Логнормальное распределение

Распределение вероятностей

В теории вероятностей логнормальное (или логнормальное ) распределение — это непрерывное распределение вероятностей случайной величины , логарифм которой распределен нормально . Таким образом, если случайная величина X распределена логнормально, то Y = ln( X ) имеет нормальное распределение. ^{[2] [3]} Эквивалентно, если Y имеет нормальное распределение, то экспоненциальная функция Y , X = exp( Y ) , имеет логнормальное распределение. Случайная величина, которая распределена логнормально, принимает только положительные действительные значения. Это удобная и полезная модель для измерений в точных и технических науках , а также в медицине , экономике и других областях (например, энергии, концентрации, длины, цены финансовых инструментов и другие метрики).

Распределение иногда называют распределением Гальтона или распределением Гальтона , в честь Фрэнсиса Гальтона . ^[4] Логнормальное распределение также было связано с другими именами, такими как Макалистер , Жибра и Кобб-Дуглас . ^[4]

Логнормальный процесс — это статистическая реализация мультипликативного произведения многих независимых случайных величин , каждая из которых положительна. Это обосновывается рассмотрением центральной предельной теоремы в логарифмической области (иногда называемой законом Жибра ). Логнормальное распределение — это распределение вероятности максимальной энтропии для случайной величины X — для которой указаны среднее значение и дисперсия ln( X ) . ^[5]

Определения

Генерация и параметры

Пусть будет стандартной нормальной переменной , и пусть и будут двумя действительными числами, причем . Тогда распределение случайной величины ${\displaystyle \ Z\ }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma >0}$

${\displaystyle X=e^{\mu +\sigma Z}}$

называется логнормальным распределением с параметрами и . Это ожидаемое значение (или среднее значение ) и стандартное отклонение натурального логарифма переменной , а не ожидание и стандартное отклонение самой переменной. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \ X\ }$

Связь между нормальным и логнормальным распределением. Если распределено нормально, то распределено логнормально. ${\displaystyle \ Y=\mu +\sigma Z\ }$ ${\displaystyle \ X\sim e^{Y}\ }$

Это соотношение справедливо независимо от основания логарифмической или показательной функции: Если распределено нормально, то так же обстоит дело и с любыми двумя положительными числами . Аналогично, если распределено логарифмически нормально, то так же и с любыми двумя положительными числами, где . ${\displaystyle \ \log _{a}(X)\ }$ ${\displaystyle \ \log _{b}(X)\ }$ ${\displaystyle \ a,b\neq 1~.}$ ${\displaystyle \ e^{Y}\ }$ ${\displaystyle \ a^{Y}\ ,}$ ${\displaystyle 0<a\neq 1}$

Чтобы получить распределение с желаемым средним значением и дисперсией, используют и ${\displaystyle \mu _{X}}$ ${\displaystyle \ \sigma _{X}^{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mu =\ln \left({\frac {\mu _{X}^{2}}{\ {\sqrt {\mu _{X}^{2}+\sigma _{X}^{2}\ }}\ }}\right)\ }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\ \sigma _{X}^{2}\ }{\mu _{X}^{2}}}\right)~.}$

В качестве альтернативы можно использовать «мультипликативные» или «геометрические» параметры и . Они имеют более прямую интерпретацию: является медианой распределения и полезна для определения интервалов «разброса», см. ниже. ${\displaystyle \ \mu ^{*}=e^{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{*}=e^{\sigma }\ }$ ${\displaystyle \ \mu ^{*}\ }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{*}\ }$

Функция плотности вероятности

Положительная случайная величина распределена логарифмически нормально (т.е. ), если натуральный логарифм распределен нормально со средним значением и дисперсией ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ X\sim \operatorname {Lognormal} \left(\ \mu ,\sigma ^{2}\ \right)\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{2}\ :}$

${\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

Пусть и будут соответственно кумулятивной функцией распределения вероятностей и функцией плотности вероятности стандартного нормального распределения, тогда имеем, что ^{[2] [4]} функция плотности вероятности логарифмически нормального распределения определяется выражением: ${\displaystyle \ \Phi \ }$ ${\displaystyle \ \varphi \ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {N}}(\ 0,1\ )\ }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ \operatorname {\mathbb {P} _{\mathit {X}}} \,\!{\bigl [}\ X\leq x\ {\bigr ]}\\[6pt]&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ \operatorname {\mathbb {P} _{\mathit {X}}} \,\!{\bigl [}\ \ln X\leq \ln x\ {\bigr ]}\\[6pt]&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\operatorname {\Phi } \!\!\left({\frac {\ \ln x-\mu \ }{\sigma }}\right)\\[6pt]&=\operatorname {\varphi } \!\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left({\frac {\ \ln x-\mu \ }{\sigma }}\right)\\[6pt]&=\operatorname {\varphi } \!\left({\frac {\ \ln x-\mu \ }{\sigma }}\right){\frac {1}{\ \sigma \ x\ }}\\[6pt]&={\frac {1}{\ x\ \sigma {\sqrt {2\ \pi \ }}\ }}\exp \left(-{\frac {\ (\ln x-\mu )^{2}\ }{2\ \sigma ^{2}}}\right)~.\end{aligned}}}$$

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения имеет вид

${\displaystyle F_{X}(x)=\Phi \left({\frac {(\ln x)-\mu }{\sigma }}\right)}$

где — кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения (т.е. ). ${\displaystyle \ \Phi \ }$ ${\displaystyle \ \operatorname {\mathcal {N}} (\ 0,\ 1)\ }$

Это также можно выразить следующим образом: ^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$

где erfc — дополнительная функция ошибок .

Многомерный логнормальный

Если — многомерное нормальное распределение , то имеет многомерное логнормальное распределение. ^{[6] [7]} Экспонента применяется поэлементно к случайному вектору . Среднее значение равно ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}$ ${\displaystyle Y_{i}=\exp(X_{i})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [{\boldsymbol {Y}}]_{i}=e^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}},}$

и его ковариационная матрица

${\displaystyle \operatorname {Var} [{\boldsymbol {Y}}]_{ij}=e^{\mu _{i}+\mu _{j}+{\frac {1}{2}}(\Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}(e^{\Sigma _{ij}}-1).}$

Поскольку многомерное логнормальное распределение не используется широко, остальная часть этой статьи посвящена только одномерному распределению .

Характеристическая функция и функция создания момента

Все моменты логнормального распределения существуют и

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$

Это можно вывести, допустив внутри интеграла. Однако логнормальное распределение не определяется его моментами. ^[8] Это означает, что оно не может иметь определенную функцию, производящую моменты в окрестности нуля. ^[9] Действительно, ожидаемое значение не определено для любого положительного значения аргумента , поскольку определяющий интеграл расходится. ${\displaystyle z={\tfrac {\ln(x)-(\mu +n\sigma ^{2})}{\sigma }}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]}$ ${\displaystyle t}$

Характеристическая функция определена для действительных значений t , но не определена для любого комплексного значения t , имеющего отрицательную мнимую часть, и, следовательно, характеристическая функция не является аналитической в ​​начале координат. Следовательно, характеристическая функция логнормального распределения не может быть представлена ​​в виде бесконечного сходящегося ряда. ^{[10] В частности, его} формальный ряд Тейлора расходится: ${\displaystyle \operatorname {E} [e^{itX}]}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$

Однако было получено несколько альтернативных представлений расходящихся рядов . ^{[10] [11] [12] [13]}

Замкнутая формула для характеристической функции с в области сходимости не известна. Относительно простая аппроксимирующая формула доступна в замкнутой форме и задается как ^[14] ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \varphi (t)\approx {\frac {\exp \left(-{\frac {W^{2}(-it\sigma ^{2}e^{\mu })+2W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sqrt {1+W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}}}}$

где — функция Ламберта W. Это приближение получено с помощью асимптотического метода, но оно остается точным во всей области сходимости . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \varphi }$

Характеристики

а. является логнормальной переменной с . вычисляется путем преобразования в нормальную переменную , а затем интегрирования ее плотности по области, определенной (синие области), с использованием численного метода трассировки лучей. ^[15] б и в. PDF и cdf функции логнормальной переменной также могут быть вычислены таким же образом. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mu =1,\sigma =0.5}$ ${\displaystyle p(\sin y>0)}$ ${\displaystyle x=\ln y}$ ${\displaystyle \sin e^{x}>0}$ ${\displaystyle \sin y}$

Вероятность в различных областях

Вероятностное содержание логнормального распределения в любой произвольной области можно вычислить с желаемой точностью, сначала преобразовав переменную в нормальное распределение, а затем численно проинтегрировав с использованием метода трассировки лучей. ^[15] (код Matlab)

