Распределение Парето

Распределение вероятностей

Распределение Парето , названное в честь итальянского инженера-строителя , экономиста и социолога Вильфредо Парето , ^[2] представляет собой степенное распределение вероятностей , которое используется при описании социальных , контрольных , научных , геофизических , актуарных и многих других видов деятельности. наблюдаемые явления; Этот принцип первоначально применялся для описания распределения богатства в обществе, что соответствует тенденции, согласно которой большая часть богатства принадлежит небольшой части населения. ^{[3] [4]} Принцип Парето или «правило 80-20», утверждающий, что 80% результатов обусловлены 20% причин, был назван в честь Парето, но концепции различны, и только распределения Парето имеют значение формы ( α ) log ₄ 5 ≈ 1,16 точно это отражает. Эмпирические наблюдения показали, что это распределение 80-20 соответствует широкому кругу случаев, включая природные явления ^[5] и деятельность человека. ^{[6] [7]}

Определения

Если X является случайной величиной с распределением Парето (тип I), ^[8] тогда вероятность того, что X больше некоторого числа x , т. е. функция выживания (также называемая функцией хвоста), определяется выражением

${\displaystyle {\overline {F}}(x)=\Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&x<x_{\mathrm {m} },\end{cases}}}$

где x _m — (обязательно положительное) минимально возможное значение X , а α — положительный параметр. Распределение Парето типа I характеризуется параметром масштаба x _m и параметром формы α , который известен как индекс хвоста . Если это распределение используется для моделирования распределения богатства, то параметр α называется индексом Парето .

Кумулятивная функция распределения

Из определения кумулятивная функция распределения случайной величины Парето с параметрами α и x _m равна

${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}$

Функция плотности вероятности

Отсюда следует (путем дифференцирования ), что функция плотности вероятности равна

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}$

При построении графика по линейным осям распределение принимает знакомую J-образную кривую, которая асимптотически приближается к каждой из ортогональных осей . Все сегменты кривой самоподобны (с учетом соответствующих масштабных коэффициентов). При построении логарифмического графика распределение представляется прямой линией.

Характеристики

Моменты и характеристическая функция

• Ожидаемое значение случайной величины, следующей за распределением Парето, равно

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \leq 1,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&\alpha >1.\end{cases}}}$

• Дисперсия случайной величины , следующей за распределением Парето, равна

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \in (1,2],\\\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}&\alpha >2.\end{cases}}}$

(Если α ≤ 1, дисперсия не существует.)

• Сырые моменты _

${\displaystyle \mu _{n}'={\begin{cases}\infty &\alpha \leq n,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}}&\alpha >n.\end{cases}}}$

• Производящая функция момента определяется только для неположительных значений t  ≤ 0 как

${\displaystyle M\left(t;\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t)}$

${\displaystyle M\left(0,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=1.}$

Таким образом, поскольку математическое ожидание не сходится на открытом интервале , содержащем, мы говорим, что производящая функция момента не существует. ${\displaystyle t=0}$

• Характеристическая функция определяется выражением

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t),}$

где Γ( a ,  x ) — неполная гамма-функция .

Параметры можно решить методом моментов . ^[9]

Условные распределения

Условное распределение вероятностей случайной величины, распределенной по Парето, при условии, что она больше или равна определенному числу,  превышающему , представляет собой распределение Парето с тем же индексом Парето,  но с минимумом  вместо . Это означает, что условное математическое ожидание (если оно конечно, т.е. ) пропорционально . В случае случайных величин, описывающих время жизни объекта, это означает, что ожидаемая продолжительность жизни пропорциональна возрасту и называется эффектом Линди или законом Линди. ^[10] ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{\text{m}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{\text{m}}}$ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle x_{1}}$

Теорема о характеризации

Предположим , что это независимые одинаково распределенные случайные величины , распределение вероятностей которых поддерживается на интервале для некоторого . Предположим, что для всех две случайные величины и независимы. Тогда общее распределение является распределением Парето. ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc }$ ${\displaystyle [x_{\text{m}},\infty )}$ ${\displaystyle x_{\text{m}}>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$ ${\displaystyle (X_{1}+\dotsb +X_{n})/\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$

Среднее геометрическое

Среднее геометрическое ( G ) равно ^[11]

${\displaystyle G=x_{\text{m}}\exp \left({\frac {1}{\alpha }}\right).}$

Гармоническое среднее

Гармоническое среднее ( H ) равно ^[11]

${\displaystyle H=x_{\text{m}}\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right).}$

Графическое представление

Характерное изогнутое распределение « длинный хвост » при построении в линейном масштабе маскирует основную простоту функции при построении на логарифмическом графике , который затем принимает форму прямой линии с отрицательным градиентом: Это следует из формулы для функции плотности вероятности, что для x ≥ x _m ,

${\displaystyle \log f_{X}(x)=\log \left(\alpha {\frac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}\right)=\log(\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha })-(\alpha +1)\log x.}$

Поскольку α положительное значение, градиент −( α  + 1) отрицательен.

