Преобразование Фолди–Ваутхойзена

Используется для понимания уравнения Дирака.

Преобразование Фолди –Ваутхойзена имело историческое значение и было сформулировано Лесли Лоуренсом Фолди и Зигфридом Адольфом Ваутхойзеном в 1949 году для понимания нерелятивистского предела уравнения Дирака , уравнения для частиц со спином 1/2 . ^{[1] [2] [3] [4]} Подробное общее обсуждение преобразований типа Фолди–Ваутхойзена в интерпретации релятивистских волновых уравнений на уровне частиц приведено в работе Ачарьи и Сударшана (1960). ^[5] Его полезность в физике высоких энергий в настоящее время ограничена из-за того, что основные приложения находятся в ультрарелятивистской области, где поле Дирака рассматривается как квантованное поле.

Каноническое преобразование

Преобразование FW является унитарным преобразованием ортонормированного базиса, в котором представлены как гамильтониан , так и состояние. Собственные значения не изменяются при таком унитарном преобразовании, то есть физика не меняется при таком унитарном преобразовании базиса. Следовательно, такое унитарное преобразование всегда может быть применено: в частности, можно выбрать унитарное базисное преобразование, которое приведет гамильтониан в более приятную форму за счет изменения функции состояния, которая затем представляет что-то еще. См., например, преобразование Боголюбова , которое является ортогональным базисным преобразованием для той же цели. Таким образом, предположение о том, что преобразование FW применимо к состоянию или гамильтониану, неверно.

Фолди и Ваутхойзен использовали каноническое преобразование , которое теперь известно как преобразование Фолди–Ваутхойзена . Краткое изложение истории преобразования можно найти в некрологах Фолди и Ваутхойзена ^{[6] [7]} и биографических мемуарах Фолди. ^[8] До их работы существовали некоторые трудности в понимании и сборе всех членов взаимодействия заданного порядка, таких как для частицы Дирака, погруженной во внешнее поле. С их процедурой физическая интерпретация членов стала ясной, и стало возможным применять их работу систематическим образом к ряду проблем, которые ранее не поддавались решению. ^{[9] [10]} Преобразование Фолди–Ваутхойзена было распространено на физически важные случаи частиц со спином 0 и спином 1 , ^[11] и даже обобщено на случай произвольных спинов . ^[12]

Описание

Преобразование Фолди–Ваутхайзена (ФВ) представляет собой унитарное преобразование волновой функции фермиона вида:

где унитарный оператор — это матрица 4 × 4:

Выше,

${\displaystyle {\hat {p}}^{i}\equiv {\frac {p^{i}}{|\mathbf {p} |}}}$

— единичный вектор, ориентированный в направлении импульса фермиона. Вышеуказанные соотношения связаны с матрицами Дирака соотношениями β = γ ⁰ и α ⁱ = γ ⁰ γ ⁱ , где i = 1, 2, 3 . Прямое разложение в ряд, применяющее свойства коммутативности матриц Дирака, показывает, что 2 выше верно. Обратное

${\displaystyle U^{-1}=e^{-\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\theta }=\mathbb {I} _{4}\cos \theta -\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin \theta }$

поэтому ясно, что U ⁻¹ U = I , где I — единичная матрица 4 × 4 .

Преобразование гамильтониана Дирака для свободного фермиона

Это преобразование представляет особый интерес при применении к гамильтониану Дирака со свободными фермионами

${\displaystyle {\hat {H}}_{0}\equiv {\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m}$

в биунитарном виде, в форме:

Используя коммутативные свойства матриц Дирака, это можно преобразовать в выражение для двойного угла:

Это учитывает:

Выбор конкретного представления: Ньютон–Вигнер

Очевидно, что преобразование FW является непрерывным преобразованием, то есть можно использовать любое значение для θ , которое выберете. Выбор конкретного значения для θ равносилен выбору конкретного преобразованного представления.