Вероятности функций логнормальной переменной

Поскольку вероятность логнормального распределения может быть вычислена в любой области, это означает, что cdf (и, следовательно, pdf и обратная cdf) любой функции логнормальной переменной также могут быть вычислены. ^[15] (код Matlab)

Геометрические или мультипликативные моменты

Геометрическое или мультипликативное среднее логнормального распределения равно . Оно равно медиане. Геометрическое или мультипликативное стандартное отклонение равно . ^{[16] [17]} ${\displaystyle \operatorname {GM} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {GSD} [X]=e^{\sigma }=\sigma ^{*}}$

По аналогии с арифметической статистикой можно определить геометрическую дисперсию , и был предложен геометрический коэффициент вариации , ^{[16] . Этот термин был задуман как} аналог коэффициента вариации, для описания мультипликативной вариации в логнормальных данных, но это определение GCV не имеет теоретической основы в качестве оценки самого себя (см. также Коэффициент вариации ). ${\displaystyle \operatorname {GVar} [X]=e^{\sigma ^{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {GCV} [X]=e^{\sigma }-1}$ ${\displaystyle \operatorname {CV} }$

Обратите внимание, что геометрическое среднее меньше арифметического среднего. Это происходит из-за неравенства AM–GM и является следствием того, что логарифм является вогнутой функцией . Фактически,

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}=e^{\mu }\cdot {\sqrt {e^{\sigma ^{2}}}}=\operatorname {GM} [X]\cdot {\sqrt {\operatorname {GVar} [X]}}.}$^[18]

В финансах этот термин иногда интерпретируется как поправка на выпуклость . С точки зрения стохастического исчисления это тот же поправочный термин, что и в лемме Ито для геометрического броуновского движения . ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}}$

Арифметические моменты

Для любого действительного или комплексного числа n n -й момент логарифмически нормально распределенной переменной X определяется по формуле ^[4]

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +{\frac {1}{2}}n^{2}\sigma ^{2}}.}$

В частности, среднее арифметическое, ожидаемый квадрат, арифметическая дисперсия и арифметическое стандартное отклонение логарифмически нормально распределенной переменной X соответственно определяются следующим образом: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {E} [X^{2}]&=e^{2\mu +2\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {Var} [X]&=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=(\operatorname {E} [X])^{2}(e^{\sigma ^{2}}-1)=e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1),\\[4pt]\operatorname {SD} [X]&={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}=\operatorname {E} [X]{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}},\end{aligned}}}$

Арифметический коэффициент вариации — это отношение . Для логнормального распределения оно равно ^[3] ${\displaystyle \operatorname {CV} [X]}$ ${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {SD} [X]}{\operatorname {E} [X]}}}$

${\displaystyle \operatorname {CV} [X]={\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}.}$

Эту оценку иногда называют «геометрическим CV» (GCV), ^{[19] [20]} из-за использования геометрической дисперсии. В отличие от арифметического стандартного отклонения, арифметический коэффициент вариации не зависит от среднего арифметического.

Параметры μ и σ можно получить, если известны среднее арифметическое и арифметическая дисперсия:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]}}}\right)=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}}}}\right),\\[4pt]\sigma ^{2}&=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X^{2}]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Распределение вероятностей не определяется однозначно моментами E[ X ⁿ ] = e ^{nμ + ⁠1/2⁠ n 2 σ 2} для n ≥ 1.То есть существуют другие распределения с тем же набором моментов.^[4]Фактически, существует целое семейство распределений с теми же моментами, что и логнормальное распределение.^{[ необходима цитата ]}

Мода, медиана, квантили

Сравнение среднего значения , медианы и моды двух логнормальных распределений с различной асимметрией .

Мода — это точка глобального максимума функции плотности вероятности. В частности, решая уравнение , получаем, что: ${\displaystyle (\ln f)'=0}$

${\displaystyle \operatorname {Mode} [X]=e^{\mu -\sigma ^{2}}.}$

Поскольку логарифмически преобразованная переменная имеет нормальное распределение, а квантили сохраняются при монотонных преобразованиях, то квантили равны ${\displaystyle Y=\ln X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle q_{X}(\alpha )=e^{\mu +\sigma q_{\Phi }(\alpha )}=\mu ^{*}(\sigma ^{*})^{q_{\Phi }(\alpha )},}$

где — квантиль стандартного нормального распределения. ${\displaystyle q_{\Phi }(\alpha )}$

В частности, медиана логнормального распределения равна его мультипликативному среднему, ^[21]

${\displaystyle \operatorname {Med} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}~.}$

Частичное ожидание

Частичное ожидание случайной величины относительно порога определяется как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x\mid X>k)\,dx.}$

В качестве альтернативы, используя определение условного ожидания , его можно записать как . Для логнормальной случайной величины частное ожидание определяется как: ${\displaystyle g(k)=\operatorname {E} [X\mid X>k]P(X>k)}$

${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x\mid X>k)\,dx=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}\,\Phi \!\left({\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln k}{\sigma }}\right)}$

где — нормальная кумулятивная функция распределения . Вывод формулы представлен на странице обсуждения . Формула частичного ожидания применяется в страховании и экономике , она используется при решении уравнения в частных производных, приводящего к формуле Блэка–Шоулза . ${\displaystyle \Phi }$

Условное ожидание

Условное ожидание логнормальной случайной величины — относительно порогового значения — равно ее частному ожиданию, деленному на кумулятивную вероятность нахождения в этом диапазоне: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E[X\mid X<k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]}{\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}\right]}}\\[8pt]E[X\mid X\geqslant k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln(k)}{\sigma }}\right]}{1-\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}\right]}}\\[8pt]E[X\mid X\in [k_{1},k_{2}]]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\ln(k_{2})-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln(k_{1})-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]}{\Phi \left[{\frac {\ln(k_{2})-\mu }{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln(k_{1})-\mu }{\sigma }}\right]}}\end{aligned}}}$

Альтернативные параметризации

В дополнение к характеристике с помощью или , вот несколько способов параметризации логнормального распределения. ProbOnto , база знаний и онтология вероятностных распределений ^{[22] [23]} перечисляет семь таких форм: ${\displaystyle \mu ,\sigma }$ ${\displaystyle \mu ^{*},\sigma ^{*}}$

Обзор параметризаций логнормальных распределений.

• LogNormal1(μ,σ) со средним значением μ и стандартным отклонением σ, оба в логарифмической шкале ^[24]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

• LogNormal2(μ,υ) со средним значением μ и дисперсией υ, оба в логарифмической шкале

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {v}})={\frac {1}{x{\sqrt {v}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2v}}\right]}$

• LogNormal3(m,σ) с медианой , m, в натуральном масштабе и стандартным отклонением, σ, в логарифмическом масштабе ^[24]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

• LogNormal4(m,cv) с медианой m и коэффициентом вариации cv, оба в натуральном масштабе

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {cv}})={\frac {1}{x{\sqrt {\ln(cv^{2}+1)}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln(cv^{2}+1)}}\right]}$

• LogNormal5(μ,τ) со средним значением μ и точностью τ, оба в логарифмическом масштабе ^[25]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\tau }})={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}{\frac {1}{x}}\exp \left[-{\frac {\tau }{2}}(\ln x-\mu )^{2}\right]}$

• LogNormal6(m,σ _g ) с медианой m и геометрическим стандартным отклонением σ _g , оба в естественном масштабе ^[26]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma _{g}}})={\frac {1}{x\ln(\sigma _{g}){\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln ^{2}(\sigma _{g})}}\right]}$

• LogNormal7(μ _N ,σ _N ) со средним значением μ _N и стандартным отклонением σ _N , оба в естественном масштабе ^[27]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu _{N}}},{\boldsymbol {\sigma _{N}}})={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi \ln \left(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}\right)}}}}\exp \left(-{\frac {{\Big [}\ln x-\ln {\frac {\mu _{N}}{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}}{\Big ]}^{2}}{2\ln(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2})}}\right)}$

Примеры повторной параметризации

Рассмотрим ситуацию, когда кто-то хочет запустить модель с использованием двух различных оптимальных инструментов проектирования, например PFIM ^[28] и PopED. ^[29] Первый поддерживает параметризацию LN2, второй — LN7 соответственно. Поэтому требуется повторная параметризация, иначе два инструмента дадут разные результаты.