Связанные дистрибутивы

Обобщенные распределения Парето

Существует иерархия ^{[8] [12]} распределений Парето, известная как распределения Парето типа I, II, III, IV и Феллера – Парето. ^{[8] [12] [13]} Тип Парето IV включает типы Парето I–III в качестве особых случаев. Распределение Феллера–Парето ^{[12] [14]} обобщает тип Парето IV.

Типы Парето I – IV.

Иерархия распределения Парето обобщена в следующей таблице, в которой сравниваются функции выживания (дополнительный CDF).

Когда μ = 0, распределение Парето типа II также известно как распределение Ломакса . ^[15]

В этом разделе символ x _m , использовавшийся ранее для обозначения минимального значения x , заменяется на  σ .

Параметр формы α — индекс хвоста, μ — местоположение, σ — масштаб, γ — параметр неравенства. Некоторые особые случаи типа Парето (IV):

${\displaystyle P(IV)(\sigma ,\sigma ,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha ),}$

${\displaystyle P(IV)(\mu ,\sigma ,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha ),}$

${\displaystyle P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma ).}$

Конечность среднего, а также существование и конечность дисперсии зависят от индекса хвоста α (индекса неравенства γ ). В частности, дробные δ -моменты конечны для некоторого δ > 0, как показано в таблице ниже, где δ не обязательно является целым числом.

Распределение Феллера – Парето

Феллер ^{[12] [14]} определяет переменную Парето путем преобразования U  =  Y ⁻¹  − 1 бета-случайной величины Y , функция плотности вероятности которой равна

${\displaystyle f(y)={\frac {y^{\gamma _{1}-1}(1-y)^{\gamma _{2}-1}}{B(\gamma _{1},\gamma _{2})}},\qquad 0<y<1;\gamma _{1},\gamma _{2}>0,}$

где B ( ) – бета-функция . Если

${\displaystyle W=\mu +\sigma (Y^{-1}-1)^{\gamma },\qquad \sigma >0,\gamma >0,}$

тогда W имеет распределение Феллера–Парето FP( µ , σ , γ , γ ₁ , γ ₂ ). ^[8]

Если и являются независимыми гамма-переменными , другая конструкция переменной Феллера – Парето (FP) — ^[16] ${\displaystyle U_{1}\sim \Gamma (\delta _{1},1)}$ ${\displaystyle U_{2}\sim \Gamma (\delta _{2},1)}$

${\displaystyle W=\mu +\sigma \left({\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right)^{\gamma }}$

_и пишем W ~ FP( μ , σ , γ , δ1 , δ2 ) _. Особыми случаями распределения Феллера – Парето являются

${\displaystyle FP(\sigma ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha )}$

${\displaystyle FP(\mu ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha )}$

${\displaystyle FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma )}$

${\displaystyle FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,\alpha )=P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,\alpha ).}$

Обратное распределение Парето / Распределение мощности

Когда случайная величина подчиняется распределению Парето, то ее обратная величина следует обратному распределению Парето. Обратное распределение Парето эквивалентно распределению Степени ^[17] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X=1/Y}$

${\displaystyle Y\sim \mathrm {Pa} (\alpha ,x_{m})={\frac {\alpha x_{m}^{\alpha }}{y^{\alpha +1}}}\quad (y\geq x_{m})\quad \Leftrightarrow \quad X\sim \mathrm {iPa} (\alpha ,x_{m})=\mathrm {Power} (x_{m}^{-1},\alpha )={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{(x_{m}^{-1})^{\alpha }}}\quad (0<x\leq x_{m}^{-1})}$

Связь с экспоненциальным распределением

Распределение Парето связано с экспоненциальным распределением следующим образом. Если X распределен по Парето с минимумом x _m и индексом  α , то

${\displaystyle Y=\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)}$

экспоненциально распределяется с параметром скорости  α . Эквивалентно, если Y экспоненциально распределяется со скоростью  α , тогда

${\displaystyle x_{\mathrm {m} }e^{Y}}$

распределено по Парето с минимумом x _m и индексом  α .

