Релятивистская квантовая механика

Квантовая механика, учитывающая частицы, близкие к скорости света или движущиеся со скоростью света

В физике релятивистская квантовая механика ( РКМ ) — это любая ковариантная Пуанкаре формулировка квантовой механики (КМ). Эта теория применима к массивным частицам , распространяющимся со всеми скоростями , вплоть до сравнимых со скоростью света  c , и может содержать безмассовые частицы . Теория имеет применение в физике высоких энергий , ^[1] физике элементарных частиц и физике ускорителей , ^[2] , а также в атомной физике , химии ^[3] и физике конденсированного состояния . ^{[4] [5]} Нерелятивистская квантовая механика относится к математической формулировке квантовой механики, применяемой в контексте теории относительности Галилея , более конкретно, квантования уравнений классической механики путем замены динамических переменных операторами . Релятивистская квантовая механика (РКМ) — это квантовая механика, применяемая в специальной теории относительности . Хотя более ранние формулировки, такие как картина Шредингера и картина Гейзенберга , изначально были сформулированы на нерелятивистской основе, некоторые из них (например, формализм Дирака или интеграла по траекториям) также работают со специальной теорией относительности.

Ключевые особенности, общие для всех RQM, включают: предсказание антиматерии , спиновых магнитных моментов элементарных фермионов со спином  1/2 , тонкой структуры и квантовой динамики заряженных частиц в электромагнитных полях . ^[6] Ключевым результатом является уравнение Дирака , из которого эти предсказания возникают автоматически. Напротив, в нерелятивистской квантовой механике члены должны быть введены искусственно в оператор Гамильтона , чтобы добиться согласия с экспериментальными наблюдениями.

Наиболее успешной (и наиболее широко используемой) РКМ является релятивистская квантовая теория поля (КТП), в которой элементарные частицы интерпретируются как кванты поля . Уникальным последствием QFT, которое было проверено на фоне других RQM, является нарушение сохранения числа частиц, например, при создании и уничтожении материи . ^[7]

В этой статье уравнения написаны в знакомой нотации трехмерного векторного исчисления и используют шляпы для операторов (не обязательно в литературе), а там, где можно собрать компоненты пространства и времени, также показаны обозначения тензорного индекса (часто используемые в литературе). , кроме того, используется соглашение Эйнштейна о суммировании . Здесь используются единицы СИ ; Распространенными альтернативами являются гауссовские единицы и натуральные единицы . Все уравнения находятся в позиционном представлении; для представления импульса уравнения должны быть преобразованы Фурье – см. Пространство положения и импульса .

Объединение специальной теории относительности и квантовой механики

Один из подходов состоит в том, чтобы изменить картину Шредингера , чтобы она соответствовала специальной теории относительности. ^[2]

Постулат квантовой механики заключается в том, что эволюция любой квантовой системы во времени задается уравнением Шредингера :

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\hat {H}}\psi }$

используя подходящий гамильтонов оператор Ĥ, соответствующий системе. Решение представляет собой комплексную волновую функцию ψ ( r , t ) , функцию трехмерного вектора положения r частицы в момент времени t , описывающую поведение системы.

Каждая частица имеет неотрицательное спиновое квантовое число s . Число 2s — целое число, нечетное для фермионов и четное для бозонов . Каждый s имеет 2 s + 1 z -проекционные квантовые числа; σ  знак равно  s , s  - 1, ... , - s  + 1, - s . ^[a] Это дополнительная дискретная переменная, которую требует волновая функция; ψ ( р ,  т ,  σ ) .

Исторически сложилось так, что в начале 1920-х годов Паули , Крониг , Уленбек и Гаудсмит были первыми, кто предложил концепцию вращения. Включение спина в волновую функцию включает в себя принцип исключения Паули (1925 г.) и более общую теорему о статистике спина (1939 г.), предложенную Фирцем , перевыведенную Паули годом позже. Это объяснение разнообразного спектра поведения и явлений субатомных частиц : от электронных конфигураций атомов, ядер (и, следовательно, всех элементов таблицы Менделеева и их химии ) до конфигураций кварков и цветового заряда (отсюда и свойства барионов ). и мезоны ).

