81, MR  0374106.
• Серр, Жан-Пьер (1960), «Sur larationité des representations d'Artin», Annals of Mathematics , Second Series, 72 (2): 405–420, doi : 10.2307/1970142, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970142, МР  0171775
• Serre, Jean-Pierre (1967), "VI. Локальная теория полей классов", в Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Труды учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт передовых исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза , Лондон: Academic Press, стр. 128–161, Zbl  0153.07403
• Снайт, В. П. (1994), Явная индукция Брауэра: с приложениями к алгебре и теории чисел , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 40, Cambridge University Press , ISBN 0-521-46015-8, ЗБЛ  0991.20005
• Свон, Ричард Г. (1963), «Кольцо Гротендика конечной группы», Топология , 2 (1–2): 85–110, doi :10.1016/0040-9383(63)90025-9, ISSN  0040-9383, MR  0153722
• Вейль, Андре (1946), «L'avenir des mathématiques», Bol. Соц. Мат. Сан-Паулу , 1 : 55–68, MR  0020961.