Кривая Лоренца

Графическое изображение распределения доходов или богатства

Типичная кривая Лоренца

В экономике кривая Лоренца является графическим представлением распределения доходов или богатства . Он был разработан Максом О. Лоренцем в 1905 году для отражения неравенства в распределении богатства .

Кривая представляет собой график , показывающий долю общего дохода или богатства, получаемого беднейшими слоями населения x %, хотя это не совсем верно для конечной численности населения (см. ниже). Он часто используется для представления распределения доходов , где для нижних x % домохозяйств он показывает, какой процент ( y %) от общего дохода они имеют. Процент домохозяйств отложен по оси X , процент доходов — по оси Y. Его также можно использовать для отображения распределения активов . При таком использовании многие экономисты считают его мерой социального неравенства .

Эта концепция полезна для описания неравенства в размерах особей в экологии ^[1] и в исследованиях биоразнообразия , где совокупная доля видов отображается в зависимости от совокупной доли особей. ^[2] Это также полезно при бизнес-моделировании : например, в потребительском финансировании , чтобы измерить фактический процент y % просрочек , относящихся к x % людей с наихудшими показателями риска . Кривые Лоренца также применялись в эпидемиологии и общественном здравоохранении , например, для измерения пандемического неравенства как распределения национальной совокупной заболеваемости (y%), создаваемой населением, проживающим на территориях (x%), ранжированных по уровню местной эпидемической заболеваемости . ^[3]

Объяснение

Вывод кривой Лоренца и коэффициента Джини для мирового дохода в 2011 г.

Данные за 2005 год.

Точки на кривой Лоренца представляют собой такие утверждения, как «20% нижних домохозяйств имеют 10% общего дохода».

Совершенно равное распределение доходов будет таким, при котором каждый человек будет иметь одинаковый доход. В этом случае нижние N % общества всегда будут иметь N % дохода. Это можно изобразить прямой линией y = x ; называется «линией совершенного равенства».

Напротив, совершенно неравномерное распределение будет таким, при котором один человек будет иметь весь доход, а все остальные его не получат. В этом случае кривая будет y = 0% для всех x < 100% и y = 100%, когда x = 100%. Эта кривая называется «линией совершенного неравенства».

Коэффициент Джини представляет собой отношение площади между линией совершенного равенства и наблюдаемой кривой Лоренца к площади между линией совершенного равенства и линией совершенного неравенства. Чем выше коэффициент, тем более неравномерным является распределение. На диаграмме справа это определяется соотношением A /( A + B ), где A и B — площади регионов, отмеченных на диаграмме.

Определение и расчет

Кривая Лоренца распределения богатства в США в 2016 году, показывающая отрицательное богатство и олигархию

Кривая Лоренца представляет собой вероятностный график ( график P – P ), сравнивающий распределение переменной с гипотетическим равномерным распределением этой переменной. Обычно его можно представить функцией L ( F ), где F , совокупная доля населения, представлена ​​горизонтальной осью, а L , совокупная часть общего богатства или дохода, представлена ​​вертикальной осью.

Кривая L не обязательно должна быть плавно возрастающей функцией F. Для распределения богатства, например, могут существовать олигархи или люди с отрицательным богатством. ^[4]

Для дискретного распределения Y, заданного значениями y ₁ , ..., y _n в неубывающем порядке ( y _i ≤ y _{i +1} ), и их вероятностей кривая Лоренца представляет собой непрерывную кусочно-линейную функцию , соединяющую точки ( F _i , L _i ), i = 0 до n , где F ₀ = 0, L ₀ = 0, и для i = 1 до n : ${\displaystyle f(y_{j}):=\Pr(Y=y_{j})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{i}&:=\sum _{j=1}^{i}f(y_{j})\\S_{i}&:=\sum _{j=1}^{i}f(y_{j})\,y_{j}\\L_{i}&:={\frac {S_{i}}{S_{n}}}\end{aligned}}}$$

Когда все y _i равновероятны с вероятностями 1/ n , это упрощается до

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{i}&={\frac {i}{n}}\\S_{i}&={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{i}\;y_{j}\\L_{i}&={\frac {S_{i}}{S_{n}}}\end{aligned}}}$$

Для непрерывного распределения с функцией плотности вероятности f и кумулятивной функцией распределения F кривая Лоренца L определяется следующим образом:

$${\displaystyle L(F(x))={\frac {\int _{-\infty }^{x}t\,f(t)\,dt}{\int _{-\infty }^{\infty }t\,f(t)\,dt}}={\frac {\int _{-\infty }^{x}t\,f(t)\,dt}{\mu }}}$$

