Непрерывная функция

Математическая функция без резких изменений

В математике непрерывная функция — это функция, такая, что небольшое изменение аргумента вызывает небольшое изменение значения функции . Это подразумевает, что нет резких изменений значения, известных как разрывы . Точнее, функция непрерывна, если произвольно малые изменения ее значения могут быть обеспечены ограничением достаточно малыми изменениями ее аргумента. Разрывная функция — это функция, которая не является непрерывной . До 19 века математики в значительной степени полагались на интуитивные представления о непрерывности и рассматривали только непрерывные функции. Определение предела через эпсилон-дельта было введено для формализации определения непрерывности.

Непрерывность — одно из основных понятий исчисления и математического анализа , где аргументами и значениями функций являются действительные и комплексные числа. Понятие было обобщено на функции между метрическими пространствами и между топологическими пространствами. Последние являются наиболее общими непрерывными функциями, и их определение является основой топологии .

Более сильная форма непрерывности — равномерная непрерывность . В теории порядка , особенно в теории доменов , родственной концепцией непрерывности является непрерывность Скотта .

Например, функция H ( t ), обозначающая высоту растущего цветка в момент времени t, будет считаться непрерывной. Напротив, функция M ( t ), обозначающая сумму денег на банковском счете в момент времени t, будет считаться прерывистой, поскольку она «прыгает» в каждый момент времени, когда деньги вносятся или снимаются.

История

Форма определения непрерывности через эпсилон–дельта была впервые дана Бернардом Больцано в 1817 году. Огюстен-Луи Коши определил непрерывность следующим образом: бесконечно малое приращение независимой переменной x всегда производит бесконечно малое изменение зависимой переменной y (см., например, Cours d'Analyse , стр. 34). Коши определил бесконечно малые величины в терминах переменных величин, и его определение непрерывности близко соответствует определению бесконечно малых величин, используемому сегодня (см. микронепрерывность ). Формальное определение и различие между точечной непрерывностью и равномерной непрерывностью были впервые даны Больцано в 1830-х годах, но работа была опубликована только в 1930-х годах. Как и Больцано, ^[1] Карл Вейерштрасс ^[2] отрицал непрерывность функции в точке c, если она не была определена в точке c и по обе стороны от нее , но Эдуард Гурса ^[3] допускал определение функции только в точке c и по одну сторону от нее , а Камиль Жордан ^[4] допускал ее даже в том случае, если функция была определена только в точке c . Все три этих неэквивалентных определения поточечной непрерывности используются до сих пор. ^[5] Эдуард Гейне дал первое опубликованное определение равномерной непрерывности в 1872 году, но основывал эти идеи на лекциях, прочитанных Петером Густавом Леженом Дирихле в 1854 году. ^[6] ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$

Действительные функции

Определение

Функция непрерывна в своей области определения ( ), но разрывна в точке , если рассматривать ее как частичную функцию, определенную на действительных числах. ^[7] . ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle x=0,}$

Действительная функция , которая является функцией от действительных чисел к действительным числам, может быть представлена ​​графиком в декартовой плоскости ; такая функция непрерывна, если, грубо говоря, график представляет собой одну непрерывную кривую, областью определения которой является вся вещественная прямая. Более математически строгое определение дано ниже. ^[8]

Непрерывность действительных функций обычно определяется в терминах пределов . Функция f с переменной x непрерывна при действительном числе c , если предел при x, стремящемся к c , равен ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle f(c).}$

Существует несколько различных определений (глобальной) непрерывности функции, которые зависят от природы ее области определения .

Функция непрерывна на открытом интервале , если интервал содержится в области определения функции и функция непрерывна в каждой точке интервала. Функцию, непрерывную на интервале (вся вещественная прямая ), часто называют просто непрерывной функцией; говорят также, что такая функция непрерывна всюду . Например, все полиномиальные функции непрерывны всюду. ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

Функция непрерывна на полуоткрытом или замкнутом интервале; если интервал содержится в области определения функции, функция непрерывна в каждой внутренней точке интервала, а значение функции в каждой конечной точке, принадлежащей интервалу, является пределом значений функции, когда переменная стремится к конечной точке из внутренней части интервала. Например, функция непрерывна на всей своей области определения, которая является замкнутым интервалом ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle [0,+\infty ).}$

Многие часто встречающиеся функции являются частичными функциями, которые имеют область определения, образованную всеми действительными числами, за исключением некоторых изолированных точек . Примерами являются обратная функция и функция касательной. Когда они непрерывны в своей области определения, в некоторых контекстах говорят, что они непрерывны, хотя они не непрерывны везде. В других контекстах, в основном, когда интересуются их поведением вблизи исключительных точек, говорят, что они разрывны. ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x\mapsto \tan x.}$

Частичная функция разрывна в точке , если точка принадлежит топологическому замыканию ее области определения, и либо точка не принадлежит области определения функции, либо функция не является непрерывной в точке. Например, функции и разрывны в точке 0 и остаются разрывными, какое бы значение ни было выбрано для их определения в точке 0. Точка, в которой функция разрывна, называется точкой разрыва . ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ ${\textstyle x\mapsto \sin({\frac {1}{x}})}$

Используя математическую нотацию, существует несколько способов определения непрерывных функций в трех смыслах, упомянутых выше.