Одним особенно важным представлением является то, в котором преобразованный гамильтонов оператор Ĥ ′ ₀ диагонализируется. Полностью диагональное представление может быть получено путем выбора θ таким образом, чтобы член α · p в 5 обращался в нуль. Это достигается путем выбора:

В представлении Дирака-Паули, где β — диагональная матрица, 5 затем сводится к диагональной матрице:

Согласно элементарной тригонометрии, 6 также подразумевает, что:

так что использование 8 в 7 и последующее упрощение теперь приводит к:

До того, как Фолди и Ваутхёйзен опубликовали свое преобразование, уже было известно, что 9 является гамильтонианом в представлении Ньютона–Вигнера (NW) (названном в честь Теодора Дадделла Ньютона и Юджина Вигнера ) уравнения Дирака . Поэтому 9 говорит нам, что, применяя преобразование FW к представлению Дирака–Паули уравнения Дирака, а затем выбирая параметр непрерывного преобразования θ так, чтобы диагонализировать гамильтониан, мы приходим к представлению NW уравнения Дирака, поскольку само NW уже содержит гамильтониан, указанный в ( 9 ). См. эту ссылку.

Если рассмотреть массу на оболочке — фермионную или иную — заданную как m ² = p ^σ p _σ , и использовать метрический тензор Минковского , для которого diag( η ) = (+1, −1, −1, −1) , то должно быть очевидно, что выражение

${\displaystyle p^{0}={\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}}$

эквивалентно компоненте E ≡ p ⁰ вектора энергии-импульса p ^μ , так что 9 альтернативно определяется довольно просто как Ĥ ′ ₀ = βE .

Соответствие между представлениями Дирака–Паули и Ньютона–Вигнера для покоящегося фермиона

Теперь рассмотрим фермион в состоянии покоя, который мы можем определить в этом контексте как фермион, для которого | p | = 0. Из 6 или 8 это означает, что cos 2 θ = 1 , так что θ = 0, ±π, ±2π и, из 2 , что унитарный оператор U = ± I. Следовательно, любой оператор O в представлении Дирака–Паули, над которым мы выполняем биунитарное преобразование, будет задан для фермиона в состоянии покоя следующим образом:

Противопоставление исходному гамильтонову оператору Дирака–Паули

${\displaystyle {\hat {H}}_{0}\equiv {\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m}$

с гамильтонианом NW 9 мы действительно находим соответствие | p | = 0 «в состоянии покоя»:

Преобразование оператора скорости

В представлении Дирака–Паули

Теперь рассмотрим оператор скорости. Чтобы получить этот оператор, мы должны коммутировать оператор Гамильтона Ĥ ′ ₀ с каноническими операторами положения x _i , т.е. мы должны вычислить

${\displaystyle {\hat {v_{i}}}\equiv i\left[{\hat {H}}_{0},x_{i}\right]}$

Один из хороших способов подойти к этому расчету — начать с записи скалярной массы покоя m как

${\displaystyle m=\gamma ^{0}{\hat {H}}_{0}+\gamma ^{j}p_{j}}$

и затем потребовать, чтобы скалярная масса покоя коммутировала с x _i . Таким образом, мы можем записать:

где мы использовали каноническое коммутационное соотношение Гейзенберга [ x _i , p _j ] = − iη _ij для сокращения членов. Затем, умножая слева на γ ⁰ и переставляя члены, мы получаем:

Поскольку канонические отношения

${\displaystyle i\left[{\hat {H}}_{0},{\hat {v}}_{i}\right]\neq 0}$

Вышеизложенное дает основу для вычисления собственного, ненулевого оператора ускорения, который определяет колебательное движение, известное как zitterbewegung .

В представлении Ньютона-Вигнера

В представлении Ньютона-Вигнера мы теперь хотим вычислить

${\displaystyle {\hat {v}}_{i}'\equiv i\left[{\hat {H}}'_{0},x_{i}\right]}$

Если мы используем результат в самом конце раздела 2 выше, Ĥ ′ ₀ = βp ₀ , то это можно записать так:

Используя вышесказанное, нам нужно просто вычислить [ p ₀ , x _i ] , а затем умножить на iβ .

