Классификация несплошностей

Математический анализ точек разрыва

Непрерывные функции имеют первостепенное значение в математике , функциях и приложениях. Однако не все функции непрерывны. Если функция не является непрерывной в некоторой точке своей области определения , говорят, что она имеет здесь разрыв . Множество всех точек разрыва функции может быть дискретным , плотным или даже всей областью определения функции.

Колебания функции в точке количественно определяют эти разрывы следующим образом :

• при устранимом разрыве расстояние, на которое отклоняется значение функции, является колебанием;
• при скачке разрыва размер скачка представляет собой колебание (при условии, что значение в точке лежит между этими пределами двух сторон);
• при существенном разрыве колебание измеряет отсутствие предела ; предел постоянный.

Особый случай — если функция расходится до бесконечности или минус бесконечности , и в этом случае колебание не определяется (в расширенных действительных числах это устранимый разрыв).

Классификация

Для каждого из следующих действий рассмотрим вещественную функцию действительной переменной, определенную в окрестности точки, в которой она является разрывной. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$

Устранимый разрыв

Функция в примере 1, устранимый разрыв

Рассмотрим кусочную функцию

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\2-x&{\text{ for }}x>1\end{cases}}}$$

Дело в устранимом разрыве . Для такого рода разрыва: ${\displaystyle x_{0}=1}$

Односторонний предел с отрицательного направления:

$${\displaystyle L^{-}=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)}$$

$${\displaystyle L^{+}=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)}$$

. , ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle L=L^{-}=L^{+}.}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle x_{0}}$устранимый разрыв ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0},}$

$${\displaystyle g(x)={\begin{cases}f(x)&x\neq x_{0}\\L&x=x_{0}\end{cases}}}$$

${\displaystyle x=x_{0}.}$

Термин «устранимый разрыв» иногда расширяют, включив в него устранимую особенность , в которой пределы в обоих направлениях существуют и равны, а функция не определена в точке ^[а]. Такое использование является злоупотреблением терминологией, поскольку непрерывность и разрыв функции — это концепции, определенные только для точек в области определения функции. ${\displaystyle x_{0}.}$

Скачок разрыва

Функция в примере 2, скачок разрыва

Рассмотрим функцию

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$$

Тогда дело в том , ${\displaystyle x_{0}=1}$скачок разрыв .

В этом случае единого предела не существует, поскольку односторонние пределы и существуют, и конечны, но не равны: поскольку предела не существует. Тогда разрыв называется скачком , ступенчатым разрывом или разрывом первого рода . Для этого типа разрыва функция может иметь любое значение при ${\displaystyle L^{-}}$ ${\displaystyle L^{+}}$ ${\displaystyle L^{-}\neq L^{+},}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

Существенный разрыв

Функция в примере 3, существенный разрыв

При существенном разрыве хотя бы один из двух односторонних пределов не существует в . (Обратите внимание, что один или оба односторонних предела могут быть ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pm \infty }$

Рассмотрим функцию

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\{\frac {1}{x-1}}&{\text{ for }}x>1.\end{cases}}}$$

Тогда дело в том , ${\displaystyle x_{0}=1}$существенный разрыв .

В этом примере оба и не существуют в , что удовлетворяет условию существенного разрыва. То же самое касается существенного разрыва, бесконечного разрыва или разрыва второго рода. (Это отличается от существенной особенности , которую часто используют при изучении функций комплексных переменных ). ${\displaystyle L^{-}}$ ${\displaystyle L^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$

Предполагая, что функция определена на интервале, мы будем обозначать множество всех разрывов на. Под мы будем понимать множество всех таких, которые имеют устранимый разрыв в. Аналогично через мы обозначаем множество, состоящее из всех таких, которые имеют скачкообразный разрыв . at Множество всего такого, что имеет существенный разрыв at, будет обозначаться через Конечно тогда ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle D=R\cup J\cup E.}$

Подсчет разрывов функции

Два следующих свойства множества актуальны в литературе. ${\displaystyle D}$

• Набор есть набор . Множество точек, в которых функция непрерывна, всегда является множеством ( см. ^[2] ). ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F_{\sigma }}$ ${\displaystyle G_{\delta }}$
• Если на интервале монотонно, то не более чем счетно . Это теорема Фроды . ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D=J.}$

Том Апостол ^[3] частично следует приведенной выше классификации, рассматривая только устранимые и скачкообразные разрывы. Его цель — изучить разрывы монотонных функций, главным образом, чтобы доказать теорему Фроды. С той же целью Вальтер Рудин ^[4] и Карл Р. Стромберг ^[5] изучают также устранимые и скачкообразные разрывы, используя другую терминологию. Однако, кроме того, оба автора утверждают, что это всегда счетное множество (см. ^{[6] [7]} ). ${\displaystyle R\cup J}$