Пусть — функция, определенная на подмножестве множества действительных чисел. $${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Это подмножество является областью f . Некоторые возможные варианты включают ${\displaystyle D}$

• ${\displaystyle D=\mathbb {R} }$: т.е. это весь набор действительных чисел. или, для действительных чисел a и b , ${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle D=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}$: является замкнутым интервалом , или ${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle D=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}}$: открытый интервал . ${\displaystyle D}$

В случае, когда область определяется как открытый интервал, и не принадлежат , а значения и не имеют значения для непрерывности на . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$ ${\displaystyle D}$

Определение в терминах пределов функций

Функция f непрерывна в некоторой точке c своей области определения, если предел при приближении x к c через область определения f существует и равен ^[9] В математической нотации это записывается как Подробно это означает три условия: во-первых, f должна быть определена в c (гарантируется требованием, чтобы c находилась в области определения f ). Во-вторых, предел этого уравнения должен существовать. В-третьих, значение этого предела должно быть равно ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle f(c).}$ $${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=f(c).}$$ ${\displaystyle f(c).}$

(Здесь мы предположили, что область определения f не имеет изолированных точек .)

Определение в терминах микрорайонов

Окрестность точки c — это множество, которое содержит, по крайней мере, все точки в пределах некоторого фиксированного расстояния от c . Интуитивно, функция непрерывна в точке c , если область действия f в окрестности c сжимается до одной точки , когда ширина окрестности вокруг c сжимается до нуля. Точнее, функция f непрерывна в точке c своей области определения, если для любой окрестности существует окрестность в ее области определения, такая, что всякий раз, когда ${\displaystyle f(c)}$ ${\displaystyle N_{1}(f(c))}$ ${\displaystyle N_{2}(c)}$ ${\displaystyle f(x)\in N_{1}(f(c))}$ ${\displaystyle x\in N_{2}(c).}$

Поскольку окрестности определены в любом топологическом пространстве , это определение непрерывной функции применимо не только для действительных функций, но также и тогда, когда область и кодомен являются топологическими пространствами , и, таким образом, является наиболее общим определением. Из этого следует, что функция автоматически непрерывна в каждой изолированной точке своей области. Например, каждая действительнозначная функция на целых числах непрерывна.

Определение в терминах пределов последовательностей

Последовательность exp(1/ n ) сходится к exp(0) = 1

Вместо этого можно потребовать, чтобы для любой последовательности точек в области, которая сходится к c , соответствующая последовательность сходилась к В математической нотации, ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left(f(x_{n})\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f(c).}$ $${\displaystyle \forall (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset D:\lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)\,.}$$

Определения Вейерштрасса и Жордана (эпсилон–дельта) непрерывных функций

Иллюстрация определения ε - δ : при x = 2 любое значение δ ≤ 0,5 удовлетворяет условию определения для ε = 0,5 .

Явно включив определение предела функции, мы получаем замкнутое определение: если задана функция , как указано выше, и элемент области определения , то говорят, что она непрерывна в точке , когда выполняется следующее: для любого положительного действительного числа , каким бы малым оно ни было, существует некоторое положительное действительное число, такое что для всех в области определения со значением удовлетворяет условию ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta ,}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-\varepsilon <f(x)<f(x_{0})+\varepsilon .}$$

Другими словами, непрерывность при означает, что для каждого существует такое , что для всех : ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in D}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x\in D}$ $${\displaystyle \left|x-x_{0}\right|<\delta ~~{\text{ implies }}~~|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}$$

Более интуитивно можно сказать, что если мы хотим, чтобы все значения оставались в некоторой небольшой окрестности вокруг, нам нужно выбрать достаточно малую окрестность для значений вокруг. Если мы можем это сделать, независимо от того, насколько мала окрестность, то непрерывна в ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle f(x_{0})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

В современных терминах это обобщается определением непрерывности функции относительно базиса топологии , в данном случае метрической топологии .

Вейерштрасс требовал, чтобы интервал полностью находился в пределах области определения , но Йордан снял это ограничение. ${\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta }$ ${\displaystyle D}$

Определение с точки зрения контроля остатка

В доказательствах и численном анализе нам часто нужно знать, как быстро сходятся пределы, или, другими словами, контролировать остаток. Мы можем формализовать это в определение непрерывности. Функция называется функцией управления, если ${\displaystyle C:[0,\infty )\to [0,\infty ]}$

• C не убывает
• ${\displaystyle \inf _{\delta >0}C(\delta )=0}$

Функция C - непрерывна в точке , если существует такая окрестность , что ${\displaystyle f:D\to R}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\textstyle N(x_{0})}$ $${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|\leq C\left(\left|x-x_{0}\right|\right){\text{ for all }}x\in D\cap N(x_{0})}$$

Функция непрерывна в , если она C -непрерывна для некоторой функции управления C . ${\displaystyle x_{0}}$

Этот подход естественным образом приводит к уточнению понятия непрерывности путем ограничения набора допустимых функций управления. Для заданного набора функций управления функция является -непрерывной, если она -непрерывна для некоторого Например, непрерывные по Липшицу и Гёльдеру функции показателя α ниже определяются набором функций управления соответственно ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {Lipschitz} }=\{C:C(\delta )=K|\delta |,\ K>0\}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}_{{\text{Hölder}}-\alpha }=\{C:C(\delta )=K|\delta |^{\alpha },\ K>0\}.}$$

Определение с использованием колебания

Ненепрерывность функции в некоторой точке количественно определяется ее колебанием .

Непрерывность также можно определить в терминах колебания : функция f непрерывна в точке тогда и только тогда, когда ее колебание в этой точке равно нулю; ^[10] в символах: Преимущество этого определения в том, что оно количественно определяет разрыв: колебание показывает, насколько функция разрывна в точке. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=0.}$

Это определение полезно в описательной теории множеств для изучения множества разрывов и непрерывных точек — непрерывные точки являются пересечением множеств, где колебание меньше (следовательно, множество ), — и дает быстрое доказательство одного направления условия интегрируемости Лебега . ^[11] ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle G_{\delta }}$

Колебание эквивалентно определению путем простой перестановки и использования предела ( lim sup , lim inf ) для определения колебания: если (в заданной точке) для данного не существует , удовлетворяющего определению, то колебание по крайней мере и наоборот, если для каждого существует требуемое , колебание равно 0. Определение колебания можно естественным образом обобщить на отображения из топологического пространства в метрическое пространство . ${\displaystyle \varepsilon -\delta }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon -\delta }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0},}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta ,}$

Определение с использованием гиперреалов

Коши определил непрерывность функции в следующих интуитивных терминах: бесконечно малое изменение независимой переменной соответствует бесконечно малому изменению зависимой переменной (см. Cours d'analyse , стр. 34). Нестандартный анализ — это способ сделать это математически строгим. Действительная линия дополняется добавлением бесконечных и бесконечно малых чисел для формирования гипердействительных чисел . В нестандартном анализе непрерывность можно определить следующим образом.