LFxLxFx ${\displaystyle \mu }$

Альтернативно, для кумулятивной функции распределения F ( x ) с обратным x ( F ) кривая Лоренца L ( F ) напрямую определяется выражением:

$${\displaystyle L(F)={\frac {\int _{0}^{F}x(F_{1})\,dF_{1}}{\int _{0}^{1}x(F_{1})\,dF_{1}}}}$$

Обратный x ( F ) может не существовать, поскольку кумулятивная функция распределения имеет интервалы постоянных значений. Однако предыдущую формулу все же можно применить, если обобщить определение x ( F ):

$${\displaystyle x(F_{1})=\inf\{y:F(y)\geq F_{1}\}}$$

infнижняя грань

Пример кривой Лоренца см. в разделе Распределение Парето .

Характеристики

Практический пример кривой Лоренца: кривые Лоренца Дании, Венгрии и Намибии.

Кривая Лоренца всегда начинается в точке (0,0) и заканчивается в точке (1,1).

Кривая Лоренца не определена, если среднее значение распределения вероятностей равно нулю или бесконечно.

Кривая Лоренца для распределения вероятностей является непрерывной функцией . Однако кривые Лоренца, представляющие разрывные функции, могут быть построены как предел кривых Лоренца вероятностных распределений, примером может служить линия совершенного неравенства.

Информация на кривой Лоренца может быть суммирована коэффициентом Джини и коэффициентом асимметрии Лоренца . ^[1]

Кривая Лоренца не может подняться выше линии совершенного равенства.

Кривая Лоренца, которая никогда не попадает под вторую кривую Лоренца и хотя бы один раз проходит выше нее, имеет доминирование Лоренца над второй. ^[5]

Если измеряемая переменная не может принимать отрицательные значения, кривая Лоренца:

• не может опуститься ниже линии совершенного неравенства,
• повышается . _

Однако обратите внимание, что кривая Лоренца для определения собственного капитала вначале будет отрицательной из-за того, что у некоторых людей собственный капитал отрицательный из-за долгов.

Кривая Лоренца инвариантна относительно положительного масштабирования. Если X — случайная величина, то для любого положительного числа c случайная величина c X имеет ту же кривую Лоренца, что и X.

Кривая Лоренца переворачивается дважды: один раз при F = 0,5 и один раз при L = 0,5 путем отрицания. Если X — случайная величина с кривой Лоренца L _X ( F ), то — X имеет кривую Лоренца:

L _{- Икс знак} равно 1 - L _Икс (1 -  F )

Кривая Лоренца изменяется в результате трансляции так, что разрыв равенства F  -  L ( F ) изменяется пропорционально соотношению исходных и переведенных средних значений. Если X — случайная величина с кривой Лоренца L _X ( F ) и средним значением µ _X , то для любой константы c ≠ − µ _X , X + c имеет кривую Лоренца, определяемую следующим образом:

$${\displaystyle F-L_{X+c}(F)={\frac {\mu _{X}}{\mu _{X}+c}}(F-L_{X}(F))}$$

Для кумулятивной функции распределения F ( x ) со средним значением µ и (обобщенным) обратным x ( F ) тогда для любого F с 0 < F < 1 :

• Если кривая Лоренца дифференцируема:
  $${\displaystyle {\frac {dL(F)}{dF}}={\frac {x(F)}{\mu }}}$$
• Если кривая Лоренца дважды дифференцируема, то функция плотности вероятности f ( x ) существует в этой точке и:
  $${\displaystyle {\frac {d^{2}L(F)}{dF^{2}}}={\frac {1}{\mu \,f(x(F))}}\,}$$
• Если L ( F ) непрерывно дифференцируема, то касательная к L ( F ) параллельна линии совершенного равенства в точке F ( µ ). Это также точка, в которой разрыв равенства F  −  L ( F ), вертикальное расстояние между кривой Лоренца и линией идеального равенства, является наибольшим. Размер разрыва равен половине относительного среднего абсолютного отклонения :
  $${\displaystyle F(\mu )-L(F(\mu ))={\frac {\text{mean absolute deviation}}{2\,\mu }}}$$