Термин «существенный разрыв» имеет свидетельства использования в математическом контексте еще в 1889 году. ^[8] Однако самое раннее использование этого термина наряду с математическим определением, по-видимому, было дано в работе Джона Клипперта. ^[9] Там Клипперт также классифицировал сами существенные разрывы, разделив набор на три следующих набора: ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle E_{1}=\left\{x_{0}\in I:\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ do not exist in }}\mathbb {R} \right\},}$$

$${\displaystyle E_{2}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ exists in }}\mathbb {R} {\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ does not exist in }}\mathbb {R} \right\},}$$

$${\displaystyle E_{3}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ does not exist in }}\mathbb {R} {\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ exists in }}\mathbb {R} \right\}.}$$

Конечно, всякий раз называется существенным разрывом первого рода . Любое называется существенным разрывом второго рода. Следовательно, он расширяет множество , не теряя при этом его свойств счетности, утверждая следующее: ${\displaystyle E=E_{1}\cup E_{2}\cup E_{3}.}$ ${\displaystyle x_{0}\in E_{1},}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}\in E_{2}\cup E_{3}}$ ${\displaystyle R\cup J}$

• Множество счетное. ${\displaystyle R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}}$

Переписывание теоремы Лебега

Когда и является ограниченной функцией, хорошо известно о важности множества с точки зрения интегрируемости по Риману . Фактически, теорема Лебега (также называемая теоремой Лебега-Витали) утверждает, что интегрируемо по Риману тогда и только тогда, когда — множество с нулевой мерой Лебега. ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle D}$

В этой теореме кажется, что все типы разрывов имеют одинаковый вес на препятствии, позволяющем интегрировать ограниченную функцию по Риману. Поскольку счетные множества являются множествами с нулевой мерой Лебега, а счетное объединение множеств с нулевой мерой Лебега по-прежнему остается множеством меры Лебега. ноль, сейчас мы видим, что это не так. Фактически разрывы множества абсолютно нейтральны с точки зрения интегрируемости по Риману. Основными разрывами для этой цели являются существенные разрывы первого рода, и, следовательно, теорему Лебега-Витали можно переписать следующим образом: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}}$ ${\displaystyle f.}$

• Ограниченная функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда соответствующее множество всех существенных разрывов первого рода имеет нулевую меру Лебега. ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle f}$

Случай, когда соответствуют следующим известным классическим дополнительным ситуациям интегрируемости по Риману ограниченной функции : ${\displaystyle E_{1}=\varnothing }$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$

• Если имеет правый предел в каждой точке, то интегрируем по Риману (см. ^[10] ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b[}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$
• Если имеет левый предел в каждой точке, то интегрируем по Риману на ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b].}$
• Если – регламентированная функция на, то интегрируема ли Римана на ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b].}$

Примеры

Функция Томаэ разрывна в каждой ненулевой рациональной точке , но непрерывна в каждой иррациональной точке. Легко видеть, что все эти разрывы устранимы. Согласно первому абзацу не существует функции, непрерывной в каждой рациональной точке, но разрывной в каждой иррациональной точке.

Индикаторная функция рациональных чисел, известная также как функция Дирихле , всюду разрывна . Все эти разрывы также существенны и первого рода.

Рассмотрим теперь троичное множество Кантора и его индикаторную (или характеристическую) функцию. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset [0,1]}$

$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)={\begin{cases}1&x\in {\mathcal {C}}\\0&x\notin [0,1]\setminus {\mathcal {C}}.\end{cases}}}$$

Один из способов построения ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle {\mathcal {C}}:=\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$

$${\displaystyle C_{n}={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right){\text{ for }}n\geq 1,{\text{ and }}C_{0}=[0,1].}$$

Ввиду разрывов функции примем точку ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x),}$ ${\displaystyle x_{0}\not \in {\mathcal {C}}.}$

Поэтому существует множество, использованное в формулировке , которое не содержит То есть принадлежит одному из интервалов, удаленных при построении Таким образом, имеет окрестность без точек (Другим способом тот же вывод следует с учетом того, что множество является замкнутым и, следовательно, его дополнительное относительно открытое). Следовательно, предполагается, что значение равно нулю только в некоторой окрестности Следовательно , непрерывно в точке ${\displaystyle C_{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle C_{n}.}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

Это означает, что множество всех разрывов на интервале является подмножеством Поскольку это несчетное множество с нулевой мерой Лебега , а также множество с нулевой мерой Лебега и поэтому в отношении теоремы Лебега-Витали ^{[ необходимо устранение неоднозначности ]} является множеством Римана. интегрируемая функция. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$

Точнее, фактически , поскольку это негде плотное множество, тогда никакая окрестность не может содержаться Таким образом, любая окрестность содержит точки и точки, которые не являются. С точки зрения функции это означает, что оба и не существовать. Т. е. где через , как и раньше, мы обозначаем множество всех существенных разрывов первого рода функции. Ясно, что ${\displaystyle D={\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \left(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon \right)}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}\mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}1_{\mathcal {C}}(x)}$ ${\displaystyle D=E_{1},}$ ${\displaystyle E_{1},}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}.}$ ${\textstyle \int _{0}^{1}\mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)dx=0.}$

Разрывы деривативов

Пусть теперь открытый интервал и производная функции , дифференцируемой по . То есть для каждого . ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\in I}$