Для перехода справедливы следующие формулы и . ${\displaystyle \operatorname {LN2} (\mu ,v)\to \operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})}$ ${\textstyle \mu _{N}=\exp(\mu +v/2)}$ ${\textstyle \sigma _{N}=\exp(\mu +v/2){\sqrt {\exp(v)-1}}}$

Для перехода справедливы следующие формулы и . ${\displaystyle \operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})\to \operatorname {LN2} (\mu ,v)}$ ${\textstyle \mu =\ln \left(\mu _{N}/{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}\right)}$ ${\textstyle v=\ln(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2})}$

Все остальные формулы перепараметризации можно найти в спецификации на веб-сайте проекта. ^[30]

Множественный, взаимный, мощность

• Умножение на константу: Если тогда для ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle aX\sim \operatorname {Lognormal} (\mu +\ln a,\ \sigma ^{2})}$ ${\displaystyle a>0.}$
• Взаимно: Если тогда ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Lognormal} (-\mu ,\ \sigma ^{2}).}$
• Мощность: Если тогда для ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle X^{a}\sim \operatorname {Lognormal} (a\mu ,\ a^{2}\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle a\neq 0.}$

Умножение и деление независимых логнормальных случайных величин

Если две независимые , логнормальные переменные и умножаются [делятся], то произведение [отношение] снова будет логнормальным, с параметрами [ ] и , где . Это легко обобщается на произведение таких переменных. ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{1}-\mu _{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}$ ${\displaystyle n}$

В более общем случае, если являются независимыми, логарифмически нормально распределенными переменными, то ${\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y=\textstyle \prod _{j=1}^{n}X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} {\Big (}\textstyle \sum _{j=1}^{n}\mu _{j},\ \sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{2}{\Big )}.}$

Мультипликативная центральная предельная теорема

Геометрическое или мультипликативное среднее независимых, одинаково распределенных, положительных случайных величин показывает для приблизительно логнормальное распределение с параметрами и , предполагая, что является конечным. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \mu =E[\ln(X_{i})]}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}={\mbox{var}}[\ln(X_{i})]/n}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

На самом деле случайные величины не обязательно должны быть одинаково распределены. Достаточно, чтобы распределения все имели конечную дисперсию и удовлетворяли другим условиям любого из многочисленных вариантов центральной предельной теоремы . ${\displaystyle \ln(X_{i})}$

Это широко известно как закон Жибрата .

Другой

Набор данных, который возникает из логнормального распределения, имеет симметричную кривую Лоренца (см. также коэффициент асимметрии Лоренца ). ^[31]

Гармоническое , геометрическое и арифметическое средние этого распределения связаны; ^[32] такая связь задается формулой ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}.}$

Логнормальные распределения бесконечно делимы , ^[33] но они не являются стабильными распределениями , из которых можно легко сделать выводы. ^[34]

Связанные дистрибутивы

• Если распределение нормальное , то ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \exp(X)\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}).}$
• Если распределено логарифмически нормально, то является нормальной случайной величиной. ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$
• Пусть будут независимыми логнормально распределенными переменными с возможно меняющимися и параметрами, и . Распределение не имеет замкнутого выражения, но может быть разумно аппроксимировано другим логнормальным распределением в правом хвосте. ^[35] Его функция плотности вероятности в окрестности 0 была охарактеризована ^[34] , и она не похожа ни на одно логнормальное распределение. Обычно используемое приближение, предложенное Л. Ф. Фентоном (но ранее сформулированное Р. И. Уилкинсоном и математически обоснованное Марлоу ^[36] ), получается путем сопоставления среднего значения и дисперсии другого логнормального распределения: В случае, если все имеют одинаковый параметр дисперсии , эти формулы упрощаются до ${\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\textstyle Y=\sum _{j=1}^{n}X_{j}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[{\frac {\sum e^{2\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}}(e^{\sigma _{j}^{2}}-1)}{(\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2})^{2}}}+1\right],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\right]-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle \sigma _{j}=\sigma }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[(e^{\sigma ^{2}}-1){\frac {\sum e^{2\mu _{j}}}{(\sum e^{\mu _{j}})^{2}}}+1\right],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}}\right]+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$$

Для более точного приближения можно использовать метод Монте-Карло для оценки кумулятивной функции распределения, плотности вероятности и правого хвоста. ^{[37] [38]}

Сумма коррелированных логнормально распределенных случайных величин также может быть аппроксимирована логнормальным распределением ^{[ требуется ссылка ]} $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{+}&=\operatorname {E} \left[\sum _{i}X_{i}\right]=\sum _{i}\operatorname {E} [X_{i}]=\sum _{i}e^{\mu _{i}+\sigma _{i}^{2}/2}\\\sigma _{Z}^{2}&=1/S_{+}^{2}\,\sum _{i,j}\operatorname {cor} _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}\operatorname {E} [X_{i}]\operatorname {E} [X_{j}]=1/S_{+}^{2}\,\sum _{i,j}\operatorname {cor} _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}e^{\mu _{i}+\sigma _{i}^{2}/2}e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\\\mu _{Z}&=\ln \left(S_{+}\right)-\sigma _{Z}^{2}/2\end{aligned}}}$$

• Если тогда говорят, что имеет трехпараметрическое логнормальное распределение с носителем . ^[39] , . ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle X+c}$ ${\displaystyle x\in (c,+\infty )}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X+c]=\operatorname {E} [X]+c}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [X+c]=\operatorname {Var} [X]}$
• Логнормальное распределение является частным случаем полуограниченного SU-распределения Джонсона . ^[40]
• Если с , то (распределение Сузуки). ${\displaystyle X\mid Y\sim \operatorname {Rayleigh} (Y)}$ ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle X\sim \operatorname {Suzuki} (\mu ,\sigma )}$
• На основе логистического распределения можно получить замену логнормальному распределению, интеграл которого можно выразить через более элементарные функции ^[41] , чтобы получить приближение для CDF. Это логнормальное распределение . $${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\left[\left({\frac {e^{\mu }}{x}}\right)^{\pi /(\sigma {\sqrt {3}})}+1\right]^{-1}.}$$

Статистический вывод

Оценка параметров

Для определения оценок максимального правдоподобия параметров логнормального распределения μ и σ мы можем использовать ту же процедуру , что и для нормального распределения . Обратите внимание, что где — функция плотности нормального распределения . Таким образом, функция логарифмического правдоподобия равна $${\displaystyle L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\varphi _{\mu ,\sigma }(\ln x_{i}),}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ $${\displaystyle \ell (\mu ,\sigma \mid x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-\sum _{i}\ln x_{i}+\ell _{N}(\mu ,\sigma \mid \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).}$$

Поскольку первый член постоянен относительно μ и σ , обе логарифмические функции правдоподобия, и , достигают своего максимума при тех же и . Следовательно, оценки максимального правдоподобия идентичны оценкам для нормального распределения для наблюдений , ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell _{N}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})}$ $${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i}\ln x_{i}}{n}},\qquad {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{i}\left(\ln x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}{n}}.}$$

Для конечного n оценка для является несмещенной, но для является смещенной. Что касается нормального распределения, несмещенную оценку для можно получить, заменив знаменатель n на n −1 в уравнении для . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}$

Когда индивидуальные значения недоступны, но есть выборочное среднее и стандартное отклонение s , то можно использовать метод моментов . Соответствующие параметры определяются по следующим формулам, полученным из решения уравнений для математического ожидания и дисперсии для и : ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [X]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle \mu =\ln \left({\frac {\bar {x}}{\sqrt {1+{\widehat {\sigma }}^{2}/{\bar {x}}^{2}}}}\right),\qquad \sigma ^{2}=\ln \left(1+{{\widehat {\sigma }}^{2}}/{\bar {x}}^{2}\right).}$$

Интервальные оценки

Наиболее эффективный способ получения интервальных оценок при анализе логарифмически нормально распределенных данных состоит в применении известных методов, основанных на нормальном распределении, к логарифмически преобразованным данным, а затем в обратном преобразовании результатов, если это необходимо.