Действительная функция f непрерывна в точке x, если ее естественное расширение до гиперреальных чисел обладает тем свойством, что для всех бесконечно малых dx функция f является бесконечно малой ^[12] ${\displaystyle f(x+dx)-f(x)}$

(см. микронепрерывность ). Другими словами, бесконечно малое приращение независимой переменной всегда вызывает бесконечно малое изменение зависимой переменной, давая современное выражение определению непрерывности Огюстена-Луи Коши .

Построение непрерывных функций

График кубической функции не имеет скачков и дырок. Функция непрерывна.

Проверку непрерывности данной функции можно упростить, проверив одно из вышеприведенных определяющих свойств для строительных блоков данной функции. Несложно показать, что сумма двух функций, непрерывных в некоторой области, также непрерывна в этой области. Если тогда сумма непрерывных функций (определенных как для всех ) непрерывна в $${\displaystyle f,g\colon D\to \mathbb {R} ,}$$ $${\displaystyle s=f+g}$$ ${\displaystyle s(x)=f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle x\in D}$ ${\displaystyle D.}$

То же самое справедливо для произведения непрерывных функций ( определенных как для всех ), непрерывно по $${\displaystyle p=f\cdot g}$$ ${\displaystyle p(x)=f(x)\cdot g(x)}$ ${\displaystyle x\in D}$ ${\displaystyle D.}$

Объединяя приведенные выше сохранения непрерывности и непрерывности постоянных функций и тождественной функции на , приходим к непрерывности всех полиномиальных функций на , например (на рисунке справа). ${\displaystyle I(x)=x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3}$$

График непрерывной рациональной функции . Функция не определена для Вертикальная и горизонтальная линии являются асимптотами . ${\displaystyle x=-2.}$

Таким же образом можно показать, что обратная величина непрерывной функции (определенной как для всех таких, что ) непрерывна по $${\displaystyle r=1/f}$$ ${\displaystyle r(x)=1/f(x)}$ ${\displaystyle x\in D}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ ${\displaystyle D\setminus \{x:f(x)=0\}.}$

Это означает, что, исключая корни частного непрерывных функций (определенных как для всех , таких что ), также непрерывно на . ${\displaystyle g,}$ $${\displaystyle q=f/g}$$ ${\displaystyle q(x)=f(x)/g(x)}$ ${\displaystyle x\in D}$ ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ ${\displaystyle D\setminus \{x:g(x)=0\}}$

Например, функция (на рисунке) определена для всех действительных чисел и непрерывна в каждой такой точке. Таким образом, это непрерывная функция. Вопрос о непрерывности в не возникает, так как не входит в область Не существует непрерывной функции , которая согласуется с для всех $${\displaystyle y(x)={\frac {2x-1}{x+2}}}$$ ${\displaystyle x\neq -2}$ ${\displaystyle x=-2}$ ${\displaystyle x=-2}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y(x)}$ ${\displaystyle x\neq -2.}$

Функции sinc и cos

Поскольку функция синуса непрерывна для всех действительных чисел, функция sinc определена и непрерывна для всех действительных чисел. Однако, в отличие от предыдущего примера, G можно расширить до непрерывной функции для всех действительных чисел, определив значение как 1, что является пределом, когда x стремится к 0, т. е. ${\displaystyle G(x)=\sin(x)/x,}$ ${\displaystyle x\neq 0.}$ ${\displaystyle G(0)}$ ${\displaystyle G(x),}$ $${\displaystyle G(0)=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}$$

Таким образом, установив

${\displaystyle G(x)={\begin{cases}{\frac {\sin(x)}{x}}&{\text{ if }}x\neq 0\\1&{\text{ if }}x=0,\end{cases}}}$

sinc-функция становится непрерывной функцией на всех действительных числах. Термин устранимая особенность используется в таких случаях, когда (пере)определение значений функции для совпадения с соответствующими пределами делает функцию непрерывной в определенных точках.

Более сложная конструкция непрерывных функций — это композиция функций . Для двух непрерывных функций их композиция, обозначаемая как и определяемая как , непрерывна. $${\displaystyle g:D_{g}\subseteq \mathbb {R} \to R_{g}\subseteq \mathbb {R} \quad {\text{ and }}\quad f:D_{f}\subseteq \mathbb {R} \to R_{f}\subseteq D_{g},}$$ ${\displaystyle c=g\circ f:D_{f}\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle c(x)=g(f(x)),}$

Эта конструкция позволяет, например, утверждать, что является непрерывной для всех $${\displaystyle e^{\sin(\ln x)}}$$ ${\displaystyle x>0.}$

Примеры разрывных функций

График функции signum. Он показывает, что . Таким образом, функция signum разрывна в точке 0 (см. раздел 2.1.3). ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {sgn} \left({\tfrac {1}{n}}\right)\neq \operatorname {sgn} \left(\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}\right)}$

Примером разрывной функции является ступенчатая функция Хевисайда , определяемая как ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\geq 0\\0&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$$

Возьмем, к примеру . Тогда нет -окрестности вокруг , т.е. нет открытого интервала с , который заставит все значения находиться в -окрестности , т.е. в пределах . Интуитивно мы можем думать об этом типе разрыва как о внезапном скачке значений функции. ${\displaystyle \varepsilon =1/2}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle (-\delta ,\;\delta )}$ ${\displaystyle \delta >0,}$ ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle H(0)}$ ${\displaystyle (1/2,\;3/2)}$

Аналогично, функция signum или sign разрывна в точке , но непрерывна везде, кроме . Еще один пример: функция непрерывна везде, кроме . $${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}\;\;\ 1&{\text{ if }}x>0\\\;\;\ 0&{\text{ if }}x=0\\-1&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin \left(x^{-2}\right)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x=0}$

Точечный график функции Тома на интервале (0,1). Самая верхняя точка в середине показывает f(1/2) = 1/2.

