Начальная топология

Грубая топология, делающая некоторые функции непрерывными.

В общей топологии и смежных областях математики исходная топология (или индуцированная топология ^{[1] [2]} или слабая топология , предельная топология или проективная топология ) на множестве относительно семейства функций на является самой грубой топологией , которая делает эти функции непрерывны . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Конструкции топологии подпространства и топологии произведения являются частными случаями исходных топологий. Действительно, первоначальную конструкцию топологии можно рассматривать как их обобщение.

Двойственное понятие — это окончательная топология , которая для данного семейства функций, отображаемых на множество, является наилучшей топологией , которая делает эти функции непрерывными. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Определение

Даны множество и индексированное семейство топологических пространств с функциями ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(Y_{i}\right)_{i\in I}}$

$${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i},}$$

грубой топологией ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle f_{i}:(X,\tau )\to Y_{i}}$$

непрерывным

Определение в терминах открытых множеств

Если это семейство топологий, проиндексированных, то наименьшая верхняя граница топологии этих топологий является самой грубой топологией, которая тоньше каждой. Эта топология всегда существует и равна топологии, порожденной ^[3] ${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{i}.}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}\tau _{i}}.}$

Если для каждого обозначает топологию на то является топологией на , а исходная топология отображениями является топологией наименьшей верхней границы -индексированного семейства топологий (при ). ^[3] В явном виде исходная топология представляет собой совокупность открытых множеств , порожденных всеми множествами вида где - открытое множество в для некоторых конечных пересечений и произвольных объединений. ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle Y_{i},}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}\left(\sigma _{i}\right)=\left\{f_{i}^{-1}(V):V\in \sigma _{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}\left(\sigma _{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U),}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle i\in I,}$

Наборы такой формы часто называют наборами цилиндров . Если содержит ровно один элемент , то все открытые множества исходной топологии являются цилиндрическими множествами. ${\displaystyle f_{i}^{-1}(V)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Примеры

Некоторые топологические конструкции можно рассматривать как частные случаи исходной топологии.

• Топология подпространства — это начальная топология подпространства относительно карты включения .
• Топология произведения — это начальная топология по отношению к семейству карт проекций .
• Обратный предел любой обратной системы пространств и непрерывных отображений является теоретико-множественным обратным пределом вместе с исходной топологией, определяемой каноническими морфизмами.
• Слабая топология локально выпуклого пространства — это исходная топология относительно непрерывных линейных форм сопряженного к нему пространства .
• Для данного семейства топологий на фиксированном множестве начальная топология по отношению к функциям является супремумом (или объединением) топологий в решетке топологий на . То есть исходная топология - это топология, порожденная объединением топологий . ${\displaystyle \left\{\tau _{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{i}:X\to \left(X,\tau _{i}\right)}$ ${\displaystyle \left\{\tau _{i}\right\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \left\{\tau _{i}\right\}.}$
• Топологическое пространство является вполне регулярным тогда и только тогда, когда оно имеет начальную топологию относительно своего семейства ( ограниченных ) вещественнозначных непрерывных функций.
• Каждое топологическое пространство имеет начальную топологию относительно семейства непрерывных функций от до пространства Серпинского . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Характеристики

Характерное свойство

Исходную топологию на можно охарактеризовать следующим характеристическим свойством: функция из некоторого пространства в непрерывна тогда и только тогда, когда непрерывна для каждого ^[4] ${\displaystyle X}$
${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}\circ g}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Характеристическое свойство исходной топологии

Обратите внимание: несмотря на то, что они выглядят очень похоже, это не универсальное свойство . Категориальное описание приведено ниже.

Фильтр на сходится к точке тогда и только тогда, когда префильтр сходится к для каждого ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f_{i}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f_{i}(x)}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Оценка

Благодаря универсальному свойству топологии произведения мы знаем, что любое семейство непрерывных отображений определяет единственное непрерывное отображение. ${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f:\;&&X&&\;\to \;&\prod _{i}Y_{i}\\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&\left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}\\\end{alignedat}}}$$

Эта карта известна какоценочная карта .