Интервалы прогнозирования

Базовый пример дают интервалы прогнозирования : для нормального распределения интервал содержит приблизительно две трети (68%) вероятности (или большой выборки) и содержит 95%. Следовательно, для логнормального распределения содержит 2/3 и содержит 95% вероятности. Используя оценочные параметры, тогда приблизительно одинаковые проценты данных должны содержаться в этих интервалах. ${\displaystyle [\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]}$ ${\displaystyle [\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]}$ $${\displaystyle [\mu ^{*}/\sigma ^{*},\mu ^{*}\cdot \sigma ^{*}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/\sigma ^{*}]}$$ $${\displaystyle [\mu ^{*}/(\sigma ^{*})^{2},\mu ^{*}\cdot (\sigma ^{*})^{2}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/(\sigma ^{*})^{2}]}$$

Доверительный интервал дляе ^μ

Используя принцип, обратите внимание, что доверительный интервал для равен , где — стандартная ошибка, а q — 97,5%-ный квантиль распределения t с n-1 степенями свободы. Обратное преобразование приводит к доверительному интервалу для (медианы), равен: с ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [{\widehat {\mu }}\pm q\cdot {\widehat {\mathop {se} }}]}$ ${\displaystyle \mathop {se} ={\widehat {\sigma }}/{\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}=e^{\mu }}$ $${\displaystyle [{\widehat {\mu }}^{*}{}^{\times }\!\!/(\operatorname {sem} ^{*})^{q}]}$$ ${\displaystyle \operatorname {sem} ^{*}=({\widehat {\sigma }}^{*})^{1/{\sqrt {n}}}}$

Доверительный интервал для E(X)

В литературе обсуждаются несколько вариантов расчета доверительного интервала для (среднего логнормального распределения). Они включают бутстрап , а также различные другие методы. ^{[42] [43]} ${\displaystyle \mu }$

Метод Кокса ^[a] предлагает подключать оценщики ${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i}\ln x_{i}}{n}},\qquad S^{2}={\frac {\sum _{i}\left(\ln x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}{n-1}}}$

и использовать их для построения приблизительных доверительных интервалов следующим образом: ${\displaystyle CI(E(X)):e^{\left({\hat {\mu }}+{\frac {S^{2}}{2}}\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S^{2}}{n}}+{\frac {S^{4}}{2(n-1)}}}}\right)}}$

[Доказательство]

Мы знаем, что . Также, является нормальным распределением с параметрами: ${\displaystyle E(X)=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mu }}\sim N\left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\right)}$

${\displaystyle S^{2}}$имеет распределение хи-квадрат , которое приблизительно нормально распределено (через ЦПТ ), с параметрами : . Следовательно, . ${\displaystyle S^{2}{\dot {\sim }}N\left(\sigma ^{2},{\frac {2\sigma ^{4}}{n-1}}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {S^{2}}{2}}{\dot {\sim }}N\left({\frac {\sigma ^{2}}{2}},{\frac {\sigma ^{4}}{2(n-1)}}\right)}$

Поскольку выборочное среднее значение и дисперсия независимы, а сумма нормально распределенных переменных также является нормальной , мы получаем, что: На основании вышеизложенного стандартные доверительные интервалы для могут быть построены (с использованием основной величины ) как: И поскольку доверительные интервалы сохраняются для монотонных преобразований, мы получаем, что: ${\displaystyle {\widehat {\mu }}+{\frac {S^{2}}{2}}{\dot {\sim }}N\left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}},{\frac {\sigma ^{2}}{n}}+{\frac {\sigma ^{4}}{2(n-1)}}\right)}$ ${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mu }}+{\frac {S^{2}}{2}}\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S^{2}}{n}}+{\frac {S^{4}}{2(n-1)}}}}}$ ${\displaystyle CI\left(E(X)=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\right):e^{\left({\hat {\mu }}+{\frac {S^{2}}{2}}\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S^{2}}{n}}+{\frac {S^{4}}{2(n-1)}}}}\right)}}$

По желанию.

Олссон 2005 предложил «модифицированный метод Кокса», заменив его на , который, как представляется, обеспечивает лучшие результаты покрытия для небольших размеров выборки. ^{[42] : Раздел 3.4} ${\displaystyle z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}}$ ${\displaystyle t_{n-1,1-{\frac {\alpha }{2}}}}$

Доверительный интервал для сравнения двух логнормальных распределений

Сравнение двух логнормальных распределений часто может представлять интерес, например, для группы лечения и контроля (например, в тесте A/B ). У нас есть выборки из двух независимых логнормальных распределений с параметрами и , с размерами выборки и соответственно. ${\displaystyle (\mu _{1},\sigma _{1}^{2})}$ ${\displaystyle (\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}}$

Сравнение медиан двух значений можно легко выполнить, взяв логарифм каждой из них, а затем построив простые доверительные интервалы и преобразовав их обратно в экспоненциальную шкалу.

${\displaystyle CI(e^{\mu _{1}-\mu _{2}}):e^{\left({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n}}}}\right)}}$

Эти доверительные интервалы часто используются в эпидемиологии для расчета доверительного интервала для относительного риска и отношения шансов . ^[46] Это делается следующим образом: у нас есть два приблизительно нормальных распределения (например, p1 и p2 для RR), и мы хотим рассчитать их отношение. ^[b]

Однако соотношение ожиданий (средних) двух выборок также может представлять интерес, хотя и требует больше работы для разработки. Соотношение их средних равно:

${\displaystyle {\frac {E(X_{1})}{E(X_{2})}}={\frac {e^{\mu _{1}+{\frac {\sigma _{1}^{2}}{2}}}}{e^{\mu _{2}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{2}}}}}=e^{(\mu _{1}-\mu _{2})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}^{2}-\sigma _{2}^{2})}}$

Добавление оценок к каждому из этих параметров также дает логнормальное распределение, что означает, что метод Кокса, рассмотренный выше, может быть аналогичным образом использован для этого варианта использования:

${\displaystyle CI\left({\frac {E(X_{1})}{E(X_{2})}}={\frac {e^{\mu _{1}+{\frac {\sigma _{1}^{2}}{2}}}}{e^{\mu _{2}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{2}}}}}\right):e^{\left(({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}+{\frac {1}{2}}S_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}S_{2}^{2})\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {S_{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {S_{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}}}\right)}}$

[Доказательство]

Чтобы построить доверительный интервал для этого отношения, сначала отметим, что следует нормальному распределению, и что и и имеют распределение хи-квадрат , которое приблизительно нормально распределено (с помощью ЦПТ , с соответствующими параметрами ). ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}^{2}}$ ${\displaystyle S_{2}^{2}}$

Это означает, что ${\displaystyle ({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}+{\frac {1}{2}}S_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}S_{2}^{2})\sim N\left((\mu _{1}-\mu _{2})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}^{2}-\sigma _{2}^{2}),{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {\sigma _{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {\sigma _{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}\right)}$

На основании вышеизложенного можно построить стандартные доверительные интервалы (используя основную величину ) следующим образом: И поскольку доверительные интервалы сохраняются для монотонных преобразований, получаем, что: ${\displaystyle ({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}+{\frac {1}{2}}S_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}S_{2}^{2})\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {S_{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {S_{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}}}}$ ${\displaystyle CI\left({\frac {E(X_{1})}{E(X_{2})}}={\frac {e^{\mu _{1}+{\frac {\sigma _{1}^{2}}{2}}}}{e^{\mu _{2}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{2}}}}}\right):e^{\left(({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}+{\frac {1}{2}}S_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}S_{2}^{2})\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {S_{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {S_{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}}}\right)}}$

По желанию.

Стоит отметить, что наивное использование MLE в отношении двух ожиданий для создания оценщика отношения приведет к последовательной , но смещенной точечной оценке (мы используем тот факт, что оценщик отношения является логарифмически нормальным распределением) ^[c] :

${\displaystyle E\left[{\frac {{\widehat {E}}(X_{1})}{{\widehat {E}}(X_{2})}}\right]=E\left[e^{({\widehat {\mu }}_{1}-{\widehat {\mu }}_{2})+{\frac {1}{2}}(S_{1}^{2}-S_{2}^{2})}\right]=e^{(\mu _{1}-\mu _{2})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}^{2}-\sigma _{2}^{2})+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {\sigma _{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {\sigma _{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}\right)}}$

Экстремальный принцип энтропии для фиксации свободного параметраσ

В приложениях это параметр, который необходимо определить. Для растущих процессов, сбалансированных производством и диссипацией, использование экстремального принципа энтропии Шеннона показывает, что ^[47] ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\sqrt {6}}}}$$

Это значение затем может быть использовано для получения некоторого масштабного соотношения между точкой перегиба и максимальной точкой логарифмически нормального распределения. ^[47] Это соотношение определяется основанием натурального логарифма, и демонстрирует некоторое геометрическое сходство с принципом минимальной поверхностной энергии. Эти масштабные соотношения полезны для прогнозирования ряда процессов роста (распространение эпидемий, разбрызгивание капель, рост популяции, скорость завихрения вихря ванны, распределение языковых символов, профиль скорости турбулентностей и т. д.). Например, логарифмически нормальная функция с таким хорошо соответствует размеру вторично образующихся капель во время удара капли ^[48] и распространению эпидемического заболевания. ^[49] ${\displaystyle e=2.718\ldots }$ ${\displaystyle \sigma }$