Помимо правдоподобных непрерывностей и разрывов, подобных вышеприведенным, существуют также функции с поведением, часто называемым патологическим , например, функция Тома непрерывна для всех иррациональных чисел и разрывна для всех рациональных чисел. В том же духе функция Дирихле , индикаторная функция для множества рациональных чисел, нигде не является непрерывной. $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x=0\\{\frac {1}{q}}&{\text{ if }}x={\frac {p}{q}}{\text{(in lowest terms) is a rational number}}\\0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational}}.\end{cases}}}$$ $${\displaystyle D(x)={\begin{cases}0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational }}(\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\\1&{\text{ if }}x{\text{ is rational }}(\in \mathbb {Q} )\end{cases}}}$$

Характеристики

Полезная лемма

Пусть — функция, непрерывная в точке , а — значение такое, что Тогда в некоторой окрестности ^[13] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)\neq y_{0}.}$ ${\displaystyle f(x)\neq y_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

Доказательство: По определению непрерывности возьмем , тогда существует такое, что Предположим, что в окрестности есть точка , для которой тогда имеем противоречие ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {|y_{0}-f(x_{0})|}{2}}>0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ $${\displaystyle \left|f(x)-f(x_{0})\right|<{\frac {\left|y_{0}-f(x_{0})\right|}{2}}\quad {\text{ whenever }}\quad |x-x_{0}|<\delta }$$ ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$ ${\displaystyle f(x)=y_{0};}$ $${\displaystyle \left|f(x_{0})-y_{0}\right|<{\frac {\left|f(x_{0})-y_{0}\right|}{2}}.}$$

Теорема о промежуточном значении

Теорема о промежуточном значении — это теорема существования , основанная на свойстве полноты действительных чисел , и утверждает:

Если действительная функция f непрерывна на замкнутом интервале и k — некоторое число между и , то существует некоторое число такое, что ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b),}$ ${\displaystyle c\in [a,b],}$ ${\displaystyle f(c)=k.}$

Например, если ребенок вырастает с 1 м до 1,5 м в возрасте от двух до шести лет, то в какой-то момент в возрасте от двух до шести лет рост ребенка должен был составить 1,25 м.

Как следствие, если f непрерывна на и и отличается знаком , то в какой-то точке должна равняться нулю . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$ ${\displaystyle c\in [a,b],}$ ${\displaystyle f(c)}$

Теорема об экстремальном значении

Теорема об экстремальном значении утверждает, что если функция f определена на замкнутом интервале (или любом замкнутом и ограниченном множестве) и непрерывна там, то функция достигает своего максимума, т. е. существует при для всех То же самое верно и для минимума f . Эти утверждения, вообще говоря, не верны, если функция определена на открытом интервале (или любом множестве, которое не является одновременно замкнутым и ограниченным), как, например, непрерывная функция, определенная на открытом интервале (0,1), не достигает максимума, будучи неограниченной сверху. ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle c\in [a,b]}$ ${\displaystyle f(c)\geq f(x)}$ ${\displaystyle x\in [a,b].}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}},}$

Отношение к дифференцируемости и интегрируемости

Каждая дифференцируемая функция непрерывна, как можно показать. Обратное не верно: например, функция абсолютного значения $${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$$

${\displaystyle f(x)=|x|={\begin{cases}\;\;\ x&{\text{ if }}x\geq 0\\-x&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$

всюду непрерывна. Однако она не дифференцируема в (но везде в остальном). Функция Вейерштрасса также всюду непрерывна, но нигде не дифференцируема. ${\displaystyle x=0}$

Производная f′ ( x ) дифференцируемой функции f ( x ) не обязательно должна быть непрерывной. Если f′ ( x ) непрерывна, то f ( x ) называется непрерывно дифференцируемой . Множество таких функций обозначается В более общем смысле, множество функций (из открытого интервала (или открытого подмножества ) до действительных чисел) таких, что f дифференцируема во много раз и таких, что -я производная f непрерывна, обозначается См. класс дифференцируемости . В области компьютерной графики свойства, связанные (но не идентичные) с , иногда называют (непрерывность положения), (непрерывность касания) и (непрерывность кривизны); см. Гладкость кривых и поверхностей . ${\displaystyle C^{1}((a,b)).}$ $${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C^{n}(\Omega ).}$ ${\displaystyle C^{0},C^{1},C^{2}}$ ${\displaystyle G^{0}}$ ${\displaystyle G^{1}}$ ${\displaystyle G^{2}}$

Каждая непрерывная функция интегрируема (например , в смысле интеграла Римана ). Обратное утверждение неверно, как показывает (интегрируемая, но разрывная) функция знака . $${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$$

Точечные и равномерные пределы

Последовательность непрерывных функций , предельная функция (по точкам) которой разрывна. Сходимость неравномерна. ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Если задана последовательность функций, предел которой существует для всех , то полученная функция называется точечным пределом последовательности функций. Функция точечного предела не обязательно должна быть непрерывной, даже если все функции непрерывны, как показывает анимация справа. Однако f непрерывна, если все функции непрерывны и последовательность сходится равномерно , по теореме о равномерной сходимости . Эту теорему можно использовать для того, чтобы показать, что показательные функции , логарифмы , функция квадратного корня и тригонометрические функции непрерывны. $${\displaystyle f_{1},f_{2},\dotsc :I\to \mathbb {R} }$$ $${\displaystyle f(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$$ ${\displaystyle x\in D,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n\in N}.}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$