Фундаментальным предсказанием специальной теории относительности является релятивистское соотношение энергии и импульса ; для частицы с массой покоя m и в конкретной системе отсчета с энергией E и 3- импульсом p с величиной , выраженной в скалярном произведении , это: ^[8] ${\displaystyle p={\sqrt {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }}}$

${\displaystyle E^{2}=c^{2}\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +(mc^{2})^{2}\,.}$

Эти уравнения используются вместе с операторами энергии и импульса , которые соответственно:

${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \,,}$

построить релятивистское волновое уравнение (RWE): уравнение в частных производных , согласующееся с соотношением энергии и импульса, которое решается для ψ , чтобы предсказать квантовую динамику частицы. Чтобы пространство и время были поставлены на равные основания, как в теории относительности, порядки частных производных пространства и времени должны быть равны и в идеале как можно ниже, так что не нужно указывать начальные значения производных. Это важно для вероятностных интерпретаций, примеры которых приведены ниже. Наименьший возможный порядок любого дифференциального уравнения — первый (производные нулевого порядка не образуют дифференциальное уравнение).

Картина Гейзенберга представляет собой другую формулировку КМ, в этом случае волновая функция ψ не зависит от времени , а операторы A ( t ) содержат зависимость от времени, определяемую уравнением движения:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A={\frac {1}{i\hbar }}[A,{\hat {H}}]+{\frac {\partial }{\partial t}}A\,,}$

Это уравнение справедливо и для RQM, при условии, что операторы Гейзенберга модифицированы так, чтобы они соответствовали СТО. ^{[9] [10]}

Исторически примерно в 1926 году Шредингер и Гейзенберг показали, что волновая механика и матричная механика эквивалентны, что позже было развито Дираком с использованием теории преобразований .

Более современный подход к RWE, впервые представленный во время разработки RWE для частиц любого спина, заключается в применении представлений группы Лоренца .

Пространство и время

В классической механике и нерелятивистской КМ время — это абсолютная величина, с которой всегда могут согласиться все наблюдатели и частицы, «тикающие» на заднем плане независимо от пространства. Таким образом, в нерелятивистской КМ для системы многих частиц ψ ( r ₁ , r ₂ , r ₃ , ..., t , σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ ...) .

В релятивистской механике пространственные координаты и координаты времени не являются абсолютными; любые два наблюдателя, движущиеся относительно друг друга, могут измерять разные места и время событий . Координаты положения и времени естественным образом объединяются в четырехмерную позицию пространства-времени X = ( ct , r ) , соответствующую событиям, а энергия и 3-импульс естественным образом объединяются в четырехмерный импульс P = ( E / c , p ) Динамические частицы, измеренные в некоторой системе отсчета , изменяются в соответствии с преобразованием Лоренца при измерении в другой системе отсчета, усиленной и/или повернутой относительно рассматриваемой исходной системы отсчета. Операторы производной, а следовательно, и операторы энергии и 3-импульса, также неинвариантны и изменяются при преобразованиях Лоренца.

При правильном ортохронном преобразовании Лоренца ( r , t ) → Λ( r , t ) в пространстве Минковского все одночастичные квантовые состояния ψ _σ локально преобразуются при некотором представлении D группы Лоренца : ^{[11] [12]}

${\displaystyle \psi _{\sigma }(\mathbf {r} ,t)\rightarrow D(\Lambda )\psi _{\sigma }(\Lambda ^{-1}(\mathbf {r} ,t))}$

где D (Λ) — конечномерное представление, другими словами, квадратная матрица (2 s + 1)×(2 s + 1) . Опять же, ψ рассматривается как вектор-столбец , содержащий компоненты с (2 s + 1) допустимыми значениями σ . Квантовые числа s и σ , а также другие метки, непрерывные или дискретные, представляющие другие квантовые числа, подавляются. Одно значение σ может встречаться более одного раза в зависимости от представления.