Значение используется для предоставления вероятностного решения уравнения Дрейка. ^[50] ${\textstyle \sigma =1{\big /}{\sqrt {6}}}$

Возникновение и применение

Логнормальное распределение важно для описания природных явлений. Многие процессы естественного роста обусловлены накоплением множества небольших процентных изменений, которые становятся аддитивными в логарифмической шкале. При соответствующих условиях регулярности распределение полученных накопленных изменений будет все лучше аппроксимироваться логнормальным распределением, как отмечено в разделе выше «Мультипликативная центральная предельная теорема». Это также известно как закон Гибрата , в честь Роберта Гибрата (1904–1980), который сформулировал его для компаний. ^[51] Если скорость накопления этих небольших изменений не меняется со временем, рост становится независимым от размера. Даже если это предположение неверно, распределение размеров в любом возрасте вещей, которые растут с течением времени, имеет тенденцию быть логнормальным. ^{[ необходима цитата ]} Следовательно, референтные диапазоны для измерений у здоровых людей точнее оцениваются при предположении логнормального распределения, чем при предположении симметричного распределения относительно среднего. ^{[ необходима цитата ]}

Второе обоснование основано на наблюдении, что фундаментальные законы природы подразумевают умножение и деление положительных переменных. Примерами являются простой закон тяготения, связывающий массы и расстояние с результирующей силой, или формула для равновесных концентраций химикатов в растворе, которая связывает концентрации исходных веществ и продуктов. Предположение о логнормальном распределении задействованных переменных приводит к согласованным моделям в этих случаях.

Конкретные примеры приведены в следующих подразделах. ^[52] содержит обзор и таблицу логнормальных распределений из геологии, биологии, медицины, продуктов питания, экологии и других областей. ^[53] — обзорная статья о логнормальных распределениях в нейронауке с аннотированной библиографией.

Поведение человека

• Длина комментариев, размещенных на интернет-форумах, подчиняется логнормальному распределению. ^[54]
• Время, проводимое пользователями на онлайн-статьях (шутки, новости и т. д.), подчиняется логнормальному распределению. ^[55]
• Продолжительность шахматных партий имеет тенденцию следовать логнормальному распределению. ^[56]
• Длительность начала акустических сравнительных стимулов, соответствующих стандартному стимулу, подчиняется логнормальному распределению. ^[18]

Биология и медицина

• Меры размеров живой ткани (длина, площадь кожи, вес). ^[57]
• Инкубационный период заболеваний. ^[58]
• Диаметры пятен на листьях банана, мучнистая роса на ячмене. ^[52]
• Для высококонтагиозных эпидемий, таких как атипичная пневмония в 2003 году, если задействованы меры государственного вмешательства, число госпитализированных случаев, как показано, удовлетворяет логнормальному распределению без свободных параметров, если предполагается энтропия, а стандартное отклонение определяется по принципу максимальной скорости производства энтропии . ^[59]
• Длина инертных конечностей (волос, когтей, ногтей, зубов) биологических образцов в направлении роста. ^{[ необходима ссылка ]}
• Нормализованное количество прочтений РНК-Seq для любого геномного региона можно хорошо аппроксимировать с помощью логнормального распределения.
• Длина прочтения секвенирования PacBio следует логнормальному распределению. ^[60]
• Некоторые физиологические измерения, такие как артериальное давление у взрослых людей (после разделения на мужские и женские субпопуляции). ^[61]
• Несколько фармакокинетических переменных, таких как C _max , период полувыведения и константа скорости выведения . ^[62]
• В нейронауке распределение частоты срабатывания в популяции нейронов часто приблизительно логарифмически нормально. Впервые это было обнаружено в коре и полосатом теле ^[63] , а затем в гиппокампе и энторинальной коре ^[64] и в других местах мозга. ^{[53] [65]} Кроме того, внутренние распределения усиления и распределения синаптического веса также, по-видимому, логарифмически нормальны ^{[66] .}
• Плотность нейронов в коре головного мозга из-за шумного процесса деления клеток во время развития нервной системы. ^[67]
• В управлении операционными — распределение продолжительности хирургических операций .
• В размере лавин переломов в цитоскелете живых клеток, показывающих логнормальное распределение, со значительно большим размером в раковых клетках, чем в здоровых. ^[68]

Химия

• Распределение размеров частиц и распределение молярной массы .
• Концентрация редких элементов в минералах. ^[69]
• Диаметры кристаллов в мороженом, капель масла в майонезе, пор в какао-жмыхе. ^[52]

Подогнанное кумулятивное логнормальное распределение к годовому максимуму однодневных осадков, см. подгонку распределения

Гидрология

• В гидрологии логнормальное распределение используется для анализа экстремальных значений таких переменных, как месячные и годовые максимальные значения суточных осадков и объемов речного стока. ^[70]

Изображение справа, созданное с помощью CumFreq , иллюстрирует пример подгонки логарифмически нормального распределения к ранжированным годовым максимальным однодневным осадкам, показывая также 90% доверительный интервал на основе биномиального распределения . ^[71]

Данные об осадках представлены в виде графиков положений как части кумулятивного анализа частотности .

Социальные науки и демография

• В экономике есть данные, что доход 97%–99% населения распределен логарифмически нормально. ^[72] (Распределение людей с более высоким доходом следует распределению Парето ). ^[73]
• Если распределение доходов подчиняется логарифмически нормальному распределению со стандартным отклонением , то коэффициент Джини , обычно используемый для оценки неравенства доходов, можно вычислить как , где — функция ошибок , поскольку , где — кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G=\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma }{2}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ ${\displaystyle G=2\Phi \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)-1}$ ${\displaystyle \Phi (x)}$
• В финансах , в частности в модели Блэка-Шоулза , изменения логарифма обменных курсов, индексов цен и индексов фондового рынка предполагаются нормальными ^[74] (эти переменные ведут себя как сложные проценты, а не как простые проценты, и поэтому являются мультипликативными). Однако некоторые математики, такие как Бенуа Мандельброт, утверждали ^[75], что логарифмические распределения Леви , которые обладают тяжелыми хвостами , были бы более подходящей моделью, в частности, для анализа крахов фондового рынка . Действительно, распределения цен на акции обычно демонстрируют толстый хвост . ^[76] Распределение изменений во время крахов фондового рынка с толстым хвостом сводит на нет предположения центральной предельной теоремы .
• В наукометрии число ссылок на журнальные статьи и патенты подчиняется дискретному логнормальному распределению. ^{[77] [78]}
• Размеры городов (население) удовлетворяют закону Жибрата. ^[79] Процесс роста размеров городов пропорционален и инвариантен относительно размера. Следовательно, из центральной предельной теоремы следует, что логарифм размера города распределен нормально.
• Число сексуальных партнеров, по-видимому, лучше всего описывается логнормальным распределением. ^[80]

Технологии

• При анализе надежности логнормальное распределение часто используется для моделирования времени ремонта обслуживаемой системы. ^[81]
• В беспроводной связи «локальная средняя мощность, выраженная в логарифмических значениях, таких как дБ или непер, имеет нормальное (то есть гауссово) распределение». ^[82] Кроме того, случайное препятствие радиосигналам из-за больших зданий и холмов, называемое затенением , часто моделируется как логарифмически нормальное распределение.
• Распределение размеров частиц, полученное путем измельчения со случайными ударами, например, в шаровой мельнице . ^[83]
• Распределение размеров файлов общедоступных аудио- и видеоданных ( типы MIME ) подчиняется логнормальному распределению на протяжении пяти порядков величины . ^[84]
• Размеры файлов 140 миллионов файлов на персональных компьютерах под управлением ОС Windows, собранных в 1999 году. ^{[85] [54]}
• Размеры текстовых писем (1990-е годы) и мультимедийных писем (2000-е годы). ^[54]
• В компьютерных сетях и анализе интернет-трафика логнормальное распределение показано как хорошая статистическая модель для представления объема трафика в единицу времени. Это было показано путем применения надежного статистического подхода к большим группам реальных интернет-трейсов. В этом контексте логнормальное распределение показало хорошую производительность в двух основных случаях использования: (1) прогнозирование доли времени, в течение которого трафик превысит заданный уровень (для соглашения об уровне обслуживания или оценки пропускной способности канала), т. е. определение размеров канала на основе предоставления полосы пропускания и (2) прогнозирование ценообразования 95-го процентиля. ^[86]
• При физическом тестировании, когда тест определяет время до отказа элемента при определенных условиях, данные часто лучше всего анализировать с использованием логнормального распределения. ^{[87] [88]}