Канонический расчет выполняется аналогично расчету в разделе 4 выше, но из-за выражения квадратного корня в p ⁰ = √ m ² + | p | ² требуется один дополнительный шаг.

Во-первых, чтобы учесть квадратный корень, нам нужно потребовать, чтобы скалярная квадратная масса m ² коммутировала с каноническими координатами x _i , что мы запишем как:

где мы снова используем каноническое соотношение Гейзенберга [ x _i , p _j ] = − iη _ij . Затем нам нужно выражение для [ p ₀ , x _i ], которое будет удовлетворять 15 . Легко проверить, что:

удовлетворит 15 , когда снова используем [ x _i , p _j ] = − iη _ij . Теперь мы просто возвращаем фактор iβ через 14 , чтобы получить:

Под этим понимается оператор скорости в представлении Ньютона-Вигнера. Потому что:

Обычно считается, что zitterbewegung- движение, возникающее из 12, исчезает, когда фермион преобразуется в представление Ньютона-Вигнера.

Другие приложения

Мощный аппарат преобразования Фолди–Ваутхайзена, первоначально разработанный для уравнения Дирака, нашел применение во многих ситуациях, таких как акустика и оптика .

Он нашел применение в самых разных областях, таких как атомные системы ^{[13] [14],} синхротронное излучение ^[15] и вывод уравнения Блоха для поляризованных пучков. ^[16]

Применение преобразования Фолди–Ваутхайзена в акустике весьма естественно; всеобъемлющие и математически строгие расчеты. ^{[17] [18] [19]}

В традиционной схеме цель расширения оптического гамильтониана

${\displaystyle {\hat {H}}=-\left(n^{2}(r)-{\hat {p}}_{\perp }^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}$

в серии с использованием

${\displaystyle {\frac {{\hat {p}}_{\perp }^{2}}{n_{0}^{2}}}}$

в качестве параметра разложения необходимо понимать распространение квазипараксиального пучка в терминах ряда приближений (параксиальное плюс непараксиальное). Аналогичная ситуация имеет место в случае оптики заряженных частиц. Напомним, что в релятивистской квантовой механике также существует похожая проблема понимания релятивистских волновых уравнений как нерелятивистского приближения плюс релятивистских поправочных членов в квазирелятивистском режиме. Для уравнения Дирака (которое является первым порядком по времени) это удобнее всего сделать с помощью преобразования Фолди–Ваутхайзена, приводящего к итеративной технике диагонализации. Основная структура недавно разработанных формализмов оптики (как световой оптики, так и оптики заряженных частиц) основана на технике преобразования теории Фолди–Ваутхайзена, которая приводит уравнение Дирака к форме, отображающей различные члены взаимодействия между частицей Дирака и приложенным электромагнитным полем в нерелятивистской и легко интерпретируемой форме.

В теории Фолди–Ваутхайзена уравнение Дирака расщепляется посредством канонического преобразования на два двухкомпонентных уравнения: одно сводится к уравнению Паули ^[20] в нерелятивистском пределе, а другое описывает состояния с отрицательной энергией. Можно записать матричное представление уравнений Максвелла, подобное Дираку . В такой матричной форме можно применять Фолди–Ваутхайзен. ^{[21] [22] [23] [24] [25]}

Существует близкая алгебраическая аналогия между уравнением Гельмгольца (управляющим скалярной оптикой) и уравнением Клейна–Гордона ; и между матричной формой уравнений Максвелла (управляющим векторной оптикой) и уравнением Дирака . Поэтому естественно использовать мощный аппарат стандартной квантовой механики (в частности, преобразование Фолди–Ваутхайзена) при анализе этих систем.