Говорят, что семейство карт ${\displaystyle \{f_{i}:X\to Y_{i}\}}$отдельные точки в томслучае, если для всехвнутрисуществуеттакое, чтоСемейство,когда соответствующая оценочная картаинъективна. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f_{i}(x)\neq f_{i}(y).}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle f}$

Карта оценки будет топологическим вложением тогда и только тогда, когда исходная топология определяется картами и это семейство карт разделяет точки в ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle X.}$

Хаусдорфность

Если имеет начальную топологию, индуцированную и если каждое хаусдорфово пространство, то оно является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда эти отображения разделяют точки на ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Транзитивность исходной топологии

Если имеет начальную топологию, индуцированную -индексированным семейством отображений , и если для каждого топология on является начальной топологией, индуцированной некоторым -индексированным семейством отображений (как пробеги над ), то начальная топология на , индуцированная топология, индуцированная -индексированным семейством отображений как пробегов и пробегов ^[5]. Теперь будут даны несколько важных следствий из этого факта. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle \left\{g_{j}:Y_{i}\to Z_{j}\right\}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}J_{i}}}$ ${\displaystyle \left\{g_{j}\circ f_{i}:X\to Z_{j}\right\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J_{i}.}$

В частности, если тогда топология подпространства, которая наследуется от , равна исходной топологии, индуцированной отображением включения (определенным ). Следовательно, если имеет начальную топологию, индуцированную то топология подпространства, наследуемая от , равна исходной топологии, индуцированной ограничениями на ^[4] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\to X}$ ${\displaystyle s\mapsto s}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left\{\left.f_{i}\right|_{S}:S\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle S.}$

Топология продукта на равна исходной топологии, индуцированной каноническими проекциями как диапазоны по ^[4]. Следовательно, начальная топология на, индуцированная , равна обратному образу топологии продукта на с помощью оценочного отображения ^[4] Кроме того, если карты разделяют точки, тогда карта оценки является гомеоморфизмом на подпространство пространства произведений ^[4] ${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {pr} _{i}:\left(x_{k}\right)_{k\in I}\mapsto x_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}}$ ${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{i}\,.}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}.}$

Отделение точек от замкнутых множеств

Если пространство снабжено топологией, часто бывает полезно знать, является ли топология исходной топологией, индуцированной некоторым семейством отображений в этом разделе, достаточным (но не необходимым) условием. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Семейство отображений отделяет точки от замкнутых множеств в, если для всех замкнутых множеств в и всех существуют такие, что ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\not \in A,}$ ${\displaystyle i}$

$${\displaystyle f_{i}(x)\notin \operatorname {cl} (f_{i}(A))}$$

оператор замыкания ${\displaystyle \operatorname {cl} }$

Теорема . Семейство непрерывных отображений отделяет точки от замкнутых множеств тогда и только тогда, когда множества цилиндров для открытых форм образуют основу топологии на ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(V),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y_{i},}$ ${\displaystyle X.}$

Отсюда следует, что всякий раз, когда точки отделяются от замкнутых множеств, пространство имеет начальную топологию, индуцированную отображениями. Обратное неверно, поскольку обычно цилиндрические множества образуют только подбазу (а не базу) для исходной топологии. ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}.}$

Если пространство представляет собой пространство T , то любой набор отображений , который отделяет точки от замкнутых множеств, должен также разделять точки. В этом случае оценочная карта будет вложением. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$

Исходная однородная структура

Если это семейство однородных структур , проиндексированных , то наименьшая верхняя граница однородной структуры является самой грубой однородной структурой, которая тоньше, чем каждая. Эта форма всегда существует и равна фильтру, сгенерированному подбазой фильтров [ ^6] Если является топологией on, индуцированной однородной структурой, то топология on, связанная с наименьшей верхней границей однородной структуры, равна топологии наименьшей верхней границы из ^[6] ${\displaystyle \left({\mathcal {U}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {U}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}.}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}{\mathcal {U}}_{i}}.}$ ${\displaystyle \tau _{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}.}$

Теперь предположим, что это семейство карт и для каждого пусть это равномерная структура. Тогда исходная равномерная структура отображений является единственной самой грубой равномерной структурой , позволяющей сделать все равномерно непрерывными . ^[6] Она равна наименьшей верхней границе однородной структуры -индексированного семейства однородных структур (при ). ^[6] Топология на, индуцированная by, — это самая грубая топология на такой, что каждая непрерывна. ^[6] Исходная равномерная структура также равна самой грубой однородной структуре, такой, что тождественные отображения равномерно непрерывны. ^[6] ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}.}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:\left(X,{\mathcal {U}}\right)\to \left(Y_{i},{\mathcal {U}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}\left({\mathcal {U}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \operatorname {id} :\left(X,{\mathcal {U}}\right)\to \left(X,f_{i}^{-1}\left({\mathcal {U}}_{i}\right)\right)}$