Это можно показать, используя стандартные методы замены переменных:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(Y<y)&=\Pr \left(\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)<y\right)\\&=\Pr(X<x_{\mathrm {m} }e^{y})=1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x_{\mathrm {m} }e^{y}}}\right)^{\alpha }=1-e^{-\alpha y}.\end{aligned}}}$

Последнее выражение представляет собой кумулятивную функцию распределения экспоненциального распределения со скоростью  α .

Распределение Парето может быть построено с помощью иерархических показательных распределений. ^[18] Пусть и . Тогда имеем и, как следствие, . ${\displaystyle \phi |a\sim {\text{Exp}}(a)}$ ${\displaystyle \eta |\phi \sim {\text{Exp}}(\phi )}$ ${\displaystyle p(\eta |a)={\frac {a}{(a+\eta )^{2}}}}$ ${\displaystyle a+\eta \sim {\text{Pareto}}(a,1)}$

В более общем смысле, если (параметризация скорости формы) и , то . ${\displaystyle \lambda \sim {\text{Gamma}}(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \eta |\lambda \sim {\text{Exp}}(\lambda )}$ ${\displaystyle \beta +\eta \sim {\text{Pareto}}(\beta ,\alpha )}$

Эквивалентно, если и , то . ${\displaystyle Y\sim {\text{Gamma}}(\alpha ,1)}$ ${\displaystyle X\sim {\text{Exp}}(1)}$ ${\displaystyle x_{\text{m}}\!\left(1+{\frac {X}{Y}}\right)\sim {\text{Pareto}}(x_{\text{m}},\alpha )}$

Связь с логнормальным распределением

Распределение Парето и логарифмически нормальное распределение являются альтернативными распределениями для описания одних и тех же типов величин. Одна из связей между ними заключается в том, что они оба являются распределениями экспоненциального распределения случайных величин, распределенных в соответствии с другими общими распределениями, соответственно экспоненциальным распределением и нормальным распределением . (См. предыдущий раздел.)

Связь с обобщенным распределением Парето

Распределение Парето — это частный случай обобщенного распределения Парето , которое представляет собой семейство распределений аналогичного вида, но содержащее дополнительный параметр таким образом, что носитель распределения либо ограничен снизу (в переменной точке), либо ограничено как сверху, так и снизу (где оба являются переменными), причем распределение Ломакса является особым случаем. Это семейство также содержит как несмещенные, так и смещенные экспоненциальные распределения .

Распределение Парето с масштабом и формой эквивалентно обобщенному распределению Парето с местоположением , масштабом и формой , и, наоборот, можно получить распределение Парето из GPD, взяв и if . ${\displaystyle x_{m}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mu =x_{m}}$ ${\displaystyle \sigma =x_{m}/\alpha }$ ${\displaystyle \xi =1/\alpha }$ ${\displaystyle x_{m}=\sigma /\xi }$ ${\displaystyle \alpha =1/\xi }$ ${\displaystyle \xi >0}$

Ограниченное распределение Парето

Ограниченное (или усеченное) распределение Парето имеет три параметра : α , L и H. Как и в стандартном распределении Парето, α определяет форму. L обозначает минимальное значение, а H обозначает максимальное значение.

Функция плотности вероятности

${\displaystyle {\frac {\alpha L^{\alpha }x^{-\alpha -1}}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}}$,

где L  ≤  x  ≤  H и α  > 0.

Генерация ограниченных случайных величин Парето

Если U равномерно распределено на (0, 1), то применяя метод обратного преобразования ^[19]

${\displaystyle U={\frac {1-L^{\alpha }x^{-\alpha }}{1-({\frac {L}{H}})^{\alpha }}}}$

${\displaystyle x=\left(-{\frac {UH^{\alpha }-UL^{\alpha }-H^{\alpha }}{H^{\alpha }L^{\alpha }}}\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$

является ограниченной по Парето.

Симметричное распределение Парето

Целью симметричного и нуль-симметричного распределений Парето является получение некоторого специального статистического распределения с острым пиком вероятности и симметричными длинными хвостами вероятности. Эти два распределения получены из распределения Парето. Длинные хвосты вероятности обычно означают, что вероятность медленно убывает, и их можно использовать для подбора различных наборов данных. Но если распределение имеет симметричную структуру с двумя медленно затухающими хвостами, Парето не смог бы этого сделать. Тогда вместо этого применяется симметричное распределение Парето или нулевое симметричное распределение Парето. ^[20]

Кумулятивная функция распределения (CDF) симметричного распределения Парето определяется следующим образом: ^[20]

${\displaystyle F(X)=P(x<X)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}({b \over 2b-X})^{a}&X<b\\1-{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {b}{X}})^{a}&X\geq b\end{cases}}}$

Соответствующая функция плотности вероятности (PDF): ^[20]