Предложение использовать метод преобразования Фолди–Ваутхайзена в случае уравнения Гельмгольца упоминалось в литературе как замечание. ^[26]

Только в недавних работах эта идея была использована для анализа квазипараксиальных приближений для конкретной оптической системы пучка. ^[27] Метод Фолди–Ваутхайзена идеально подходит для алгебраического подхода Ли к оптике. Со всеми этими плюсами, мощным и недвусмысленным расширением, преобразование Фолди–Ваутхайзена все еще мало используется в оптике. Метод преобразования Фолди–Ваутхайзена приводит к тому, что известно как нетрадиционные предписания оптики Гельмгольца ^[28] и оптики Максвелла ^[29] соответственно. Нетрадиционные подходы приводят к очень интересным зависящим от длины волны модификациям параксиального и аберрационного поведения. Нетрадиционный формализм оптики Максвелла обеспечивает единую структуру оптики светового пучка и поляризации. Нетрадиционные предписания оптики света тесно аналогичны квантовой теории оптики пучка заряженных частиц. ^{[30] [31] [32] [33]} В оптике это позволило увидеть более глубокие связи в зависимости от длины волны между оптикой света и оптикой заряженных частиц (см. Электронная оптика ). ^{[34] [35]}

Смотрите также

• Релятивистская квантовая механика

Примечания

1. Foldy, LL; Wouthuysen, SA (1950). «О теории Дирака для частиц со спином 1⁄2 и ее нерелятивистском пределе» (PDF) . Physical Review . 78 (1): 29–36. Bibcode : 1950PhRv...78...29F. doi : 10.1103/PhysRev.78.29.
2. Foldy, LL (1952). «Электромагнитные свойства частиц Дирака». Physical Review . 87 (5): 688–693. Bibcode : 1952PhRv...87..688F. doi : 10.1103/PhysRev.87.688.
3. Прайс, МХЛ (1948). «Центр масс в ограниченной теории относительности и его связь с квантовой теорией элементарных частиц». Труды Лондонского королевского общества A . 195 (1040): 62–81. Bibcode :1948RSPSA.195...62P. doi : 10.1098/rspa.1948.0103 .
4. Тани, С. (1951). «Связь между моделями частиц и теориями поля. I. Случай спина 1⁄2». Progress of Theoretical Physics . 6 (3): 267–285. Bibcode :1951PThPh...6..267T. doi : 10.1143/ptp/6.3.267 .
5. Ачарья, Р.; Сударшан, ECG (1960). «Описание фронта в релятивистской квантовой механике». Журнал математической физики . 1 (6): 532–536. Bibcode : 1960JMP.....1..532A. doi : 10.1063/1.1703689.
6. Браун, RW; Краусс, LM; Тейлор, PL (2001). «Некролог Лесли Лоуренса Фолди». Physics Today . 54 (12): 75. Bibcode : 2001PhT....54l..75B. doi : 10.1063/1.1445566 .
7. Леопольд, Х. (1997). «Некролог Зигфрида А. Ваутхёйзена». Physics Today . 50 (11): 89. Bibcode : 1997PhT....50k..89H. doi : 10.1063/1.882018 .
8. Foldy, LL (2006). «Истоки преобразования FW: мемуары». В Fickinger, William (ред.). Physics at a Research University: Case Western Reserve University 1830–1990. стр. 347–351.
9. Бьёркен, Дж. Д.; Дрелл, С. Д. (1964). Релятивистская квантовая механика . Нью-Йорк, Сан-Франциско: McGraw-Hill.
10. Костелла, JP; Маккеллар, BHJ (1995). «Преобразование Фолди–Ваутхойзена». American Journal of Physics . 63 (12): 1119–1124. arXiv : hep-ph/9503416 . Bibcode : 1995AmJPh..63.1119C. doi : 10.1119/1.18017. S2CID  16766114.