Смотрите также

• Распределение с тяжелым хвостом
• Модель потерь на траектории с логарифмическим расстоянием
• Модифицированное логнормальное степенное распределение
• Выцветание

Примечания

1. Метод Кокса был процитирован как «личное сообщение» в Land, 1971, ^[44] и также был приведен в CitationZhou and Gao (1997) ^[45] и Olsson 2005 ^{[42] : Раздел 3.3}
2. Проблема в том, что мы не знаем, как сделать это напрямую, поэтому мы берем их журналы, а затем используем дельта-метод, чтобы сказать, что их журналы сами по себе (приблизительно) нормальны. Этот трюк позволяет нам притвориться, что их exp был логнормальным, и использовать это приближение для построения CI. Обратите внимание, что в случае RR медиана и среднее в базовом распределении (т. е. до взятия журнала) на самом деле идентичны (так как они изначально нормальные, а не логнормальные). Например, и Следовательно, построение CI на основе журнала и обратного преобразования даст нам . Таким образом, хотя мы ожидаем, что CI будет для медианы, в этом случае он фактически также будет для среднего в исходном распределении. т. е. если бы исходное распределение было логнормальным, мы бы ожидали, что . Но на практике мы ЗНАЕМ, что . Следовательно, приближение, которое мы имеем, находится на втором этапе (дельта-метода), но CI на самом деле для ожидания (а не только для медианы). Это потому, что мы начинаем с базового распределения, которое является нормальным, а затем используем еще одно приближение после логарифма снова к нормальному. Это означает, что большая часть приближения CI исходит из дельта-метода. ${\displaystyle {\hat {p}}_{1}{\dot {\sim }}N(p_{1},p_{1}(1-p1)/n)}$ ${\displaystyle log({\hat {p}}_{1}){\dot {\sim }}N(log(p_{1}),(1-p1)/(p_{1}*n))}$ ${\displaystyle CI(p_{1}):e^{log({\hat {p}}_{1})\pm (1-{\hat {p}}_{1})/({\hat {p}}_{1}*n))}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{1}}$ ${\displaystyle E[{\hat {p}}_{1}]=e^{log(p_{1})+1/2*(1-p1)/(p_{1}*n)}}$ ${\displaystyle E[{\hat {p}}_{1}]=e^{log(p_{1})}=p_{1}}$
3. Смещение можно частично минимизировать, используя: ${\displaystyle {\widehat {\left[{\frac {E(X_{1})}{E(X_{2})}}\right]}}=\left[{\frac {{\widehat {E}}(X_{1})}{{\widehat {E}}(X_{2})}}\right]{\frac {2}{\widehat {\left({\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {\sigma _{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {\sigma _{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}\right)}}}=\left[e^{({\widehat {\mu }}_{1}-{\widehat {\mu }}_{2})+{\frac {1}{2}}(S_{1}^{2}-S_{2}^{2})}\right]{\frac {2}{{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {S_{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {S_{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}}}}$