${\displaystyle p(x)={ab^{a} \over 2(b+\left\vert x-b\right\vert )^{a+1}},X\in R}$

Это распределение имеет два параметра: a и b. Оно симметрично по b. Тогда математическое ожидание равно b. Когда он имеет следующую дисперсию:

${\displaystyle E((x-b)^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-b)^{2}p(x)dx={2b^{2} \over (a-2)(a-1)}}$

CDF нулевого симметричного распределения Парето (ZSP) определяется следующим образом:

${\displaystyle F(X)=P(x<X)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}({b \over b-X})^{a}&X<0\\1-{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {b}{b+X}})^{a}&X\geq 0\end{cases}}}$

Соответствующий PDF-файл:

${\displaystyle p(x)={ab^{a} \over 2(b+\left\vert x\right\vert )^{a+1}},X\in R}$

Это распределение симметрично нулю. Параметр a связан со скоростью затухания вероятности, а (a/2b) представляет собой пиковую величину вероятности. ^[20]

Многомерное распределение Парето

Одномерное распределение Парето было расширено до многомерного распределения Парето . ^[21]

Статистические выводы

Оценка параметров

Функция правдоподобия для параметров распределения Парето α и x _m с учетом независимой выборки x = ( x ₁ ,  x ₂ , ...,  x _n ) равна

${\displaystyle L(\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\prod _{i=1}^{n}\alpha {\frac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x_{i}^{\alpha +1}}}=\alpha ^{n}x_{\mathrm {m} }^{n\alpha }\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}^{\alpha +1}}}.}$

Следовательно, логарифмическая функция правдоподобия равна

${\displaystyle \ell (\alpha ,x_{\mathrm {m} })=n\ln \alpha +n\alpha \ln x_{\mathrm {m} }-(\alpha +1)\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}.}$

Видно, что монотонно увеличивается с ростом x _m , то есть чем больше значение x _m , тем больше значение функции правдоподобия. Следовательно, поскольку x ≥ x _m , заключаем, что ${\displaystyle \ell (\alpha ,x_{\mathrm {m} })}$

${\displaystyle {\widehat {x}}_{\mathrm {m} }=\min _{i}{x_{i}}.}$

Чтобы найти оценку α , мы вычисляем соответствующую частную производную и определяем, где она равна нулю :

${\displaystyle {\frac {\partial \ell }{\partial \alpha }}={\frac {n}{\alpha }}+n\ln x_{\mathrm {m} }-\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}=0.}$

Таким образом, оценка максимального правдоподобия для α равна:

${\displaystyle {\widehat {\alpha }}={\frac {n}{\sum _{i}\ln(x_{i}/{\widehat {x}}_{\mathrm {m} })}}.}$

Ожидаемая статистическая ошибка составляет: ^[22]

${\displaystyle \sigma ={\frac {\widehat {\alpha }}{\sqrt {n}}}.}$

Малик (1970) ^[23] дает точное совместное распределение . В частности , и независимы и являются Парето с параметром масштаба x _m и параметром формы nα , тогда как имеют обратное гамма-распределение с параметрами формы и масштаба n  - 1 и nα соответственно. ${\displaystyle ({\hat {x}}_{\mathrm {m} },{\hat {\alpha }})}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$

Возникновение и применение

Общий

Вильфредо Парето первоначально использовал это распределение для описания распределения богатства между людьми, поскольку оно, казалось, довольно хорошо показывает, что большая часть богатства любого общества принадлежит меньшему проценту людей в этом обществе. Он также использовал его для описания распределения доходов. ^[4] Эту идею иногда выражают проще, как принцип Парето или «правило 80-20», которое гласит, что 20% населения контролирует 80% богатства. ^[24] Как указывает Майкл Хадсон ( The Collapse of Antiquity [2023], стр. 85 и № 7), «математическое следствие [таково], что 10% будут владеть 65% богатства, а 5% будут владеть половиной национального богатства». богатство." Однако правило 80-20 соответствует определенному значению α , и фактически данные Парето о британских подоходных налогах в его Cours d'économie politique указывают на ^то , что около 30% населения имели около 70% дохода ^{. необходимо ]} График функции плотности вероятности (PDF) в начале этой статьи показывает, что «вероятность» или доля населения, владеющего небольшим количеством богатства на человека, довольно высока, а затем неуклонно снижается по мере увеличения богатства. Однако распределение Парето не является реалистичным для богатства нижнего уровня . от «маленького» к «большому». Следующие примеры иногда рассматриваются как примерно распределенные по Парето:

• Все четыре переменные бюджетного ограничения домохозяйства: потребление, трудовой доход, доход от капитала и богатство. ^[25]
• Размеры населенных пунктов (немногие города, много деревень/сел) ^{[26] [27]}
• Распределение размеров файлов интернет-трафика, использующего протокол TCP (много файлов меньшего размера, несколько файлов большего размера) ^[26]
• Частота ошибок жесткого диска ^[28]
• Кластеры бозе-эйнштейновского конденсата вблизи абсолютного нуля ^[29]

Подобрано кумулятивное распределение Парето (Lomax) для максимального количества осадков за один день с использованием CumFreq , см. также подбор распределения.