Смотрите также

• Распространение (экономика)
• Распределение богатства
• Экономика благосостояния
• Показатели неравенства доходов
• Коэффициент Джини
• Индекс Гувера (он же индекс Робин Гуда)
• ROC-анализ
• Социальное обеспечение (политология)
• Экономическое неравенство
• Закон Ципфа
• Распределение Парето
• Среднее отклонение
• Слоновья кривая

Рекомендации

1. Дамгаард, Кристиан; Джейкоб Вайнер (2000). «Описание неравенства в размерах и плодовитости растений». Экология . 81 (4): 1139–1142. doi :10.1890/0012-9658(2000)081[1139:DIIPSO]2.0.CO;2.
2. Виттеболле, Ливен; и другие. (2009). «Первоначальная равномерность сообщества способствует функциональности в условиях избирательного стресса». Природа . 458 (7238): 623–626. Бибкод : 2009Natur.458..623W. дои : 10.1038/nature07840. PMID  19270679. S2CID  4419280.
3. Нгуен, Куанг Д.; Чанг, Шерил Л.; Джамерлан, Кристина М.; Прокопенко, Михаил (2023). «Измерение неравномерного распределения тяжести пандемии по годам переписи, варианты беспокойства и меры вмешательства». Показатели здоровья населения . 21 (17): 17. дои : 10.1186/s12963-023-00318-6 . ПМЦ 10613397 . ПМИД  37899455. 
4. Ли, Цзе; Богосян, Брюс М.; Ли, Чэнли (14 февраля 2018 г.). «Модель аффинного богатства: агентная модель обмена активами, которая допускает агентов с отрицательным богатством и ее эмпирическую проверку». arXiv : 1604.02370v2 . {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
5. Бишоп, Джон А.; Формби, Джон П.; Смит, В. Джеймс (1991). «Доминирование Лоренца и благосостояние: изменения в распределении доходов в США, 1967–1986». Обзор экономики и статистики . 73 (1): 134–139. дои : 10.2307/2109695. ISSN  0034-6535. JSTOR  2109695.

дальнейшее чтение

• Лоренц, Миссури (1905). «Методы измерения концентрации богатства». Публикации Американской статистической ассоциации . Публикации Американской статистической ассоциации, Vol. 9, № 70. 9 (70): 209–219. Бибкод : 1905PAmSA...9..209L. дои : 10.2307/2276207. JSTOR  2276207. S2CID  154048722.
• Гаствирт, Джозеф Л. (1972). «Оценка кривой Лоренца и индекса Джини». Обзор экономики и статистики . Обзор экономики и статистики, Vol. 54, № 3. 54 (3): 306–316. дои : 10.2307/1937992. JSTOR  1937992.
• Чакраварти, СР (1990). Цифры этического социального индекса . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-52274-3.
• Ананд, Судхир (1983). Неравенство и бедность в Малайзии . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-520153-1.

Внешние ссылки

• WIID. Архивировано 13 марта 2011 г. в Wayback Machine : World Income Inequality Database, источник информации о неравенстве, собранный WIDER (Всемирный институт исследований экономики развития, часть Университета Организации Объединенных Наций).
• glcurve: модуль Stata для построения кривой Лоренца (введите «findit glcurve» или «ssc install glcurve» в приглашении Stata для установки)
• Бесплатное дополнение к STATA для расчета показателей неравенства и бедности
• Бесплатное онлайн-программное обеспечение (калькулятор) рассчитывает коэффициент Джини, строит кривую Лоренца и вычисляет многие другие показатели концентрации для любого набора данных.
• Бесплатный калькулятор: онлайн- и загружаемые скрипты ( Python и Lua ) для неравенств Аткинсона, Джини и Гувера.
• Пользователи программного обеспечения для анализа данных R могут установить пакет «ineq», который позволяет рассчитывать различные индексы неравенства, включая Джини, Аткинсона, Тейла.
• Пакет MATLAB Inequality, заархивированный 4 октября 2008 г. в Wayback Machine , включая код для вычисления индексов Джини, Аткинсона, Тейла и для построения кривой Лоренца. Доступно множество примеров.
• Полный раздаточный материал о кривой Лоренца, включая различные приложения, включая электронную таблицу Excel с графиками кривых Лоренца и расчетом коэффициентов Джини, а также коэффициентов вариации.
• LORENZ 3.0 — это блокнот Mathematica , в котором рисуются образцы кривых Лоренца и рассчитываются коэффициенты Джини и коэффициенты асимметрии Лоренца на основе данных в листе Excel.