Направленная непрерывность

• 
  Непрерывная справа функция
• 
  Непрерывная слева функция

Разрывные функции могут быть разрывными ограниченным образом, что приводит к концепции направленной непрерывности (или непрерывных справа и слева функций) и полунепрерывности . Грубо говоря, функция непрерывна справа , если при приближении к предельной точке справа не происходит скачка. Формально говорят, что f непрерывна справа в точке c, если выполняется следующее: Для любого числа, сколь бы малым оно ни было, существует некоторое число такое, что для всех x в области со значением будет удовлетворять ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle c<x<c+\delta ,}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon .}$$

Это то же самое условие, что и для непрерывных функций, за исключением того, что оно должно выполняться только для x, строго больших, чем c . Требование его для всех x с приводит к понятию лево-непрерывных функций. Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она одновременно непрерывна и справа, и слева. ${\displaystyle c-\delta <x<c}$

Полунепрерывность

Функция f является полунепрерывной снизу, если, грубо говоря, любые скачки, которые могут произойти, идут только вниз, но не вверх. То есть, для любого существует некоторое число такое, что для всех x в области со значением удовлетворяет Обратное условие — полунепрерывность сверху . ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle |x-c|<\delta ,}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f(x)\geq f(c)-\epsilon .}$$

Непрерывные функции между метрическими пространствами

Концепция непрерывных вещественных функций может быть обобщена на функции между метрическими пространствами . Метрическое пространство — это множество, снабженное функцией (называемой метрикой ) , которую можно рассматривать как измерение расстояния любых двух элементов в X . Формально метрика — это функция , удовлетворяющая ряду требований, в частности неравенству треугольника . Если заданы два метрических пространства и и функция , то она непрерывна в точке (относительно заданных метрик), если для любого положительного вещественного числа существует положительное вещественное число такое, что все удовлетворяющие также удовлетворяют Как и в случае вещественных функций выше, это эквивалентно условию, что для каждой последовательности в с пределом мы имеем Последнее условие можно ослабить следующим образом: она непрерывна в точке тогда и только тогда, когда для каждой сходящейся последовательности в с пределом последовательность является последовательностью Коши и находится в области определения . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{X},}$ $${\displaystyle d_{X}:X\times X\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$ ${\displaystyle \left(Y,d_{Y}\right)}$ $${\displaystyle f:X\to Y}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c\in X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle d_{X}(x,c)<\delta }$ ${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(c))<\varepsilon .}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim x_{n}=c,}$ ${\displaystyle \lim f\left(x_{n}\right)=f(c).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$

Множество точек, в которых функция между метрическими пространствами непрерывна, является множеством —  это следует из определения непрерывности. ${\displaystyle G_{\delta }}$ ${\displaystyle \varepsilon -\delta }$

Это понятие непрерывности применяется, например, в функциональном анализе . Ключевое утверждение в этой области гласит, что линейный оператор между нормированными векторными пространствами и (которые являются векторными пространствами, снабженными совместимой нормой , обозначаемой ) является непрерывным тогда и только тогда, когда он ограничен , то есть существует константа такая, что для всех $${\displaystyle T:V\to W}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \|x\|}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \|T(x)\|\leq K\|x\|}$$ ${\displaystyle x\in V.}$

Равномерная, непрерывность по Гёльдеру и Липшицу

Для функции Липшица существует двойной конус (показан белым цветом), вершина которого может быть перемещена вдоль графика так, что график всегда остается полностью вне конуса.

Концепция непрерывности для функций между метрическими пространствами может быть усилена различными способами, ограничивая способ, которым зависит от и c в определении выше. Интуитивно, функция f , как указано выше, равномерно непрерывна, если не зависит от точки c . Точнее, требуется, чтобы для каждого действительного числа существовало такое, что для каждого с имеем Таким образом, любая равномерно непрерывная функция является непрерывной. Обратное, как правило, не выполняется, но выполняется, когда пространство области X компактно . Равномерно непрерывные отображения могут быть определены в более общей ситуации равномерных пространств . ^[14] ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle c,b\in X}$ ${\displaystyle d_{X}(b,c)<\delta ,}$ ${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))<\varepsilon .}$

Функция непрерывна по Гёльдеру с показателем α (действительное число), если существует константа K такая, что для всех выполняется неравенство . Любая непрерывная по Гёльдеру функция равномерно непрерывна. Частный случай называется непрерывностью по Липшицу . То есть функция непрерывна по Липшицу, если существует константа K такая, что неравенство выполняется для любых ^[15] Условие Липшица встречается, например, в теореме Пикара–Линделёфа относительно решений обыкновенных дифференциальных уравнений . ${\displaystyle b,c\in X,}$ $${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot (d_{X}(b,c))^{\alpha }}$$ ${\displaystyle \alpha =1}$ $${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot d_{X}(b,c)}$$ ${\displaystyle b,c\in X.}$

Непрерывные функции между топологическими пространствами

Другое, более абстрактное понятие непрерывности — это непрерывность функций между топологическими пространствами , в которых, как правило, нет формального понятия расстояния, как в случае метрических пространств . Топологическое пространство — это множество X вместе с топологией на X , которая является множеством подмножеств X , удовлетворяющих нескольким требованиям относительно их объединений и пересечений, которые обобщают свойства открытых шаров в метрических пространствах, при этом позволяя говорить об окрестностях данной точки. Элементы топологии называются открытыми подмножествами X ( относительно топологии).

