Процесс предпочтительного прикрепления — это любой из класса процессов, в котором некоторое количество, обычно некоторая форма богатства или кредита, распределяется между несколькими лицами или объектами в соответствии с тем, сколько они уже имеют, так что те, кто уже богат, получают больше, чем те, кто не богат. «Преимущественное прикрепление» — это лишь самое последнее из многих названий, которые были даны таким процессам. Их также называют процессом Юла , кумулятивным преимуществом , богатые становятся богаче и эффектом Мэтью . Они также связаны с законом Жибрата . Основная причина научного интереса к предпочтительному прикреплению заключается в том, что при подходящих обстоятельствах оно может генерировать распределения по степенному закону . [1] Если предпочтительное прикрепление нелинейно, измеренные распределения могут отклоняться от степенного закона. [2] Эти механизмы могут генерировать распределения, которые приблизительно соответствуют степенному закону в течение переходных периодов. [3] [4]
Преимущественный процесс прикрепления — это стохастический процесс урны , то есть процесс, в котором дискретные единицы богатства, обычно называемые «шарами», добавляются случайным или частично случайным образом в набор объектов или контейнеров, обычно называемых «урнами». Преимущественный процесс прикрепления — это процесс урны, в котором дополнительные шары непрерывно добавляются в систему и распределяются между урнами как возрастающая функция от количества шаров, которые уже есть в урнах. В наиболее часто изучаемых примерах количество урн также непрерывно увеличивается, хотя это не является необходимым условием для предпочтительного прикрепления, и примеры были изучены с постоянным или даже уменьшающимся количеством урн.
Классическим примером процесса предпочтительного присоединения является рост числа видов на род в некотором высшем таксоне биотических организмов. [5] Новые роды («урны») добавляются к таксону всякий раз, когда вновь появляющийся вид считается достаточно отличным от своих предшественников, чтобы не принадлежать ни к одному из текущих родов. Новые виды («мячи») добавляются по мере того, как старые видоизменяются (т. е. разделяются на две части), и, предполагая, что новые виды принадлежат к тому же роду, что и их родитель (за исключением тех, которые начинают новые роды), вероятность того, что новый вид будет добавлен к роду, будет пропорциональна числу видов, которые уже есть в роде. Этот процесс, впервые изученный британским статистиком Удни Юлом , является линейным процессом предпочтительного присоединения, поскольку скорость, с которой роды приобретают новые виды, линейна по числу, которое у них уже есть.
Известно, что линейные предпочтительные процессы присоединения, в которых число урн увеличивается, производят распределение шаров по урнам в соответствии с так называемым распределением Юла . В наиболее общей форме процесса шары добавляются в систему с общей скоростью m новых шаров для каждой новой урны. Каждая вновь созданная урна начинается с k 0 шаров, а дальнейшие шары добавляются в урны со скоростью, пропорциональной числу k , которое у них уже есть, плюс константа a > − k 0 . С этими определениями доля P ( k ) урн, имеющих k шаров в пределе большого времени, определяется как [6]
для k ≥ k 0 (и нуля в противном случае), где B( x , y ) — бета-функция Эйлера :
где Γ( x ) — стандартная гамма-функция , и
Бета-функция ведет себя асимптотически как B( x , y ) ~ x − y для больших x и фиксированных y , что означает, что для больших значений k мы имеем
Другими словами, процесс предпочтительного прикрепления порождает распределение с « длинным хвостом », следующее за распределением Парето или степенным законом в его хвосте. Это основная причина исторического интереса к предпочтительному прикреплению: распределение видов и многие другие явления наблюдаются эмпирически, чтобы следовать степенным законам, и процесс предпочтительного прикрепления является ведущим кандидатом на механизм для объяснения этого поведения. Предпочтительное прикрепление считается возможным кандидатом, среди прочего, на распределение размеров городов, [7] богатства чрезвычайно богатых людей, [7] количества цитирований, полученных научными публикациями, [8] и количества ссылок на страницы во Всемирной паутине. [1]
Общая модель, описанная здесь, включает в себя множество других конкретных моделей в качестве частных случаев. Например, в примере вида/рода выше каждый род начинается с одного вида ( k 0 = 1) и приобретает новые виды прямо пропорционально количеству, которое у него уже есть ( a = 0), и, следовательно, P ( k ) = B( k , γ )/B( k 0 , γ − 1) с γ =2 + 1/ m . Аналогично модель Прайса для научных цитирований [8] соответствует случаю k 0 = 0, a = 1, а широко изученная модель Барабаши-Альберта [1] соответствует случаю k 0 = m , a = 0.
Преимущественное присоединение иногда называют эффектом Матфея , но эти два понятия не совсем эквивалентны. Эффект Матфея, впервые обсуждаемый Робертом К. Мертоном , [9] назван в честь отрывка из библейского Евангелия от Матфея : «Ибо всякому имеющему дастся и приумножится; а кто не имеет, у того отнимется и то, что имеет» ( Матфея 25:29, Новая международная версия ). Процесс преимущественного присоединения не включает в себя отнимающую часть. Однако этот момент может быть спорным, поскольку научное понимание эффекта Матфея в любом случае совершенно иное. Качественно он предназначен для описания не механического мультипликативного эффекта, такого как преимущественное присоединение, а определенного человеческого поведения, при котором люди с большей вероятностью отдают должное известному, чем малоизвестному. Классический пример эффекта Матфея — научное открытие, сделанное одновременно двумя разными людьми, одним из которых хорошо известен, а другим малоизвестен. Утверждается, что при таких обстоятельствах люди чаще склонны приписывать открытие известному ученому. Таким образом, реальный феномен, который призван описать эффект Матфея, существенно отличается от предпочтительной привязанности (хотя, безусловно, связан с ней).
Первое строгое рассмотрение предпочтительного присоединения, по-видимому, принадлежит Удни Юлу в 1925 году, который использовал его для объяснения степенного распределения числа видов на род цветковых растений. [5] Этот процесс иногда называют «процессом Юла» в его честь. Юлу удалось показать, что процесс привел к распределению со степенным хвостом, но детали его доказательства, по сегодняшним меркам, искажены и сложны, поскольку современные инструменты теории стохастических процессов еще не существовали, и он был вынужден использовать более громоздкие методы доказательства.
Большинство современных методов лечения предпочтительного прикрепления используют метод основного уравнения , применение которого в этом контексте было впервые предложено Саймоном в 1955 году в работе по распределению размеров городов и другим явлениям. [7]
Первое применение предпочтительного прикрепления к изученным цитатам было дано Прайсом в 1976 году. [8] (Он назвал этот процесс процессом «кумулятивного преимущества».) Он также первым применил этот процесс к росту сети, создав то, что сейчас назвали бы сетью без масштаба . Именно в контексте роста сети этот процесс чаще всего изучается сегодня. Прайс также продвигал предпочтительное присоединение как возможное объяснение степенных законов во многих других явлениях, включая закон научной производительности Лотки и закон использования журналов Брэдфорда .
Применение предпочтительного присоединения к росту Всемирной паутины было предложено Барабаши и Альбертом в 1999 году. [1] Барабаши и Альберт также придумали название «предпочтительное присоединение», под которым этот процесс наиболее известен сегодня, и предположили, что этот процесс может применяться и к росту других сетей. Для растущих сетей точную функциональную форму предпочтительного присоединения можно оценить с помощью оценки максимального правдоподобия . [10]
