набор Gδ

Счётное пересечение открытых множеств

В математической области топологии множество G _δ — это подмножество топологического пространства , которое является счетным пересечением открытых множеств . Обозначение произошло от немецких существительных Gebiet « открытое множество » и Durchschnitt « пересечение » . ^[1] Исторически множества G _δ также назывались внутренними предельными множествами , ^[2] но эта терминология больше не используется. Множества G _δ и двойственные к ним множества F 𝜎 являются вторым уровнем иерархии Бореля .

Определение

В топологическом пространстве _{множество} Gδ является счетным пересечением открытых множеств . Множества G _δ — это в точности уровень Π⁰
₂множества иерархии Бореля .

Примеры

• Любое открытое множество тривиально является множеством G _δ .
• Иррациональные числа представляют собой множество G _δ в действительных числах . Их можно записать как счетное пересечение открытых множеств (верхний индекс обозначает дополнение ) , где рационально . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{q\}^{c}}$ ${\displaystyle q}$
• Множество рациональных чисел не является множеством G _δ в . Если бы это было пересечение открытых множеств, каждое из них было бы плотным , потому что плотно в . Однако приведенная выше конструкция дала иррациональные числа как счетное пересечение открытых плотных подмножеств. Пересечение обоих этих множеств дает пустое множество как счетное пересечение открытых плотных множеств в , что является нарушением теоремы Бэра о категориях . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Множество непрерывности любой действительнозначной функции представляет собой подмножество G _δ ее области определения (более общее утверждение см. в разделе «Свойства»).
• Множество нулей производной всюду дифференцируемой вещественной функции на является множеством G _δ ; это может быть плотное множество с пустой внутренностью, как показывает конструкция Помпея . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Множество функций не дифференцируемо ни в одной точке диапазона [0, 1] содержит плотное G _δ подмножество метрического пространства . (См. функцию Вейерштрасса § Плотность нигде не дифференцируемых функций .) ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle C([0,1])}$

Характеристики

Понятие множеств G _δ в метрических (и топологических ) пространствах связано с понятием полноты метрического пространства, а также с теоремой Бэра о категориях . См. результат о полностью метризуемых пространствах в списке свойств ниже. множества и их дополнения также играют важную роль в реальном анализе , особенно в теории меры . ${\displaystyle \mathrm {G_{\delta }} }$

Основные свойства

• Дополнением к множеству G _δ является множество F σ , и наоборот.
• Пересечение счетного числа множеств G _δ является множеством G _δ .
• Объединение конечного числа множеств G _δ является множеством G _δ .
• Счётное объединение множеств G _δ (которое можно было бы назвать множеством G _δσ ) вообще не является множеством G _{δ .} Например, рациональные числа не образуют множество G _δ в . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• В топологическом пространстве нулевое множество каждой вещественнозначной непрерывной функции является (замкнутым) множеством G _δ , поскольку является пересечением открытых множеств , . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \{x\in X:-1/n<f(x)<1/n\}}$ ${\displaystyle (n=1,2,\ldots )}$
• В метризуемом пространстве каждое замкнутое множество является множеством G _δ и, двойственно, каждое открытое множество является множеством F _σ . ^[3] Действительно, замкнутое множество — это нулевое множество непрерывной функции , где обозначает расстояние от точки до множества . То же самое справедливо и в псевдометризуемых пространствах. ${\displaystyle F\subseteq X}$ ${\displaystyle f(x)=d(x,F)}$ ${\displaystyle d}$
• В первом счетном пространстве T 1 каждый одноэлементный элемент является множеством G _δ . ^[4]
• Подпространство вполне метризуемого пространства само по себе вполне метризуемо тогда и только тогда, когда оно является множеством G _δ в . ^{[5] [6]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Подпространство польского пространства само является польским тогда и только тогда, когда оно является множеством G _δ в . Это следует из предыдущего результата о вполне метризуемых подпространствах и того факта, что каждое подпространство сепарабельного метрического пространства сепарабельно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Топологическое пространство является польским тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно Gδ- _{подмножеству} компактного метрического пространства . ^{[7] [8]} ${\displaystyle X}$

Непрерывность множества вещественнозначных функций

Множество точек, в которых функция из топологического пространства в метрическое пространство непрерывна , является множеством. Это связано с тем, что непрерывность в точке можно определить по формуле, а именно: Для всех положительных целых чисел существует открытое множество , содержащее такое, что для всех в . Если значение фиксировано, множество, для которого существует такое соответствующее открытие , само является открытым множеством (представляя собой объединение открытых множеств), а квантор универсальности on соответствует (счетному) пересечению этих множеств. Как следствие, хотя иррациональные числа могут быть множеством точек непрерывности функции (см. функцию попкорна ), невозможно построить функцию, непрерывную только на рациональных числах. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {G_{\delta }} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d(f(x),f(y))<1/n}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle n}$

В реальной строке справедливо и обратное; для любого подмножества G _δ вещественной прямой существует функция , непрерывная точно в точках из . ^[9] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$

G δ пространство

Пространство G δ ^[10] — это топологическое пространство, в котором каждое замкнутое множество является множеством G _δ . ^[11] Нормальное пространство , которое также является пространством G _δ , называется совершенно нормальным . Например, любое метризуемое пространство совершенно нормально.

Смотрите также

• F _σ set – двойственное понятие; сравните букву «G» от немецкого Gebiet « открытый набор » и букву F от французского «fermé » « закрытый » .
• P -пространство , любое пространство, обладающее свойством, что каждое множество G _δ открыто.

Примечания

1. Штейн, Элиас М.; Шакарчи, Рами (2009). Реальный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертово пространство. Издательство Принстонского университета . п. 23. ISBN 9781400835560.
2. Янг, Уильям ; Янг, Грейс Чисхолм (1906). Теория множеств точек. Издательство Кембриджского университета. п. 63.
3. Уиллард, 15C, с. 105
4. "Общая топология - когда возникают синглтоны $G_\delta$?". 4 августа 2016 г.^{[ источник, созданный пользователем ]}
5. Уиллард, теорема 24.12, с. 179
6. Энгелькинг, теоремы 4.3.23 и 4.3.24 на с. 274. Из исторических заметок на с. 276, прямая импликация была показана в частном случае С. Мазуркевичем и в общем случае М. Лаврентьевым; обратная импликация была показана в частном случае П. Александровым и в общем случае Ф. Хаусдорфом.
7. Фремлин, с. 334
8. Достаточность условия использует тот факт, что каждое компактное метрическое пространство сепарабельно и полно и, следовательно, польское.
9. Сайто, Синго. «Свойства подмножеств Gδ множества R {\displaystyle \mathbb {R}}» (PDF) .
10. Стин и Сибах, с. 162
11. Джонсон 1970.

Рекомендации

• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Берлин: Хелдерманн Верлаг. ISBN 3-88538-006-4.
• Фремлин, Д.Х. (2003) [2003]. «4. Общая топология». Теория меры. Том. 4. Петербург, Англия: Логистика цифровых книг. ISBN 0-9538129-4-4. Архивировано из оригинала 1 ноября 2010 года . Проверено 1 апреля 2011 г.
• Джонсон, Рой А. (1970). «Компактное неметризуемое пространство, в котором каждое замкнутое подмножество является G-дельтой». Американский математический ежемесячник . 77 (2): 172–176. дои : 10.2307/2317335. JSTOR  2317335.
• Келли, Джон Л. (1955). Общая топология . Ван Ностранд . п. 134.
• Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( изд. Дувра  ). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. МР  0507446.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология ( изд. Дувра  ). Аддисон-Уэсли.