Нерелятивистские и релятивистские гамильтонианы

Классический гамильтониан для частицы в потенциале — это кинетическая энергия p · p /2 m плюс потенциальная энергия V ( r , t ) с соответствующим квантовым оператором в картине Шрёдингера :

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)}$

и подстановка этого значения в приведенное выше уравнение Шредингера дает нерелятивистское уравнение КМ для волновой функции: процедура представляет собой прямую замену простого выражения. Напротив, в RQM это не так просто; уравнение энергии-импульса квадратично по энергии и импульсу, что приводит к трудностям. Наивная настройка:

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {E}}={\sqrt {c^{2}{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+(mc^{2})^{2}}}\quad \Rightarrow \quad i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\sqrt {c^{2}{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+(mc^{2})^{2}}}\,\psi }$

бесполезно по нескольким причинам. Квадратный корень из операторов нельзя использовать в его нынешнем виде; его придется разложить в степенной ряд, прежде чем оператор импульса, возведенный в степень в каждом члене, сможет действовать на ψ . В результате степенного ряда производные по пространству и времени полностью асимметричны : производные по пространству имеют бесконечный порядок, но только первый порядок по производной по времени, что неизящно и громоздко. Опять же, существует проблема неинвариантности оператора энергии, приравненного к квадратному корню, который также не является инвариантным. Другая проблема, менее очевидная и более серьезная, состоит в том, что можно показать, что она нелокальна и может даже нарушать причинность : если частица первоначально локализована в точке r ₀ так, что ψ ( r ₀ , t = 0) конечна и равна нулю в другом месте, то в любой более поздний момент уравнение предсказывает делокализацию ψ ( r , t ) ≠ 0 везде, даже для | р | > ct , что означает, что частица может достичь точки раньше, чем импульс света. Это должно быть исправлено дополнительным ограничением ψ ( | r | > ct , t ) = 0 . ^[13]

Существует также проблема включения спина в гамильтониан, которая не является предсказанием нерелятивистской теории Шрёдингера. Частицы со спином имеют соответствующий спиновый магнитный момент, квантованный в единицах µ _B , магнетон Бора : ^{[14] [15]}

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}=-{\frac {g\mu _{B}}{\hbar }}{\hat {\mathbf {S} }}\,,\quad \left|{\boldsymbol {\mu }}_{S}\right|=-g\mu _{B}\sigma \,,}$

где g — (спиновый) g-фактор частицы, а S — оператор спина , поэтому они взаимодействуют с электромагнитными полями . Для частицы во внешнем магнитном поле B член взаимодействия ^[16]

${\displaystyle {\hat {H}}_{B}=-\mathbf {B} \cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}}$

необходимо добавить к указанному выше нерелятивистскому гамильтониану. Напротив; релятивистский гамильтониан автоматически вводит спин как требование соблюдения релятивистского соотношения энергия-импульс. ^[17]

Релятивистские гамильтонианы аналогичны гамильтонианам нерелятивистской КМ в следующем отношении; существуют термины, включающие массу покоя и условия взаимодействия с внешними полями, аналогичные классическому термину потенциальной энергии, а также термины импульса, такие как классический термин кинетической энергии. Ключевое отличие состоит в том, что релятивистские гамильтонианы содержат операторы спина в форме матриц , в которых умножение матриц выполняется по индексу вращения σ , поэтому в общем случае релятивистский гамильтониан:

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}(\mathbf {r} ,t,{\hat {\mathbf {p} }},{\hat {\mathbf {S} }})}$

является функцией пространства, времени, а также операторов импульса и спина.

Уравнения Клейна–Гордона и Дирака для свободных частиц.