11. Кейс, К. М. (1954). «Некоторые обобщения преобразования Фолди–Ваутхойзена». Physical Review . 95 (5): 1323–1328. Bibcode : 1954PhRv...95.1323C. doi : 10.1103/PhysRev.95.1323.
12. Jayaraman, J. (1975). "Заметка о недавних преобразованиях Фолди–Ваутхойзена для частиц произвольного спина". Journal of Physics A. 8 ( 1): L1–L4. Bibcode : 1975JPhA....8L...1J. doi : 10.1088/0305-4470/8/1/001.
13. Асага, Т.; Фудзита, Т.; Хирамото, М. (2000). «Оператор EDM, свободный от теоремы Шиффа». Progress of Theoretical Physics . 106 (6): 1223–1238. arXiv : hep-ph/0005314 . Bibcode :2001PThPh.106.1223A. doi :10.1143/PTP.106.1223. S2CID  17118044.
14. Пачуки, К. (2004). "Эффективный гамильтониан высшего порядка для легких атомных систем". Physical Review A. 71 ( 1): 012503. arXiv : physics/0411168 . Bibcode : 2005PhRvA..71a2503P. doi : 10.1103/PhysRevA.71.012503. S2CID  5376899.
15. Липперт, М.; Брюкель, Т.; Колер, Т.; Шнайдер, Дж. Р. (1994). «Высокоразрешающее объемное магнитное рассеяние высокоэнергетического синхротронного излучения». Europhysics Letters . 27 (7): 537–541. Bibcode : 1994EL.....27..537L. doi : 10.1209/0295-5075/27/7/008. S2CID  250889471.
16. Хайнеманн, К.; Барбер, Д.П. (1999). «Полуклассическое преобразование Фолди–Ваутхайзена и вывод уравнения Блоха для поляризованных пучков со спином 1⁄2 с использованием функций Вигнера». В Чен, П. (ред.). Труды 15-го Продвинутого семинара ICFA по динамике пучков по квантовым аспектам физики пучков, 4–9 января 1998 г., Монтерей, Калифорния, США . Сингапур: World Scientific. стр. physics/9901044. arXiv : physics/9901044 . Bibcode : 1999physics...1044H.
17. Фишман, Л. (1992). «Точные и операторно-рациональные приближенные решения уравнения композиции Гельмгольца, Вейля в подводной акустике — квадратичный профиль». Журнал математической физики . 33 (5): 1887–1914. Bibcode : 1992JMP....33.1887F. doi : 10.1063/1.529666.
18. Фишман, Л. (2004). «Моделирование одностороннего волнового уравнения в задачах двустороннего распространения волн». В Nilsson, B.; Fishman, L. (ред.). Математическое моделирование волновых явлений 2002, Математическое моделирование в физике, инжиниринге и когнитивных науках . Том 7. Векшё, Швеция: Växjö University Press. стр. 91–111.
19. Wurmser, D. (2004). «Параболическое уравнение для проницаемых шероховатых поверхностей: использование преобразования Фолди–Ваутхойзена для буферизации скачков плотности». Annals of Physics . 311 (1): 53–80. Bibcode : 2004AnPhy.311...53W. doi : 10.1016/j.aop.2003.11.006.
20. Osche, GR (1977). «Уравнение Дирака и Дирака–Паули в представлении Фолди–Ваутхойзена». Physical Review D. 15 ( 8): 2181–2185. Bibcode :1977PhRvD..15.2181O. doi :10.1103/PhysRevD.15.2181.
21. Białynicki-Birula, I. (1996). "V Photon Wave Function". Волновая функция фотона . Progress in Optics. Vol. 36. Elsevier. pp. 245–294. arXiv : quant-ph/0508202 . Bibcode :2005quant.ph..8202B. doi :10.1016/S0079-6638(08)70316-0. ISBN 9780444825308. S2CID  17695022.