• Величины запасов нефти на нефтяных месторождениях (несколько крупных месторождений , множество мелких месторождений ) ^[26]
• Распределение длин работ, назначенных суперкомпьютерам (несколько больших, много маленьких) ^[30]
• Стандартизированная ценовая доходность отдельных акций ^[26]
• Размеры частиц песка ^[26]
• Размер метеоритов
• Серьезность крупных потерь от несчастных случаев для определенных направлений бизнеса, таких как общая ответственность, коммерческий автомобиль и компенсация работникам. ^{[31] [32]}
• Количество времени, которое пользователь Steam проведет за игрой в разные игры. (В некоторые игры играют часто, но в большинство — почти никогда.) [2] ^{[ оригинальное исследование? ]}
• В гидрологии распределение Парето применяется к экстремальным явлениям, таким как годовое максимальное количество осадков за один день и речной сток. ^[33] Синее изображение иллюстрирует пример подбора распределения Парето к ранжированному максимальному годовому количеству осадков за один день, демонстрируя также 90% доверительный интервал , основанный на биномиальном распределении . Данные об осадках представлены в виде координат на графике в рамках кумулятивного частотного анализа .
• В области надежности распределения электроэнергии (80% минут прерывания работы потребителей происходят примерно в 20% дней в данном году).

Связь с законом Ципфа

Распределение Парето представляет собой непрерывное распределение вероятностей. Закон Ципфа , также иногда называемый дзета-распределением , представляет собой дискретное распределение, разделяющее значения на простой ранжирование. Оба представляют собой простой степенной закон с отрицательным показателем степени, масштабированный так, чтобы их совокупные распределения равнялись 1. Распределения Ципфа можно получить из распределения Парето, если значения (доходы) разбиты на ранги так, чтобы количество людей в каждом интервале соответствовало 1. /шаблон ранга. Распределение нормализуется путем определения так, что где – номер обобщенной гармоники . Это делает функцию плотности вероятности Ципфа выводимой из функции Парето. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{m}}$ ${\displaystyle \alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }={\frac {1}{H(N,\alpha -1)}}}$ ${\displaystyle H(N,\alpha -1)}$

${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}={\frac {1}{x^{s}H(N,s)}}}$

где и — целое число, обозначающее ранг от 1 до N, где N — группа с самым высоким доходом. Таким образом, случайно выбранный человек (или слово, ссылка на веб-сайт или город) из совокупности (или языка, Интернета или страны) имеет вероятность ранжирования . ${\displaystyle s=\alpha -1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

Связь с «принципом Парето»

« Закон 80–20 », согласно которому 20% всех людей получают 80% всех доходов, а 20% самых богатых 20% получают 80% из этих 80% и так далее, справедлив именно тогда, когда индекс Парето является . Этот результат можно получить из формулы кривой Лоренца , приведенной ниже. Более того, было показано ^[34] , что следующие математически эквивалентны: ${\displaystyle \alpha =\log _{4}5={\cfrac {\log _{10}5}{\log _{10}4}}\approx 1.161}$

• Доходы распределяются по распределению Парето с индексом α  > 1.
• Существует некоторое число 0 ≤  p  ≤ 1/2 такое, что 100 p  % всех людей получают 100(1 −  p )% всего дохода, и аналогично для каждого действительного (не обязательно целого) n  > 0 100 p ⁿ  % всех доходов все люди получают 100(1 −  p ) ⁿ процентов от всего дохода. α и p связаны соотношением

${\displaystyle 1-{\frac {1}{\alpha }}={\frac {\ln(1-p)}{\ln(p)}}={\frac {\ln((1-p)^{n})}{\ln(p^{n})}}}$

Это относится не только к доходу, но и к богатству или ко всему остальному, что можно смоделировать с помощью этого распределения.

Это исключает распределения Парето, в которых 0 <  α  ≤ 1, которые, как отмечалось выше, имеют бесконечное математическое ожидание и поэтому не могут разумно моделировать распределение дохода.