Подстановка операторов энергии и импульса непосредственно в соотношение энергия-импульс на первый взгляд может показаться привлекательной для получения уравнения Клейна-Гордона : ^[18]

${\displaystyle {\hat {E}}^{2}\psi =c^{2}{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\psi +(mc^{2})^{2}\psi \,,}$

и было открыто многими людьми из-за простоты его получения, особенно Шредингером в 1925 году, прежде чем он нашел нерелятивистское уравнение, названное в его честь, а также Кляйном и Гордоном в 1927 году, которые включили в это уравнение электромагнитные взаимодействия. Это релятивистски инвариантно , но само по себе это уравнение не является достаточным основанием для RQM по крайней мере по двум причинам : первая заключается в том, что состояния с отрицательной энергией являются решениями, ^{[2] [19]} другая — плотность (приведена ниже), и это уравнение в его нынешнем виде применимо только к бесспиновым частицам. Это уравнение можно представить в виде: ^{[20] [21]}

${\displaystyle \left({\hat {E}}-c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}-\beta mc^{2}\right)\left({\hat {E}}+c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+\beta mc^{2}\right)\psi =0\,,}$

где α = ( α ₁ , α ₂ , α ₃ ) и β — это не просто числа или векторы, а эрмитовы матрицы 4 × 4 , которые должны быть антикоммутирующими для i ≠ j :

${\displaystyle \alpha _{i}\beta =-\beta \alpha _{i},\quad \alpha _{i}\alpha _{j}=-\alpha _{j}\alpha _{i}\,,}$

и квадрат к единичной матрице :

${\displaystyle \alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I\,,}$

так что члены со смешанными производными второго порядка сокращаются, а производные второго порядка чисто в пространстве и времени остаются. Первый фактор:

${\displaystyle \left({\hat {E}}-c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}-\beta mc^{2}\right)\psi =0\quad \Leftrightarrow \quad {\hat {H}}=c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+\beta mc^{2}}$

есть уравнение Дирака . Другим фактором является также уравнение Дирака, но для частицы отрицательной массы . ^[20] Каждый фактор релятивистски инвариантен. Рассуждения можно провести и наоборот: предложить гамильтониан в приведенной выше форме, как это сделал Дирак в 1928 году, затем предварительно умножить уравнение на другой множитель операторов E + c α · p + βmc ² , и сравнить с Уравнение КГ определяет ограничения на α и β . Уравнение положительной массы можно продолжать использовать без потери непрерывности. Матрицы, умножающие ψ, предполагают, что это не скалярная волновая функция, как разрешено уравнением КГ, а вместо этого она должна быть четырехкомпонентной сущностью. Уравнение Дирака по-прежнему предсказывает решения с отрицательной энергией, ^{[6] [22]} поэтому Дирак постулировал, что состояния с отрицательной энергией всегда заняты, поскольку в соответствии с принципом Паули электронные переходы с положительных на отрицательные энергетические уровни в атомах будут запрещены. Подробности см. в «Море Дирака» .

Плотности и токи

В нерелятивистской квантовой механике квадрат модуля волновой функции ψ дает функцию плотности вероятности ρ = | ψ | ² . Это копенгагенская интерпретация , примерно 1927 года. В RQM, хотя ψ ( r , t ) является волновой функцией, вероятностная интерпретация не такая же, как в нерелятивистской QM. Некоторые RWE не предсказывают плотность вероятности ρ или ток вероятности j (на самом деле это означает плотность тока вероятности ), поскольку они не являются положительно определенными функциями пространства и времени. Уравнение Дирака делает: ^[23]

${\displaystyle \rho =\psi ^{\dagger }\psi ,\quad \mathbf {j} =\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}{\boldsymbol {\gamma }}\psi \quad \rightleftharpoons \quad J^{\mu }=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\psi }$

где крестик обозначает эрмитово сопряженное ( для сопряженного Дирака авторы обычно пишут ψ = ψ ^† γ ⁰ ), а J ^µ — вероятностный четырехток , а уравнение Клейна–Гордона этого не делает: ^[24]

${\displaystyle \rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\right)\,,\quad \mathbf {j} =-{\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)\quad \rightleftharpoons \quad J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*})}$

где ∂ ^µ — четырёхградиент . Поскольку начальные значения как ψ , так и ∂ ψ /∂ t могут выбираться свободно, плотность может быть отрицательной.