22. Хан, Самин Ахмед (2005). «Оптика Максвелла: I. Точное матричное представление уравнений Максвелла в среде». Physica Scripta . 71 (5): 440–442. arXiv : physics/0205083 . Bibcode : 2005PhyS...71..440K. doi : 10.1238/Physica.Regular.071a00440. S2CID  250793483.
23. Лапорт, О.; Уленбек , GE (1931). «Применение спинорного анализа к уравнениям Максвелла и Дирака». Physical Review . 37 (11): 1380–1397. Bibcode : 1931PhRv...37.1380L. doi : 10.1103/PhysRev.37.1380.
24. Майорана, Э. (1974). Неопубликованные заметки, цитируемые у Миньяни, Р.; Реками, Э.; Бальдо, М. (2008). «Об уравнении для фотона, подобном Дираку, согласно Этторе Майоране». Lettere al Nuovo Cimento . 11 (12): 568–572. дои : 10.1007/bf02812391. S2CID  122510061.
25. Moses, E. (1959). «Решения уравнений Максвелла в терминах спинорной нотации: прямые и обратные задачи». Physical Review . 113 (6): 1670–1679. Bibcode :1959PhRv..113.1670M. doi :10.1103/PhysRev.113.1670.
26. Фишман, Л.; Маккой, Дж. Дж. (1984). «Вывод и применение расширенных параболических волновых теорий. Часть I. Факторизованное уравнение Гельмгольца». Журнал математической физики . 25 (2): 285–296. Bibcode : 1984JMP....25..285F. doi : 10.1063/1.526149.
27. Хан, Самин Ахмед; Джаганнатхан, Рамасвами; Саймон, Раджиа (2002). «Преобразование Фолди–Ваутхайзена и схема квазипараксиального приближения для скалярной волновой теории световых пучков»: physics/0209082. arXiv : physics/0209082 . Bibcode :2002physics...9082K. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
28. Хан, Самин Ахмед (2005). «Модификации в оптике Гельмгольца, зависящие от длины волны». Международный журнал теоретической физики . 44 (1): 95–125. arXiv : physics/0210001 . Bibcode :2005IJTP...44...95K. doi :10.1007/s10773-005-1488-0. S2CID  55537377.
29. Хан, Самин Ахмед (2006). «Эффекты в оптике света, зависящие от длины волны». В Красноголовец, Владимир; Колумбус, Фрэнк (ред.). Новые темы в исследованиях квантовой физики . Нью-Йорк: Nova Science Publishers. С. 163–204.
30. Джаганнатхан, Р.; Саймон, Р.; Сударшан, ЭКГ ; Мукунда, Н. (1989). «Квантовая теория магнитных электронных линз на основе уравнения Дирака» (PDF) . Physics Letters A. 134 ( 8–9): 457–464. Bibcode : 1989PhLA..134..457J. doi : 10.1016/0375-9601(89)90685-3.
31. Джаганнатан, Р. (1990). «Квантовая теория электронных линз на основе уравнения Дирака». Physical Review A. 42 ( 11): 6674–6689. Bibcode : 1990PhRvA..42.6674J. doi : 10.1103/PhysRevA.42.6674. PMID  9903968.
32. Хан, С. А. (1996). Квантовая теория оптики заряженных частиц . Достижения в области визуализации и электронной физики. Т. 97. Elsevier. С. 257–358. doi :10.1016/S1076-5670(08)70096-X. ISBN 9780120147397.
33. Конте, М.; Джаганнатхан, Р.; Хан, С.А.; Пустерла, М. (1996). «Оптика пучка дираковской частицы с аномальным магнитным моментом». Ускорители частиц . 56 : 99–126.
34. Хан, Самин Ахмед (2006). «Техника преобразования Фолди–Ваутхёйзена в оптике». Optik . 117 (10): 481–488. Bibcode :2006Optik.117..481K. doi :10.1016/j.ijleo.2005.11.010.
35. Хан, Самин Ахмед (2008). Метод преобразования Фолди–Ваутхёйзена в оптике . Достижения в области визуализации и электронной физики. Т. 152. Elsevier. С. 49–78. doi :10.1016/S1076-5670(08)00602-2. ISBN 9780123742193.