Связь с законом Прайса

Закон квадратного корня Прайса иногда предлагается как свойство распределения Парето или как его аналог. Однако закон действует только в том случае, если . Обратите внимание, что в этом случае общая и ожидаемая сумма богатства не определены, и правило асимптотически применяется только к случайным выборкам. Расширенный принцип Парето, упомянутый выше, является гораздо более общим правилом. ${\displaystyle \alpha =1}$

Кривая Лоренца и коэффициент Джини

Кривые Лоренца для ряда распределений Парето. Случай α  = ∞ соответствует совершенно равному распределению ( G  = 0), а линия α  = 1 соответствует полному неравенству ( G  = 1).

Кривая Лоренца часто используется для характеристики распределения доходов и богатства. Для любого распределения кривая Лоренца L ( F ) записывается в терминах PDF f или CDF F как

${\displaystyle L(F)={\frac {\int _{x_{\mathrm {m} }}^{x(F)}xf(x)\,dx}{\int _{x_{\mathrm {m} }}^{\infty }xf(x)\,dx}}={\frac {\int _{0}^{F}x(F')\,dF'}{\int _{0}^{1}x(F')\,dF'}}}$

где x ( F ) является обратным CDF. Для распределения Парето

${\displaystyle x(F)={\frac {x_{\mathrm {m} }}{(1-F)^{\frac {1}{\alpha }}}}}$

и кривая Лоренца рассчитывается как

${\displaystyle L(F)=1-(1-F)^{1-{\frac {1}{\alpha }}},}$

Поскольку знаменатель бесконечен, что дает L = 0. Примеры кривой Лоренца для ряда распределений Парето показаны на графике справа. ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$

По данным Oxfam (2016), 62 самых богатых человека обладают таким же богатством, как и беднейшая половина населения мира. ^[35] Мы можем оценить индекс Парето, применимый к этой ситуации. Полагая ε равным, мы имеем: ${\displaystyle 62/(7\times 10^{9})}$

${\displaystyle L(1/2)=1-L(1-\varepsilon )}$

или

${\displaystyle 1-(1/2)^{1-{\frac {1}{\alpha }}}=\varepsilon ^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}$

Решение состоит в том, что α равно примерно 1,15, и около 9% богатства принадлежит каждой из двух групп. Но на самом деле беднейшие 69% взрослого населения мира владеют лишь около 3% богатства. ^[36]

Коэффициент Джини является мерой отклонения кривой Лоренца от линии равнораспределения, которая представляет собой линию, соединяющую [0, 0] и [1, 1], которая показана черным цветом ( α  = ∞) на графике Лоренца на графике. верно. В частности, коэффициент Джини в два раза превышает площадь между кривой Лоренца и линией равнораспределения. Затем рассчитывается коэффициент Джини для распределения Парето (для ) как ${\displaystyle \alpha \geq 1}$

${\displaystyle G=1-2\left(\int _{0}^{1}L(F)\,dF\right)={\frac {1}{2\alpha -1}}}$

(см. Оберге, 2005).

Генерация случайной переменной

Случайные выборки могут быть сгенерированы с помощью выборки с обратным преобразованием . Учитывая случайную величину U , взятую из равномерного распределения на единичном интервале (0, 1), переменная T, определяемая выражением

${\displaystyle T={\frac {x_{\mathrm {m} }}{U^{1/\alpha }}}}$

является распределенной по Парето. ^[37] Если U равномерно распределено на [0, 1), его можно заменить на (1 −  U ).

Смотрите также

• Закон Брэдфорда  - Характер ссылок в научных журналах
• Закон Гутенберга-Рихтера  - Закон сейсмологии, описывающий частоту и силу землетрясений.
• Эффект Мэтью  : богатые становятся богаче, а бедные беднеют.
• Анализ Парето  – статистическая концепция
• Эффективность Парето  - Концепция исследования эффективности
• Интерполяция Парето
• Распределения вероятностей по степенному закону  - Функциональная связь между двумя величинами
• Закон Стерджена  : «Девяносто процентов всего — дерьмо».
• Модель генерации трафика  – моделируемый поток данных в сети связи.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Закон Ципфа  – Распределение вероятностей
• Распределение с тяжёлым хвостом  – Распределение вероятностей