Ссылки

1. Нортон, Мэтью; Хохлов, Валентин; Урясев, Стэн (2019). «Расчет CVaR и bPOE для общих распределений вероятностей с применением к оптимизации портфеля и оценке плотности» (PDF) . Annals of Operations Research . 299 (1–2). Springer: 1281–1315. arXiv : 1811.11301 . doi :10.1007/s10479-019-03373-1. S2CID  254231768. Архивировано (PDF) из оригинала 2021-04-18 . Получено 2023-02-27 – через stonybrook.edu.
2. Weisstein, Eric W. "Log Normal Distribution". mathworld.wolfram.com . Получено 13 сентября 2020 г. .
3. "1.3.6.6.9. Логнормальное распределение". www.itl.nist.gov . Национальный институт стандартов и технологий США (NIST) . Получено 13 сентября 2020 г. .
4. Джонсон, Норман Л.; Коц, Сэмюэл; Балакришнан, Н. (1994), "14: Логнормальные распределения", Непрерывные одномерные распределения. Том 1 , Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2nd ed.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-58495-7, г-н  1299979
5. Park, Sung Y.; Bera, Anil K. (2009). "Модель условной гетероскедастичности с максимальной энтропией авторегрессии" (PDF) . Journal of Econometrics . 150 (2): 219–230, в частности. Таблица 1, стр. 221. CiteSeerX 10.1.1.511.9750 . doi :10.1016/j.jeconom.2008.12.014. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-07 . Получено 2011-06-02 . 
6. Tarmast, Ghasem (2001). Многомерное логнормальное распределение (PDF) . Труды ISI: 53-я сессия. Сеул. Архивировано (PDF) из оригинала 2013-07-19.
7. Холливелл, Ли (2015). Логнормальное случайное многомерное (PDF) . Электронный форум Casualty Actuarial Society, весна 2015 г. Арлингтон, Вирджиния. Архивировано (PDF) из оригинала 2015-09-30.
8. Хейде, CC. (2010), «О свойстве логнормального распределения», Журнал Королевского статистического общества, Серия B , т. 25, № 2, стр. 392–393, doi : 10.1007/978-1-4419-5823-5_6 , ISBN 978-1-4419-5822-8
9. Биллингсли, Патрик (2012). Вероятность и мера (юбилейное издание). Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. стр. 415. ISBN 978-1-118-12237-2. OCLC  780289503.
10. Holgate, P. (1989). "Логнормальная характеристическая функция, т. 18, стр. 4539–4548, 1989". Communications in Statistics - Theory and Methods . 18 (12): 4539–4548. doi :10.1080/03610928908830173.
11. Баракат, Р. (1976). «Суммы независимых логнормально распределенных случайных величин». Журнал оптического общества Америки . 66 (3): 211–216. Bibcode : 1976JOSA...66..211B. doi : 10.1364/JOSA.66.000211.
12. Барух, Э.; Кауфман, ГМ.; Глассер, МЛ. (1986). "О суммах логнормальных случайных величин" (PDF) . Исследования по прикладной математике . 75 (1): 37–55. doi :10.1002/sapm198675137. hdl : 1721.1/48703 .
13. Лейпник, Рой Б. (январь 1991 г.). "О логнормальных случайных величинах: I – Характеристическая функция" (PDF) . Журнал Австралийского математического общества, серия B . 32 (3): 327–347. doi : 10.1017/S0334270000006901 .
14. S. Asmussen, JL Jensen, L. Rojas-Nandayapa (2016). «О преобразовании Лапласа логнормального распределения», Методология и вычисления в прикладной вероятности 18 (2), 441-458. Отчет Тиле 6 (13).
15. Das, Abhranil (2021). «Метод интеграции и классификации нормальных распределений». Journal of Vision . 21 (10): 1. arXiv : 2012.14331 . doi : 10.1167/jov.21.10.1. PMC 8419883. PMID  34468706 . 
16. Kirkwood, Thomas BL (декабрь 1979 г.). «Геометрические средние и меры дисперсии». Биометрия . 35 (4): 908–9. JSTOR  2530139.
17. Лимперт, Э.; Стахел, В.; Эббт, М. (2001). «Логнормальные распределения в науках: ключи и подсказки». BioScience . 51 (5): 341–352. doi : 10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2 .
18. Heil P, Friedrich B (2017). «Повторный взгляд на соответствие начала и длительности акустических стимулов: обычные арифметические и предлагаемые геометрические меры точности и достоверности». Frontiers in Psychology . 7 : 2013. doi : 10.3389/fpsyg.2016.02013 . PMC 5216879. PMID  28111557 . 
19. Савант, С.; Мохан, Н. (2011) «Часто задаваемые вопросы: проблемы с анализом эффективности данных клинических испытаний с использованием SAS» Архивировано 24 августа 2011 г. в Wayback Machine , PharmaSUG2011 , статья PO08
20. Шифф, МХ; и др. (2014). «Сравнительное рандомизированное перекрестное исследование перорального и подкожного метотрексата у пациентов с ревматоидным артритом: ограничения воздействия препарата пероральным метотрексатом в дозах >=15 мг могут быть преодолены при подкожном введении». Ann Rheum Dis . 73 (8): 1–3. doi :10.1136/annrheumdis-2014-205228. PMC 4112421. PMID  24728329 . 
21. Дейли, Лесли Э.; Бурк, Джеффри Джозеф (2000). Интерпретация и использование медицинской статистики . Т. 46 (5-е изд.). Оксфорд, Великобритания: Wiley-Blackwell. стр. 89. doi :10.1002/9780470696750. ISBN 978-0-632-04763-5. ПМК  1059583 ; {{cite book}}: |journal=проигнорировано ( помощь ) печатное издание. Электронная книга ISBN 9780470696750 
22. "ProbOnto" . Получено 1 июля 2017 г.
23. Swat, MJ; Grenon, P; Wimalaratne, S (2016). «ProbOnto: онтология и база знаний вероятностных распределений». Биоинформатика . 32 (17): 2719–21. doi :10.1093/bioinformatics/btw170. PMC 5013898. PMID  27153608 . 
24. Forbes et al. Распределения вероятностей (2011), John Wiley & Sons, Inc.
25. Ланн, Д. (2012). Книга BUGS: практическое введение в байесовский анализ. Тексты по статистической науке. CRC Press.
26. Лимперт, Э.; Стахел, ВА; Эббт, М. (2001). «Логнормальные распределения в науках: ключи и подсказки». BioScience . 51 (5): 341–352. doi : 10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2 .
27. Nyberg, J.; et al. (2012). "PopED - расширенный, распараллеленный, оптимальный для популяции инструмент проектирования". Comput Methods Programs Biomed . 108 (2): 789–805. doi :10.1016/j.cmpb.2012.05.005. PMID  22640817.
28. Retout, S; Duffull, S; Mentré, F (2001). «Разработка и внедрение популяционной информационной матрицы Фишера для оценки популяционных фармакокинетических дизайнов». Comp Meth Pro Biomed . 65 (2): 141–151. doi :10.1016/S0169-2607(00)00117-6. PMID  11275334.
29. Группа разработчиков PopED (2016). Руководство PopED, версия выпуска 2.13. Технический отчет, Университет Уппсалы.
30. Веб-сайт ProbOnto, URL: http://probonto.org.
31. Дамгаард, Кристиан; Вайнер, Якоб (2000). «Описание неравенства в размере растений или плодовитости». Экология . 81 (4): 1139–1142. doi :10.1890/0012-9658(2000)081[1139:DIIPSO]2.0.CO;2.
32. Россман, Льюис А. (июль 1990 г.). «Проектирование потоков на основе гармонических средних». Журнал гидравлической инженерии . 116 (7): 946–950. doi :10.1061/(ASCE)0733-9429(1990)116:7(946).
33. Торин, Олоф (1977). «О бесконечной делимости логнормального распределения». Scandinavian Actuarial Journal . 1977 (3): 121–148. doi :10.1080/03461238.1977.10405635. ISSN  0346-1238.
34. Gao, Xin (2009). "Асимптотическое поведение хвостовой плотности для суммы коррелированных логнормальных переменных". Международный журнал математики и математических наук . 2009 : 1–28. doi : 10.1155/2009/630857 .
35. Асмуссен, С.; Рохас-Нандаяпа, Л. (2008). "Асимптотика сумм логнормальных случайных величин с гауссовой копулой" (PDF) . Statistics and Probability Letters . 78 (16): 2709–2714. doi :10.1016/j.spl.2008.03.035.
36. Марлоу, NA. (Ноябрь 1967). «Нормальная предельная теорема для степенных сумм независимых нормальных случайных величин». Bell System Technical Journal . 46 (9): 2081–2089. doi :10.1002/j.1538-7305.1967.tb04244.x.
37. Botev, ZI; L'Ecuyer, P. (2017). «Точное вычисление правого хвоста суммы зависимых логнормальных переменных». Зимняя конференция по моделированию 2017 г. (WSC), 3–6 декабря 2017 г. Лас-Вегас, Невада, США: IEEE. стр. 1880–1890. arXiv : 1705.03196 . doi :10.1109/WSC.2017.8247924. ISBN 978-1-5386-3428-8.
38. Асмуссен, А.; Гоффард, П.-О.; Лауб, П.Дж. (2016). «Ортонормальные полиномиальные разложения и логнормальные плотности сумм». arXiv : 1601.01763v1 [math.PR].
39. Сангал, Б.; Бисвас, А. (1970). «Применение 3-параметрического логнормального распределения в гидрологии». Исследования водных ресурсов . 6 (2): 505–515. doi :10.1029/WR006i002p00505.
40. Джонсон, Н. Л. (1949). «Системы частотных кривых, созданных методами трансляции». Biometrika . 36 (1/2): 149–176. doi :10.2307/2332539. JSTOR  2332539. PMID  18132090.
41. Свами, П. К. (2002). «Почти логнормальное распределение». Журнал гидрологической инженерии . 7 (6): 441–444. doi :10.1061/(ASCE)1084-0699(2002)7:6(441).
42. Олссон, Ульф. "Доверительные интервалы для среднего значения логнормального распределения". Журнал статистического образования 13.1 (2005).pdf html
43. user10525, Как рассчитать доверительный интервал для среднего значения логарифмически нормального набора данных?, URL (версия: 2022-12-18): https://stats.stackexchange.com/q/33395
44. Лэнд, CE (1971), «Доверительные интервалы для линейных функций нормального среднего и дисперсии», Annals of Mathematical Statistics, 42, 1187–1205.
45. Чжоу, XH. и Гао, S. (1997), «Доверительные интервалы для логнормального среднего», Статистика в медицине, 16, 783–790.
46. Доверительные интервалы для коэффициентов риска и коэффициентов шансов
47. Wu, Ziniu; Li, Juan; Bai, Chenyuan (2017). "Масштабные отношения процесса роста логнормального типа с экстремальным принципом энтропии". Entropy . 19 (56): 1–14. Bibcode :2017Entrp..19...56W. doi : 10.3390/e19020056 .