Функция между двумя топологическими пространствами X и Y непрерывна, если для каждого открытого множества прообраз является открытым подмножеством X. То есть f является функцией между множествами X и Y (не на элементах топологии ), но непрерывность f зависит от топологий, используемых на X и Y. $${\displaystyle f:X\to Y}$$ ${\displaystyle V\subseteq Y,}$ $${\displaystyle f^{-1}(V)=\{x\in X\;|\;f(x)\in V\}}$$ ${\displaystyle T_{X}}$

Это эквивалентно условию, что прообразы замкнутых множеств ( являющихся дополнениями открытых подмножеств) в Y замкнуты в X.

Крайний пример: если множеству X задана дискретная топология (в которой каждое подмножество открыто), то все функции для любого топологического пространства T непрерывны. С другой стороны, если X снабжено недискретной топологией (в которой единственными открытыми подмножествами являются пустое множество и X ), а пространство T не меньше T , то единственными непрерывными функциями являются постоянные функции. И наоборот, любая функция, область значений которой недискретна, непрерывна. $${\displaystyle f:X\to T}$$

Непрерывность в точке

Непрерывность в точке: Для каждой окрестности V точки x существует окрестность U точки x такая, что ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq V}$

Перевод на язык окрестностей определения непрерывности приводит к следующему определению непрерывности в точке: ${\displaystyle (\varepsilon ,\delta )}$

Функция непрерывна в точке тогда и только тогда , когда для любой окрестности V в Y существует окрестность U такая , что ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq V.}$

Это определение эквивалентно тому же утверждению, но с ограничениями на открытые окрестности, и его можно переформулировать несколькими способами, используя прообразы вместо образов.

Кроме того, поскольку каждое множество, содержащее окрестность, также является окрестностью и представляет собой наибольшее подмножество U множества X , это определение можно упростить до: ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq V,}$

Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда является окрестностью для каждой окрестности V в Y . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$

Поскольку открытое множество — это множество, являющееся окрестностью всех своих точек, функция непрерывна в каждой точке X тогда и только тогда, когда она является непрерывной функцией. ${\displaystyle f:X\to Y}$

Если X и Y — метрические пространства, то эквивалентно рассматривать систему окрестностей открытых шаров с центрами в x и f ( x ) вместо всех окрестностей. Это возвращает приведенное выше определение непрерывности в контексте метрических пространств. В общих топологических пространствах нет понятия близости или расстояния. Если, однако, целевое пространство — хаусдорфово пространство , то все равно верно, что f непрерывна в a тогда и только тогда, когда предел f при приближении x к a равен f ( a ). В изолированной точке каждая функция непрерывна. ${\displaystyle \varepsilon -\delta }$

При условии , что отображение непрерывно в тогда и только тогда, когда всякий раз, когда есть фильтр на , который сходится к в , который выражается записью то обязательно в Если обозначает фильтр окрестности в , то непрерывно в тогда и только тогда, когда в ^[16] Более того, это происходит тогда и только тогда, когда предварительный фильтр является базой фильтра для фильтра окрестности в ^[16] ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x,}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))\to f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$

Альтернативные определения

Существует несколько эквивалентных определений топологической структуры ; таким образом, существует несколько эквивалентных способов определения непрерывной функции.

Последовательности и сети

В нескольких контекстах топология пространства удобно задается в терминах предельных точек . Это часто достигается указанием того, когда точка является пределом последовательности . Тем не менее, для некоторых пространств, которые в некотором смысле слишком велики, также указывается, когда точка является пределом более общих наборов точек, индексированных направленным набором , известных как сети . Функция является (по Гейне)непрерывной, только если она переводит пределы последовательностей в пределы последовательностей. В первом случае сохранение пределов также достаточно; во втором случае функция может сохранять все пределы последовательностей, но все еще не быть непрерывной, и сохранение сетей является необходимым и достаточным условием.

В деталях, функция является последовательно непрерывной , если всякий раз, когда последовательность в сходится к пределу, последовательность сходится к Таким образом, последовательно непрерывные функции «сохраняют последовательные пределы». Каждая непрерывная функция является последовательно непрерывной. Если является пространством с первой аксиомой счетности и счетный выбор имеет место, то обратное также имеет место: любая функция, сохраняющая последовательные пределы, является непрерывной. В частности, если является метрическим пространством, последовательная непрерывность и непрерывность эквивалентны. Для пространств, не являющихся пространством с первой аксиомой счетности, последовательная непрерывность может быть строго слабее непрерывности. (Пространства, для которых эти два свойства эквивалентны, называются последовательными пространствами .) Это мотивирует рассмотрение сетей вместо последовательностей в общих топологических пространствах. Непрерывные функции сохраняют пределы сетей, и это свойство характеризует непрерывные функции. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}$ ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Например, рассмотрим случай действительных функций одной действительной переменной: ^[17]

Теорема  —  Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она последовательно непрерывна в этой точке. ${\displaystyle f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$

Определения оператора закрытия и внутреннего оператора

В терминах внутреннего оператора функция между топологическими пространствами непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого подмножества ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle B\subseteq Y,}$ $${\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {int} _{Y}B\right)~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(f^{-1}(B)\right).}$$

В терминах оператора замыкания , является непрерывным тогда и только тогда, когда для каждого подмножества То есть, если любой заданный элемент , принадлежащий замыканию подмножества, обязательно принадлежит замыканию в Если мы заявляем, что точка близка к подмножеству , если то эта терминология позволяет описать непрерывность на простом английском языке : является непрерывным тогда и только тогда, когда для каждого подмножества отображает точки, которые близки к в точки, которые близки к Аналогично, является непрерывным в фиксированной заданной точке тогда и только тогда, когда всякий раз, когда является близким к подмножеству , то является близким к ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ $${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{Y}(f(A)).}$$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(A).}$