Рекомендации

1. Нортон, Мэтью; Хохлов, Валентин; Урясев, Стэн (2019). «Расчет CVaR и bPOE для распространенных распределений вероятностей с применением для оптимизации портфеля и оценки плотности» (PDF) . Анналы исследования операций . Спрингер. 299 (1–2): 1281–1315. arXiv : 1811.11301 . дои : 10.1007/s10479-019-03373-1. S2CID  254231768 . Проверено 27 февраля 2023 г.
2. Аморосо, Луиджи (1938). «ВИЛЬФРЕДО ПАРЕТО». Эконометрика (до 1986 г.); январь 1938 г.; 6, 1; ПроКвест . 6 .
3. Парето, Вильфредо (1898). «Кур политической экономики». Журнал политической экономии . 6 . дои : 10.1086/250536.
4. Pareto, Вильфредо, Cours d'Economie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino , Librairie Droz, Женева, 1964, стр. 299–345. Оригинал книги в архиве
5. ВАН МОНТФОРТ, майор (1986). «Обобщенное распределение Парето применительно к глубине осадков». Журнал гидрологических наук . 31 (2): 151–162. Бибкод : 1986HydSJ..31..151V. дои : 10.1080/02626668609491037 .
6. Оанча, Богдан (2017). «Неравенство доходов в Румынии: экспоненциальное распределение Парето». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 469 : 486–498. Бибкод : 2017PhyA..469..486O. doi :10.1016/j.physa.2016.11.094.
7. Морелла, Маттео. «Распределение Парето». academia.edu .
8. Барри К. Арнольд (1983). Распределения Парето . Международное кооперативное издательство. ISBN 978-0-89974-012-6.
9. С. Хуссейн, С.Х. Бхатти (2018). Оценка параметров распределения Парето: некоторые модифицированные оценки момента. Международный журнал науки и технологий Маэджо 12 (1): 11-27.
10. Элиазар, Иддо (ноябрь 2017 г.). «Закон Линди». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 486 : 797–805. Бибкод : 2017PhyA..486..797E. doi :10.1016/j.physa.2017.05.077. S2CID  125349686.
11. Джонсон Н.Л., Коц С., Балакришнан Н. (1994) Непрерывные одномерные распределения Том 1. Ряды Вили по вероятности и статистике.
12. Джонсон, Коц и Балакришнан (1994), (20.4).
13. Кристиан Кляйбер и Сэмюэл Коц (2003). Статистическое распределение размеров в экономике и актуарных науках. Уайли . ISBN 978-0-471-15064-0.
14. Феллер, В. (1971). Введение в теорию вероятностей и ее приложения . Том. II (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. п. 50.«Плотности (4.3) иногда называют в честь экономиста Парето . Считалось (довольно наивно с современной статистической точки зрения), что распределение доходов должно иметь хвост с плотностью ~ Ax ^{− α} при x  → ∞».
15. Ломакс, К.С. (1954). «Бизнес-провалы. Еще один пример анализа данных об отказах». Журнал Американской статистической ассоциации . 49 (268): 847–52. дои : 10.1080/01621459.1954.10501239.
16. Чотикапанич, Дуангкамон (16 сентября 2008 г.). «Глава 7: Парето и обобщенные распределения Парето». Моделирование распределения доходов и кривые Лоренца . Спрингер. стр. 121–22. ISBN 9780387727967.
17. Даллас, AC «Характеристика Парето и распределения власти». Анналы Института статистической математики 28.1 (1976): 491-497.
18. Уайт, Джентри (2006). Байесовское полупараметрическое пространственное и совместное пространственно-временное моделирование (Диссертация). Университет Миссури – Колумбия.раздел 5.3.1.
19. «Метод обратного преобразования». Архивировано из оригинала 17 января 2012 г. Проверено 27 августа 2012 г.
20. Хуан, Сяо-дун (2004). «Мультимасштабная модель видеотрафика MPEG-4 с различной скоростью передачи данных». Транзакции IEEE в области вещания . 50 (3): 323–334. дои : 10.1109/TBC.2004.834013.
21. Руцен, Хольгер; Тайвиди, Надер (2006). «Многомерные обобщенные распределения Парето». Бернулли . 12 (5): 917–30. CiteSeerX 10.1.1.145.2991 . дои : 10.3150/bj/1161614952. S2CID  16504396. 
22. МЭД Ньюман (2005). «Степенные законы, распределения Парето и закон Ципфа». Современная физика . 46 (5): 323–51. arXiv : cond-mat/0412004 . Бибкод : 2005ConPh..46..323N. дои : 10.1080/00107510500052444. S2CID  202719165.
23. HJ Малик (1970). «Оценка параметров распределения Парето». Метрика . 15 : 126–132. дои : 10.1007/BF02613565. S2CID  124007966.
24. Для двухквантильного населения, где примерно 18% населения владеет 82% богатства, индекс Тейла принимает значение 1.
25. Гайяр, Александр; Хеллвиг, Кристиан; Вангнер, Филипп; Веркен, Николас (2023). «Потребление, богатство и неравенство доходов: история о решке». ССНН  4636704.
26. Рид, Уильям Дж.; и другие. (2004). «Двойное логарифмически нормальное распределение Парето - новая параметрическая модель распределения размеров». Коммуникации в статистике – теория и методы . 33 (8): 1733–53. CiteSeerX 10.1.1.70.4555 . doi : 10.1081/sta-120037438. S2CID  13906086. 
27. Рид, Уильям Дж. (2002). «О ранговом распределении населенных пунктов». Журнал региональной науки . 42 (1): 1–17. Бибкод : 2002JRegS..42....1R. дои : 10.1111/1467-9787.00247. S2CID  154285730.
28. Шредер, Бьянка; Дамурас, Сотириос; Гилл, Филиппа (24 февраля 2010 г.). «Понимание скрытых ошибок секторов и способы защиты от них» (PDF) . 8-я конференция Usenix по файловым технологиям и технологиям хранения (FAST 2010) . Проверено 10 сентября 2010 г. Мы экспериментировали с 5 различными распределениями (геометрическим, Вейбулла, Рэлея, Парето и логнормальным), которые обычно используются в контексте надежности системы, и оценивали их соответствие посредством общих квадратов различий между фактическими и гипотетическими частотами (статистика χ ² ). . Во всех моделях мы последовательно обнаружили, что геометрическое распределение плохо подходит, тогда как распределение Парето обеспечивает наилучшее соответствие.
29. Юджи Иджири; Саймон, Герберт А. (май 1975 г.). «Некоторые распределения, связанные со статистикой Бозе – Эйнштейна». Учеб. Натл. акад. наук. США . 72 (5): 1654–57. Бибкод : 1975PNAS...72.1654I. дои : 10.1073/pnas.72.5.1654 . ПМК 432601 . ПМИД  16578724. 
30. Харчол-Балтер, Мор ; Дауни, Аллен (август 1997 г.). «Использование распределения времени жизни процесса для динамической балансировки нагрузки» (PDF) . Транзакции ACM в компьютерных системах . 15 (3): 253–258. дои : 10.1145/263326.263344. S2CID  52861447.
31. Кляйбер и Коц (2003): с. 94.
32. Сил, Х. (1980). «Вероятности выживания, основанные на распределениях утверждений Парето». Бюллетень АСТИН . 11 : 61–71. дои : 10.1017/S0515036100006620 .
33. CumFreq, программное обеспечение для кумулятивного частотного анализа и подбора распределения вероятностей [1]
34. Харди, Майкл (2010). «Закон Парето». Математический интеллект . 32 (3): 38–43. дои : 10.1007/s00283-010-9159-2. S2CID  121797873.
35. «62 человека владеют тем же, что и половина мира, согласно отчету Oxfam в Давосе» . Оксфам. Январь 2016.
36. «Отчет о мировом благосостоянии за 2013 год» . Кредит Свисс. Октябрь 2013 г. с. 22. Архивировано из оригинала 14 февраля 2015 г. Проверено 24 января 2016 г.
37. Танизаки, Хисаши (2004). Вычислительные методы в статистике и эконометрике. ЦРК Пресс. п. 133. ИСБН 9780824750886.