48. Wu, Zi-Niu (2003). «Прогнозирование распределения размеров вторичных выброшенных капель с помощью коронного разбрызгивания капель, падающих на твердую стенку». Вероятностная инженерная механика . 18 (3): 241–249. Bibcode : 2003PEngM..18..241W. doi : 10.1016/S0266-8920(03)00028-6.
49. Ван, Вэньбинь; У, Цзыню; Ван, Чуньфэн; Ху, Руйфэн (2013). «Моделирование скорости распространения контролируемых инфекционных эпидемий с помощью термодинамической модели на основе энтропии». Science China Physics, Mechanics and Astronomy . 56 (11): 2143–2150. arXiv : 1304.5603 . Bibcode : 2013SCPMA..56.2143W. doi : 10.1007/s11433-013-5321-0. ISSN  1674-7348. PMC 7111546. PMID 32288765  . 
50. Bloetscher, Frederick (2019). «Использование предсказательных байесовских методов Монте-Карло-цепи Маркова для получения вероятностного решения уравнения Дрейка». Acta Astronautica . 155 : 118–130. Bibcode : 2019AcAau.155..118B. doi : 10.1016/j.actaastro.2018.11.033. S2CID  117598888.
51. Саттон, Джон (март 1997). «Наследие Гибрата». Журнал экономической литературы . 32 (1): 40–59. JSTOR  2729692.
52. Limpert, Eckhard; Stahel, Werner A.; Abbt, Markus (2001). «Логнормальные распределения в науках: ключи и подсказки». BioScience . 51 (5): 341. doi : 10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2 . ISSN  0006-3568.
53. Бужаки, Дьёрдь; Мидзусеки, Кэндзи (2017-01-06). «Лог-динамический мозг: как перекошенные распределения влияют на сетевые операции». Nature Reviews. Neuroscience . 15 (4): 264–278. doi :10.1038/nrn3687. ISSN  1471-003X. PMC 4051294. PMID 24569488  . 
54. Павел, Собкович и др. (2013). «Логнормальное распределение длин сообщений пользователей в интернет-дискуссиях — следствие закона Вебера-Фехнера?». EPJ Data Science .
55. Инь, Пэйфэн; Ло, Пин; Ли, Ван-Чиен; Ван, Мин (2013). Молчание — тоже доказательство: интерпретация времени ожидания для рекомендации с психологической точки зрения. Международная конференция ACM по KDD.
56. «Какова средняя продолжительность игры в шахматы?». chess.stackexchange.com . Получено 14 апреля 2018 г. .
57. Хаксли, Джулиан С. (1932). Проблемы относительного роста . Лондон. ISBN 978-0-486-61114-3. OCLC  476909537.
58. Сартвелл, Филип Э. «Распределение инкубационных периодов инфекционных заболеваний». Американский журнал гигиены 51 (1950): 310-318.
59. SK Chan, Jennifer; Yu, Philip LH (2006). «Моделирование данных SARS с использованием порогового геометрического процесса». Статистика в медицине . 25 (11): 1826–1839. doi :10.1002/sim.2376. PMID  16345017. S2CID  46599163.
60. Оно, Юкитеру; Асаи, Киёси; Хамада, Мичиаки (2013-01-01). «PBSIM: PacBio читает симулятор — к точной сборке генома». Биоинформатика . 29 (1): 119–121. doi : 10.1093/bioinformatics/bts649 . ISSN  1367-4803. PMID  23129296.
61. Макуч, Роберт В.; Д. Х. Фримен; М. Ф. Джонсон (1979). «Обоснование логнормального распределения как модели для кровяного давления». Журнал хронических заболеваний . 32 (3): 245–250. doi :10.1016/0021-9681(79)90070-5. PMID  429469.
62. Лейси, Л. Ф.; Кин, О. Н.; Притчард, Дж. Ф.; Бай, А. (1997-01-01). «Обычные некомпартментные фармакокинетические переменные: распределены ли они нормально или логнормально?». Журнал биофармацевтической статистики . 7 (1): 171–178. doi : 10.1080/10543409708835177. ISSN  1054-3406. PMID  9056596.
63. Шелер, Габриэль; Шуман, Иоганн (2006-10-08). Разнообразие и стабильность в скоростях нейронного выхода . 36-е заседание Общества нейронауки, Атланта.
64. Mizuseki, Kenji; Buzsáki, György (2013-09-12). «Предварительно настроенное, асимметричное распределение частоты срабатывания в гиппокампе и энторинальной коре». Cell Reports . 4 (5): 1010–1021. doi :10.1016/j.celrep.2013.07.039. ISSN  2211-1247. PMC 3804159 . PMID  23994479. 
65. Wohrer, Adrien; Humphries, Mark D.; Machens, Christian K. (2013-04-01). «Распределение нейронной активности в популяции во время принятия перцептивных решений». Progress in Neurobiology . 103 : 156–193. doi :10.1016/j.pneurobio.2012.09.004. ISSN  1873-5118. PMC 5985929 . PMID  23123501. 
66. Шелер, Габриэль (28 июля 2017 г.). «Логарифмические распределения доказывают, что внутреннее обучение является хеббовским». F1000Research . 6 : 1222. doi : 10.12688/f1000research.12130.2 . PMC 5639933 . PMID  29071065. 
67. Моралес-Грегорио, Айтор; ван Мееген, Александр; ван Альбада, Сача (2023). «Повсеместное логнормальное распределение плотности нейронов в коре головного мозга млекопитающих». Cerebral Cortex . 33 (16): 9439–9449. doi :10.1093/cercor/bhad160. PMC 10438924 . PMID  37409647. 
68. Полицци, Стефано; Лаперруаза, Бастьен; Перес-Реше, Франциско Дж.; Николини, Франк Э.; Сатта, Вероник Магер; Арнеодо, Ален; Аргул, Франсуаза (29.05.2018). "Минимальная модель каскада разрывов для пластичности живых клеток". New Journal of Physics . 20 (5): 053057. Bibcode : 2018NJPh...20e3057P. doi : 10.1088/1367-2630/aac3c7. hdl : 2164/10561 . ISSN  1367-2630.
69. Аренс, Л. Х. (1954-02-01). «Логнормальное распределение элементов (фундаментальный закон геохимии и его дочерние законы)». Geochimica et Cosmochimica Acta . 5 (2): 49–73. Bibcode : 1954GeCoA...5...49A. doi : 10.1016/0016-7037(54)90040-X. ISSN  0016-7037.
70. Oosterbaan, RJ (1994). "6: Анализ частот и регрессии" (PDF) . В Ritzema, HP (ред.). Принципы и применение дренажа, публикация 16. Вагенинген, Нидерланды: Международный институт мелиорации и улучшения земель (ILRI). стр. 175–224. ISBN 978-90-70754-33-4.
71. CumFreq, бесплатное программное обеспечение для настройки распределения
72. Клементи, Фабио; Галлегати, Мауро (2005) «Закон Парето о распределении доходов: доказательства для Германии, Соединенного Королевства и Соединенных Штатов», EconWPA
73. Ватару, Сома (2002-02-22). «Физика личного дохода». В Такаясу, Хидеки (ред.). Эмпирическая наука финансовых колебаний: возникновение эконофизики . Springer. arXiv : cond-mat/0202388 . doi :10.1007/978-4-431-66993-7.
74. Блэк, Ф.; Шоулз, М. (1973). «Ценообразование опционов и корпоративных обязательств». Журнал политической экономии . 81 (3): 637. doi :10.1086/260062. S2CID  154552078.
75. Мандельброт, Бенуа (2004). (Неправильное) поведение рынков. Базовые книги. ISBN 9780465043552.
76. Банчен, П., Продвинутое ценообразование опционов , Учебное пособие Сиднейского университета, 2007 г.
77. Телуолл, Майк; Уилсон, Пол (2014). «Регрессия для данных цитирования: оценка различных методов». Журнал Informetrics . 8 (4): 963–971. arXiv : 1510.08877 . doi : 10.1016/j.joi.2014.09.011. S2CID  8338485.
78. Шеридан, Пол; Онодера, Таку (2020). «Парадокс предпочтительной привязанности: как предпочтительная привязанность сочетается с ростом, создавая сети с логнормальным распределением входящих степеней». Scientific Reports . 8 (1): 2811. arXiv : 1703.06645 . doi :10.1038/s41598-018-21133-2. PMC 5809396 . PMID  29434232. 
79. Eeckhout, Jan (2004). «Закон Гибрата для (всех) городов». American Economic Review . 94 (5): 1429–1451. doi :10.1257/0002828043052303. JSTOR  3592829 – через JSTOR.
80. Каулт, Дэвид (1996). «Форма распределения числа сексуальных партнеров». Статистика в медицине . 15 (2): 221–230. doi :10.1002/(SICI)1097-0258(19960130)15:2<221::AID-SIM148>3.0.CO;2-Q. PMID  8614756.
81. О'Коннор, Патрик; Клейнер, Андре (2011). Практическая надежность техники . John Wiley & Sons. стр. 35. ISBN 978-0-470-97982-2.
82. "Shadowing". www.WirelessCommunication.NL . Архивировано из оригинала 13 января 2012 года.
83. Декстер, AR; Таннер, DW (июль 1972). «Плотности упаковки смесей сфер с логнормальным распределением размеров». Nature Physical Science . 238 (80): 31–32. Bibcode :1972NPhS..238...31D. doi :10.1038/physci238031a0. ISSN  2058-1106.
84. Грос, К.; Кацор, Г.; Маркович, Д. (2012). «Нейропсихологические ограничения производства человеческих данных в глобальном масштабе». The European Physical Journal B. 85 ( 28): 28. arXiv : 1111.6849 . Bibcode : 2012EPJB...85...28G. doi : 10.1140/epjb/e2011-20581-3. S2CID  17404692.
85. Дусер, Джон Р.; Болоски, Уильям Дж. (1999-05-01). «Масштабное исследование содержимого файловой системы». Обзор оценки производительности ACM SIGMETRICS . 27 (1): 59–70. doi : 10.1145/301464.301480 . ISSN  0163-5999.
86. Аламсар, Мохаммед; Парисис, Джордж; Клегг, Ричард; Захленюк, Николай (2019). «О распределении объемов трафика в Интернете и его последствиях». arXiv : 1902.03853 [cs.NI].
87. ASTM D3654, Стандартный метод испытания на прочность адгезии при сдвиге на самоклеящейся ленте
88. ASTM D4577, Стандартный метод испытаний на сопротивление сжатию контейнера при постоянной нагрузке>\

Дальнейшее чтение

• Кроу, Эдвин Л.; Шимизу, Кунио, ред. (1988), Логнормальные распределения, теория и приложения , Статистика: учебники и монографии, т. 88, Нью-Йорк: Marcel Dekker, Inc., стр. xvi+387, ISBN 978-0-8247-7803-3, MR  0939191, Zbl  0644.62014
• Эйчисон, Дж. и Браун, Дж. А. К. (1957) Логнормальное распределение , Издательство Кембриджского университета.
• Лимперт, Э.; Стахел, В.; Эббт, М. (2001). «Логнормальные распределения в науках: ключи и подсказки». BioScience . 51 (5): 341–352. doi : 10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2 .
• Холгейт, П. (1989). "Логнормальная характеристическая функция". Communications in Statistics - Theory and Methods . 18 (12): 4539–4548. doi :10.1080/03610928908830173.
• Брукс, Роберт; Корсон, Джон; Донал, Уэльс (1994). «Ценообразование опционов на индексы, когда все базовые активы следуют логнормальному распределению». Достижения в области исследований фьючерсов и опционов . 7. SSRN  5735.

Внешние ссылки

• Нормальное распределение — это логнормальное распределение.