Вместо того, чтобы определять топологические пространства их открытыми подмножествами , любая топология на может быть альтернативно определена оператором замыкания или внутренним оператором . В частности, отображение, которое отправляет подмножество топологического пространства в его топологическое замыкание, удовлетворяет аксиомам замыкания Куратовского . Наоборот, для любого оператора замыкания существует уникальная топология на (в частности, ) такая, что для каждого подмножества равно топологическому замыканию в Если множества и связаны с операторами замыкания (оба обозначаются ), то отображение непрерывно тогда и только тогда, когда для каждого подмножества ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$ ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {cl} A}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau :=\{X\setminus \operatorname {cl} A:A\subseteq X\}}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau )}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(\operatorname {cl} A)\subseteq \operatorname {cl} (f(A))}$ ${\displaystyle A\subseteq X.}$

Аналогично, отображение, которое отправляет подмножество в его топологическую внутренность, определяет внутренний оператор . Наоборот, любой внутренний оператор индуцирует уникальную топологию на (в частности, ) такую, что для каждого равно топологической внутренности в Если множества и каждое связано с внутренними операторами (оба обозначаются ), то отображение непрерывно тогда и только тогда, когда для каждого подмножества ^[18] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A}$ ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {int} A}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau :=\{\operatorname {int} A:A\subseteq X\}}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} A}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{(X,\tau )}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {int} }$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {int} B)\subseteq \operatorname {int} \left(f^{-1}(B)\right)}$ ${\displaystyle B\subseteq Y.}$

Фильтры и предварительные фильтры

Непрерывность также можно охарактеризовать в терминах фильтров . Функция непрерывна тогда и только тогда, когда всякий раз, когда фильтр на сходится в к точке , то предварительный фильтр сходится в к Эта характеристика остается верной, если слово «фильтр» заменить на «предварительный фильтр». ^[16] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(x).}$

Характеристики

Если и непрерывны, то непрерывна и композиция. Если непрерывны и ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle g\circ f:X\to Z.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

• X компактно , тогда f ( X ) компактно.
• X связен , тогда f ( X ) связен.
• X линейно связен , тогда f ( X ) линейно связен.
• X — Линделеф , тогда f ( X ) — Линделеф.
• X сепарабельно , тогда f ( X ) сепарабельно.

Возможные топологии на фиксированном множестве X частично упорядочены : топология называется более грубой, чем другая топология (обозначение: ), если каждое открытое подмножество относительно также открыто относительно Тогда тождественное отображение непрерывно тогда и только тогда, когда (см. также сравнение топологий ). В более общем смысле, непрерывная функция остается непрерывной, если топология заменяется более грубой топологией и/или заменяется более тонкой топологией . ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}.}$ $${\displaystyle \operatorname {id} _{X}:\left(X,\tau _{2}\right)\to \left(X,\tau _{1}\right)}$$ ${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$ $${\displaystyle \left(X,\tau _{X}\right)\to \left(Y,\tau _{Y}\right)}$$ ${\displaystyle \tau _{Y}}$ ${\displaystyle \tau _{X}}$

Гомеоморфизмы

Симметричным к концепции непрерывного отображения является открытое отображение , для которого образы открытых множеств открыты. Если открытое отображение f имеет обратную функцию , то эта обратная функция непрерывна, а если непрерывное отображение g имеет обратную функцию, то эта обратная функция открыта. Если задана биективная функция f между двумя топологическими пространствами, то обратная функция не обязана быть непрерывной. Биективная непрерывная функция с непрерывной обратной функцией называется гомеоморфизмом . ${\displaystyle f^{-1}}$

Если непрерывная биекция имеет своей областью определения компактное пространство и ее область определения хаусдорфова , то она является гомеоморфизмом.

Определение топологий с помощью непрерывных функций

Для данной функции , где X — топологическое пространство, а S — множество (без указанной топологии), окончательная топология на S определяется путем разрешения открытым множествам S быть теми подмножествами A из S , для которых открыто в X. Если S имеет существующую топологию, f непрерывна относительно этой топологии тогда и только тогда, когда существующая топология грубее конечной топологии на S. Таким образом, конечная топология — это наилучшая топология на S , которая делает f непрерывной. Если f сюръективна , эта топология канонически отождествляется с фактор-топологией по отношению эквивалентности , определяемому f . $${\displaystyle f:X\to S,}$$ ${\displaystyle f^{-1}(A)}$

Двойственно, для функции f из множества S в топологическое пространство X начальная топология на S определяется обозначением в качестве открытого множества каждого подмножества A из S такого, что для некоторого открытого подмножества U из X. Если S имеет существующую топологию, f непрерывна относительно этой топологии тогда и только тогда, когда существующая топология тоньше начальной топологии на S. Таким образом, начальная топология является самой грубой топологией на S , которая делает f непрерывной. Если f инъективна, эта топология канонически отождествляется с топологией подпространства S , рассматриваемой как подмножество X. ${\displaystyle A=f^{-1}(U)}$

Топология на множестве S однозначно определяется классом всех непрерывных функций во все топологические пространства X. Двойственно , подобная идея может быть применена к отображениям ${\displaystyle S\to X}$ ${\displaystyle X\to S.}$

Связанные понятия

Если — непрерывная функция из некоторого подмножества топологического пространства , то ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$непрерывное расширение до—это любая непрерывная функция, такая чтодля каждого, которая является условием , которое часто записывается какВ словах это любая непрерывная функция, котораяограничиваетсядонаЭто понятие используется, например, втеореме о продолжении Титцеитеореме Хана–Банаха. Еслине является непрерывным, то она не может иметь непрерывного расширения. Еслиявляетсяхаусдорфовым пространствомиявляетсяплотным подмножеством,то непрерывное расширениедо ,если таковое существует, будет единственным.Теорема Блумбергаутверждает, что еслиявляется произвольной функцией , то существует плотное подмножество,такое что ограничениеявляется непрерывным; другими словами, каждая функцияможет быть ограничена некоторым плотным подмножеством, на котором она непрерывна. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle F(s)=f(s)}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle f=F{\big \vert }_{S}.}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{D}:D\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Различные другие математические области используют концепцию непрерывности в различных, но связанных значениях. Например, в теории порядка функция, сохраняющая порядок между определенными типами частично упорядоченных множеств и является непрерывной, если для каждого направленного подмножества мы имеем Здесь — супремум относительно упорядочений в и соответственно. Это понятие непрерывности совпадает с топологической непрерывностью, когда частично упорядоченным множествам задана топология Скотта . ^{[19] [20]} ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sup f(A)=f(\sup A).}$ ${\displaystyle \,\sup \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$