Хорошо известно, что согласно теореме Дарбу производная функция имеет ограничение на выполнение свойства промежуточного значения. ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f}$может, конечно, быть непрерывным на интервале . Напомним, что любая непрерывная функция по теореме Больцано удовлетворяет свойству промежуточного значения. ${\displaystyle I}$

С другой стороны, свойство промежуточного значения не предотвращает наличие разрывов на интервале . Но теорема Дарбу имеет непосредственное влияние на тип возможных разрывов . В самом деле, если является точкой разрыва , то обязательно является существенным разрывом . ^[11] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$

Это означает, в частности, что не могут возникнуть следующие две ситуации :

1. ${\displaystyle x_{0}}$является устранимым разрывом . ${\displaystyle f}$
2. ${\displaystyle x_{0}}$является скачком разрыва . ${\displaystyle f}$

Кроме того, необходимо исключить две другие ситуации (см. Джон Клипперт ^[12] ):

3. ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\pm \infty .}$
4. ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\pm \infty .}$

Заметьте, что всякий раз, когда одно из условий (i), (ii), (iii) или (iv) выполняется для какого-либо объекта, можно заключить, что он не имеет первообразной , на интервале . ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle I}$

С другой стороны, можно ввести новый тип разрыва относительно любой функции : существенный разрыв функции называется фундаментальным существенным разрывом , если ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)\neq \pm \infty }$$

$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)\neq \pm \infty .}$$

Поэтому если есть разрыв производной функции , то обязательно есть фундаментальный существенный разрыв . ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$

Обратите также внимание, что когда и является ограниченной функцией, как в предположениях теоремы Лебега, мы имеем для всех : ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$

$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{\pm }}f(x)\neq \pm \infty ,}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\neq \pm \infty ,}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to b^{-}}f(x)\neq \pm \infty .}$$

${\displaystyle f}$

Смотрите также

• Устранимая особенность  - неопределенная точка голоморфной функции, которую можно сделать регулярной.
• Математическая сингулярность  - точка, в которой функция, кривая или другой математический объект ведет себя нерегулярно.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Расширение за счет непрерывности  - топологическое пространство, в котором точка и замкнутое множество, если они не пересекаются, разделяются окрестностями.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Гладкость  - количество производных функции (математика).
  • Геометрическая непрерывность  - количество производных функции (математика)Pages displaying short descriptions of redirect targets
  • Параметрическая непрерывность  - количество производных функции (математика)Pages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. См., например, последнее предложение в определении, данном в Mathwords. ^[1]

Рекомендации

1. «Математические слова: устранимый разрыв» .
2. Стромберг, Карл Р. (2015). Введение в классический реальный анализ . Американское математическое общество. С. 120. Пр. 3 (в). ISBN 978-1-4704-2544-9.
3. Апостол, Том (1974). Математический анализ (второе изд.). Эддисон и Уэсли. стр. 92, сек. 4.22, сек. 4.23 и Пр. 4.63. ISBN 0-201-00288-4.
4. Уолтер, Рудин (1976). Принципы математического анализа (третье изд.). МакГроу-Хилл. стр. 94, Def. 4.26, Thms. 4.29 и 4.30. ISBN 0-07-085613-3.
5. Стромберг, Карл Р. Op. цит . стр. 128, Def. 3,87, Thm. 3.90.
6. Вальтер, Рудин. Оп. цит . стр. 100, упр. 17.
7. Стромберг, Карл Р. Op. цит . стр. 131, упр. 3.
8. Уитни, Уильям Дуайт (1889). Словарь века: энциклопедический лексикон английского языка. Том. 2. Лондон и Нью-Йорк: Т. Фишер Анвин и компания Century. п. 1652. ISBN 9781334153952. Архивировано из оригинала 16 декабря 2008 г. Существенный разрыв — это разрыв, при котором значение функции становится совершенно неопределимым.
9. Клипперт, Джон (февраль 1989 г.). «Продвинутое исчисление: подсчет разрывов действительной функции в интервальной области». Журнал «Математика» . 62 : 43–48. doi : 10.1080/0025570X.1989.11977410 — через JSTOR.
10. Мецлер, RC (1971). «Об интегрируемости по Риману». Американский математический ежемесячник . 78 (10): 1129–1131. дои : 10.1080/00029890.1971.11992961.
11. Рудин, Уолтер. Указ.цит . с. 109, Следствие.
12. Клипперт, Джон (2000). «О разрыве производной». Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 31:С2: 282–287. дои : 10.1080/00207390050032252.

Источники

• Малик, Южная Каролина; Арора, Савита (1992). Математический анализ (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-470-21858-4.

Внешние ссылки

• «Непрерывный». ПланетаМатематика .
• «Разрыв» Эда Пегга-младшего , Демонстрационный проект Вольфрама , 2007.
• Вайсштейн, Эрик В. «Разрыв». Математический мир .
• Кудрявцев, Л.Д. (2001) [1994]. «Точка разрыва». Энциклопедия математики . ЭМС Пресс .