Примечания

• М.О. Лоренц (1905). «Методы измерения концентрации богатства». Публикации Американской статистической ассоциации . 9 (70): 209–19. Бибкод : 1905PAmSA...9..209L. дои : 10.2307/2276207. JSTOR  2276207. S2CID  154048722.
• Парето, Вильфредо (1965). Библиотека Дроз (ред.). Ecrits sur la courbe de la repartition de la richesse . Завершенные произведения: Т. III. п. 48. ИСБН 9782600040211.

• Парето, Вильфредо (1895). «La legge della domanda». Джорнале Дельи Экономисти . 10 : 59–68.
• Парето, Вильфредо (1896). «Кур политической экономики». дои : 10.1177/000271629700900314. S2CID  143528002. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )

Внешние ссылки

• «Распределение Парето», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Распределение Парето». Математический мир .
• Оберге, Рольф (май 2005 г.). «Нуклеарная семья Джини». Международная конференция в честь двух выдающихся ученых-социологов (PDF) .

• Кровелла, Марк Э .; Беставрос, Азер (декабрь 1997 г.). Самоподобие в трафике Всемирной паутины: доказательства и возможные причины (PDF) . Транзакции IEEE/ACM в сети. Том. 5. С. 835–846. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 25 февраля 2019 г.

• Syntraf1.c — это программа на языке C , генерирующая синтетический пакетный трафик с ограниченным размером пакета Парето и экспоненциальным временем между пакетами.