В теории категорий функтор между двумя категориями называется непрерывным , если он коммутирует с малыми пределами . То есть для любой малой (то есть индексированной множеством, а не классом ) диаграммы объектов в . $${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$$ $${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}F(C_{i})\cong F\left(\varprojlim _{i\in I}C_{i}\right)}$$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Пространство непрерывности является обобщением метрических пространств и частично упорядоченных множеств ^{[21] [22]} , которое использует концепцию кванталей и может быть использовано для объединения понятий метрических пространств и областей . ^[23]

Смотрите также

• Непрерывность (математика)
• Абсолютная непрерывность
• Дини непрерывность
• Равнонепрерывность
• Геометрическая непрерывность
• Параметрическая непрерывность
• Классификация разрывов
• Грубая функция
• Непрерывная функция (теория множеств)
• Непрерывный стохастический процесс
• Нормальное функционирование
• Открытые и закрытые карты
• Кусочно
• Симметрично непрерывная функция

• Функция, сохраняющая направление — аналог непрерывной функции в дискретных пространствах.

Ссылки

1. Больцано, Бернар (1817). «Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes daß zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzetes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung Liege». Прага: Хаазе.
2. Дугак, Пьер (1973), «Элементы анализа Карла Вейерштрасса», Архив истории точных наук , 10 (1–2): 41–176, doi : 10.1007/bf00343406, S2CID  122843140
3. Гурса, Э. (1904), Курс математического анализа , Бостон: Ginn, стр. 2
4. Джордан, MC (1893), Cours d'analyse de l'École Polytechnique, vol. 1 (2-е изд.), Париж: Готье-Виллар, с. 46
5. Харпер, Дж. Ф. (2016), «Определение непрерывности действительных функций действительных переменных», Бюллетень BSHM: Журнал Британского общества истории математики , 31 (3): 1–16, doi : 10.1080/17498430.2015.1116053, S2CID  123997123
6. Rusnock, P.; Kerr-Lawson, A. (2005), «Больцано и равномерная непрерывность», Historia Mathematica , 32 (3): 303–311, doi :10.1016/j.hm.2004.11.003
7. Стрэнг, Гилберт (1991). Исчисление. SIAM. стр. 702. ISBN 0961408820.
8. Speck, Jared (2014). "Непрерывность и разрывность" (PDF) . MIT Math . стр. 3. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-10-06 . Получено 2016-09-02 . Пример 5. Функция непрерывна на и на , т. е. для и для другими словами, в каждой точке своей области определения. Однако это не непрерывная функция, поскольку ее область определения не является интервалом. Она имеет единственную точку разрыва, а именно , и бесконечный разрыв там. ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle (-\infty ,0),}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle x<0,}$ ${\displaystyle x=0,}$
9. Ланг, Серж (1997), Анализ бакалавриата , Тексты бакалавриата по математике (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94841-6, раздел II.4
10. Введение в реальный анализ, обновлено в апреле 2010 г., Уильям Ф. Тренч, Теорема 3.5.2, стр. 172
11. Введение в действительный анализ, обновлено в апреле 2010 г., Уильям Ф. Тренч, 3.5 «Более продвинутый взгляд на существование собственного интеграла Римана», стр. 171–177
12. "Элементарное исчисление". wisc.edu .
13. Браун, Джеймс Уорд (2009), Комплексные переменные и их применение (8-е изд.), McGraw Hill, стр. 54, ISBN 978-0-07-305194-9
14. Гаал, Стивен А. (2009), Топология точечной топологии , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-47222-5, раздел IV.10
15. Searcóid, Mícheál Ó (2006), Метрические пространства, серия Springer для студентов математических факультетов, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-1-84628-369-7, раздел 9.4
16. Дугунджи 1966, стр. 211–221.
17. Шурман, Джерри (2016). Исчисление и анализ в евклидовом пространстве (иллюстрированное издание). Springer. стр. 271–272. ISBN 978-3-319-49314-5.
18. "общая топология - непрерывность и внутреннее". Mathematics Stack Exchange .
19. Goubault-Larrecq, Jean (2013). Нехаусдорфова топология и теория доменов: избранные темы в топологии точек и множеств . Cambridge University Press . ISBN 978-1107034136.
20. Gierz, G.; Hofmann, KH; Keimel, K.; Lawson, JD; Mislove, MW; Scott, DS (2003). Непрерывные решетки и области . Энциклопедия математики и ее приложений. Т. 93. Cambridge University Press. ISBN 0521803381.
21. Флагг, RC (1997). «Кванталы и пространства непрерывности». Algebra Universalis . 37 (3): 257–276. CiteSeerX 10.1.1.48.851 . doi :10.1007/s000120050018. S2CID  17603865. 
22. Копперман, Р. (1988). «Все топологии происходят из обобщенных метрик». American Mathematical Monthly . 95 (2): 89–97. doi :10.2307/2323060. JSTOR  2323060.
23. Флагг, Б.; Копперман, Р. (1997). «Пространства непрерывности: согласование областей и метрических пространств». Теоретическая информатика . 177 (1): 111–138. doi : 10.1016/S0304-3975(97)00236-3 .

Библиография

• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• «Непрерывная функция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]