Хаусдорфовость : Топология на, индуцированная исходной однородной структурой, является Хаусдорфовой тогда и только тогда, когда для тех случаев, когда они различны ( ), тогда существует некоторое и некоторое окружение таких , что ^[6] Кроме того, если для каждого индекса топология на, индуцированная Хаусдорфом, то топология на, индуцированная исходной равномерной структурой, является Хаусдорфовой тогда и только тогда, когда отображения разделяют точки в ^[6] (или, что то же самое, тогда и только тогда, когда оценочное отображение инъективно) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle V_{i}\in {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle \left(f_{i}(x),f_{i}(y)\right)\not \in V_{i}.}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{i}}$

Равномерная непрерывность : если исходная равномерная структура индуцирована отображениями, то функция из некоторого равномерного пространства в равномерно непрерывна тогда и только тогда, когда равномерно непрерывна для каждого ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\},}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle f_{i}\circ g:Z\to Y_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Фильтр Коши : включенный фильтр является фильтром Коши тогда и только тогда, когда включен предварительный фильтр Коши для каждого ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle f_{i}\left({\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Транзитивность исходной однородной структуры : Если в приведенном выше утверждении о «транзитивности исходной топологии» слово «топология» заменить на «однородная структура», то полученное утверждение также будет верным.

Категориальное описание

На языке теории категорий исходную конструкцию топологии можно описать следующим образом. Пусть – функтор из дискретной категории в категорию топологических пространств, отображающий . Пусть – обычный забывчивый функтор от до . Тогда карты можно рассматривать как конус от до. То есть является объектом категории конусов до. Точнее, этот конус определяет -структурированный косинк в ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathrm {Top} }$ ${\displaystyle j\mapsto Y_{j}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathrm {Top} }$ ${\displaystyle \mathrm {Set} }$ ${\displaystyle f_{j}:X\to Y_{j}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle UY.}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (UY):=(\Delta \downarrow {UY})}$ ${\displaystyle UY.}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathrm {Set} .}$

Функтор забывчивости индуцирует функтор . Характеристическое свойство исходной топологии эквивалентно утверждению о существовании универсального морфизма из в , т. е. терминального объекта в категории. Явно, он состоит из объекта in вместе с морфизмом таким, что для любого объекта в и морфизма существует существует единственный морфизм такой, что следующая диаграмма коммутирует: ${\displaystyle U:\mathrm {Top} \to \mathrm {Set} }$ ${\displaystyle {\bar {U}}:\mathrm {Cone} (Y)\to \mathrm {Cone} (UY)}$ ${\displaystyle {\bar {U}}}$ ${\displaystyle (X,f);}$ ${\displaystyle \left({\bar {U}}\downarrow (X,f)\right).}$
${\displaystyle I(X,f)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (Y)}$ ${\displaystyle \varepsilon :{\bar {U}}I(X,f)\to (X,f)}$ ${\displaystyle (Z,g)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (Y)}$ ${\displaystyle \varphi :{\bar {U}}(Z,g)\to (X,f)}$ ${\displaystyle \zeta :(Z,g)\to I(X,f)}$

Присваивание , помещающее исходную топологию, расширяется до функтора , который является правосопряженным к функтору забвения. Фактически, это правая инверсия к ; поскольку является тождественным функтором на ${\displaystyle (X,f)\mapsto I(X,f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I:\mathrm {Cone} (UY)\to \mathrm {Cone} (Y)}$ ${\displaystyle {\bar {U}}.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\bar {U}}}$ ${\displaystyle {\bar {U}}I}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (UY).}$

Смотрите также

• Окончательная топология  - лучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными.
• Топология продукта  - Топология декартовых произведений топологических пространств.
• Факторпространство (топология)  - Построение топологического пространства.
• Топология подпространства  – унаследованная топология

Рекомендации

1. Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
2. Адамсон, Иэн Т. (1996). «Индуцированные и коиндуцированные топологии». Рабочая тетрадь по общей топологии . Биркхойзер, Бостон, Массачусетс. стр. 23–30. дои : 10.1007/978-0-8176-8126-5_3. ISBN 978-0-8176-3844-3. Проверено 21 июля 2020 г. ... топология, индуцированная на E семейством отображений ...
3. Гротендик 1973, с. 1.
4. Гротендик 1973, с. 2.
5. Гротендик 1973, стр. 1–2.
6. Гротендик 1973, с. 3.

Библиография

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. ОСЛК  18588129.
• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Том. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. ОСЛК  246032063.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. ОСЛК  395340485.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. ОСЛК  886098.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. ОСЛК  115240.
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 0-486-43479-6.

Внешние ссылки

• Начальная топология в PlanetMath .
• Топология продукта и топология подпространства в PlanetMath .