Система соседства

В топологии и смежных областях математики система окрестностей , полная система окрестностей , ^[1] или фильтр окрестностей для точки в топологическом пространстве — это совокупность всех окрестностей точки. ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Определения

Окрестность точки или множества

Аноткрытая окрестность точки (илиподмножества^{[примечание 1]})в топологическом пространстве— это любоеоткрытое подмножество,содержащее A ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x.}$окрестность in ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$— любое подмножество,содержащеенекоторуюоткрытую окрестность; явно,является окрестностьювтогда и только тогда, когдасуществует некоторое открытое подмножествос. ^[2][3] Эквивалентно, окрестность —это любое множество, которое содержитв своейтопологической внутренности. ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U\subseteq N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Важно отметить, что «район» не обязательно должен быть открытым множеством; те районы, которые также являются открытыми множествами, известны как «открытые районы». ^{[примечание 2]} Аналогично, окрестность, которая также является замкнутым (соответственно компактным , связным и т. д.) множеством, называетсязакрытое окружение (соответственно,компактный район ,подключенный район и т. д.). Существует множество других типов окрестностей, которые используются в топологии и смежных областях, таких какфункциональный анализ. Семейство всех кварталов, имеющих определенное «полезное» свойство, часто образует основу соседства, хотя во многих случаях эти кварталы не обязательно являются открытыми. Например, локально компактные пространства

Фильтр соседства

Система окрестности для точки (или непустое подмножество) представляет собой фильтр , называемый фильтром окрестности для . Фильтр окрестности для точки аналогичен фильтру окрестности одноэлементного множества. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}.}$

По соседству

Ана основе соседства илина местном уровне (илирайонная база илиlocal base ) для точки—базафильтра соседства; это означает, что это подмножество ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$$

^[3] ${\displaystyle V\in {\mathcal {N}}(x),}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq V.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V.}$

Эквивалентно, является локальным базисом тогда и только тогда, когда фильтр окрестности можно восстановить в том смысле, что выполняется следующее равенство: ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=\left\{V\subseteq X~:~B\subseteq V{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\right\}\!\!\;.}$$

конфинальным подмножествомпорядканадмножестваподмножества ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {N}}(x),\supseteq \right)}$ ${\displaystyle \supseteq }$

Подбазис соседства

АПодбазис окрестности в— это семействоподмножествкаждого из которых содержиттакие, что совокупность всех возможных конечныхпересеченийэлементовобразует базис окрестности в ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle x.}$

Примеры

Если имеет обычную евклидову топологию , то окрестностями являются все те подмножества , для которых существует некоторое действительное число такое, что, например, все следующие множества являются окрестностями in : ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle N\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (-r,r)\subseteq N.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle (-2,2),\;[-2,2],\;[-2,\infty ),\;[-2,2)\cup \{10\},\;[-2,2]\cup \mathbb {Q} ,\;\mathbb {R} }$$

${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle \{0\},\;\mathbb {Q} ,\;(0,2),\;[0,2),\;[0,2)\cup \mathbb {Q} ,\;(-2,2)\setminus \left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$$

рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Если является открытым подмножеством топологического пространства , то для каждого является окрестностью в. В более общем смысле, если является любым множеством и обозначает топологическую внутреннюю часть in , то это окрестность (в ) каждой точки и, более того, не является окрестностью какой-либо точки. другой момент. Другими словами, является окрестностью точки тогда и только тогда, когда ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N.}$

Соседские базы

В любом топологическом пространстве система окрестности точки является также базисом окрестности точки. Множество всех открытых окрестностей в точке образует базис окрестностей в этой точке. Для любой точки метрического пространства последовательность открытых шаров радиуса образует счетный базис окрестностей . Это означает, что каждое метрическое пространство является счетным по началу . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{B_{1/n}:n=1,2,3,\dots \right\}}$

Для пространства с недискретной топологией система окрестностей любой точки содержит только все пространство . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=\{X\}}$

В слабой топологии пространства мер база окрестностей о задается формулой ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle \left\{\mu \in {\mathcal {M}}(E):\left|\mu f_{i}-\nu f_{i}\right|<r_{i},\,i=1,\dots ,n\right\}}$$

непрерывные ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}}$

Полунормированные пространства и топологические группы

В полунормированном пространстве , то есть векторном пространстве с топологией, индуцированной полунормой , все системы окрестностей могут быть построены путем перевода системы окрестностей для начала координат:

$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)={\mathcal {N}}(0)+x.}$$

Это связано с тем, что по предположению сложение векторов отдельно непрерывно в индуцированной топологии. Следовательно, топология определяется ее системой окрестностей в начале координат. В более общем смысле, это остается верным всякий раз, когда пространство является топологической группой или топология определяется псевдометрикой .

Характеристики

Предположим , и пусть - базис окрестности для в. Преобразовать в направленное множество , частично упорядочив его включением надмножества. Тогда не является окрестностью в тогда и только тогда, когда существует -индексированная сеть в такая, что для каждого (что подразумевает, что в ). ${\displaystyle u\in U\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \,\supseteq .}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}$ ${\displaystyle X\setminus U}$ ${\displaystyle x_{N}\in N\setminus U}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}\to u}$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• База (топология)  - совокупность открытых наборов, используемых для определения топологии.
• Фильтр (теория множеств)  - семейство множеств, представляющих «большие» множества.
• Фильтры в топологии  . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Окрестность (математика)  - Открытое множество, содержащее данную точку.
• Подбаза  — совокупность подмножеств, генерирующих топологию.
• Трубчатая окрестность  - окрестность подмногообразия, гомеоморфного нормальному расслоению этого подмногообразия.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Рекомендации

1. Обычно «окрестность» относится к окрестностям точки , и это будет четко указано, если вместо этого оно относится к окрестностям множества. Так, например, такое утверждение, как «окрестность в », которое не относится к какой-либо конкретной точке или множеству, должно, если не указано иное, пониматься как «окрестность некоторой точки в » . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Большинство авторов не требуют, чтобы окрестности были открытыми множествами, потому что написание слова «открытый» перед словом «окрестность», когда это свойство необходимо, не слишком обременительно, а также потому, что требование, чтобы они всегда были открытыми, также значительно ограничило бы полезность таких терминов, как « закрытое окружение» и «компактное окружение».

1. Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 41. ИСБН 0-486-66352-3.
2. Бурбаки 1989, стр. 17–21.
3. Уиллард 2004, стр. 31–37.
4. Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Издательство Аддисон-Уэсли. ISBN 9780201087079.(См. главу 2, раздел 4)

Библиография

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. ОСЛК  18588129.
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. ОСЛК  10277303.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. ОСЛК  115240.