Вместо этого то, что на первый взгляд кажется «плотностью вероятности» и «вероятностным током», следует интерпретировать как плотность заряда и плотность тока , умноженные на электрический заряд . Тогда волновая функция ψ вообще не является волновой функцией, а переинтерпретируется как поле . ^[13] Плотность и ток электрического заряда всегда удовлетворяют уравнению непрерывности :

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0\quad \rightleftharpoons \quad \partial _{\mu }J^{\mu }=0\,,}$

поскольку заряд является сохраняющейся величиной . Плотность вероятности и ток также удовлетворяют уравнению непрерывности, поскольку вероятность сохраняется, однако это возможно только при отсутствии взаимодействий.

Спин и электромагнитно взаимодействующие частицы

Включение взаимодействия в RWE, как правило, затруднено. Минимальная связь — это простой способ учесть электромагнитное взаимодействие. Для одной заряженной частицы с электрическим зарядом q в электромагнитном поле, заданном магнитным векторным потенциалом A ( r , t ) , определяемым магнитным полем B = ∇ × A , и электрическим скалярным потенциалом φ ( r , t ) , это: ^[25]

${\displaystyle {\hat {E}}\rightarrow {\hat {E}}-q\phi \,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}\rightarrow {\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \quad \rightleftharpoons \quad {\hat {P}}_{\mu }\rightarrow {\hat {P}}_{\mu }-qA_{\mu }}$

где P _µ — четырехимпульс , которому соответствует оператор 4-импульса , а A _µ — четырехпотенциал . Ниже нерелятивистский предел относится к предельным случаям:

${\displaystyle E-e\phi \approx mc^{2}\,,\quad \mathbf {p} \approx m\mathbf {v} \,,}$

то есть полная энергия частицы примерно равна энергии покоя для малых электрических потенциалов, а импульс примерно равен классическому импульсу.

Вращение 0

В RQM уравнение КГ допускает минимальное предписание связи;

${\displaystyle {({\hat {E}}-q\phi )}^{2}\psi =c^{2}{({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}^{2}\psi +(mc^{2})^{2}\psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[{({\hat {P}}_{\mu }-qA_{\mu })}{({\hat {P}}^{\mu }-qA^{\mu })}-{(mc)}^{2}\right]\psi =0.}$

В случае, когда заряд равен нулю, уравнение тривиально сводится к свободному уравнению КГ, поэтому ниже предполагается ненулевой заряд. Это скалярное уравнение, инвариантное относительно неприводимого одномерного скалярного (0,0) представления группы Лоренца. Это означает, что все ее решения будут принадлежать прямой сумме (0,0) -представлений. Решения, не принадлежащие неприводимому (0,0) представлению, будут иметь две или более независимые компоненты. Такие решения, вообще говоря, не могут описывать частицы с ненулевым спином, поскольку компоненты спина не являются независимыми. Для этого придется наложить другое ограничение, например, уравнение Дирака для спина 1/2, см. ниже. Таким образом, если система удовлетворяет только уравнению КГ , ее можно интерпретировать только как систему с нулевым спином.

Электромагнитное поле рассматривается классически в соответствии с уравнениями Максвелла , а частица описывается волновой функцией, решением уравнения КГ. Уравнение в его нынешнем виде не всегда очень полезно, поскольку массивные бесспиновые частицы, такие как π -мезоны, в дополнение к электромагнитному взаимодействию испытывают гораздо более сильное сильное взаимодействие. Однако он правильно описывает заряженные бесспиновые бозоны в отсутствие других взаимодействий.

Уравнение КГ применимо к бесспиновым заряженным бозонам во внешнем электромагнитном потенциале. ^[2] Как таковое уравнение не может быть применено к описанию атомов, поскольку электрон представляет собой спин 1/2частица. В нерелятивистском пределе уравнение сводится к уравнению Шрёдингера для бесспиновой заряженной частицы в электромагнитном поле: ^[16]

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-q\phi \right)\psi ={\frac {1}{2m}}{({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}^{2}\psi \quad \Leftrightarrow \quad {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}^{2}+q\phi .}$

Вращаться1/2

С нерелятивистской точки зрения спин был феноменологически введен Паули в уравнение Паули в 1927 году для частиц в электромагнитном поле :

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-q\phi \right)\psi =\left[{\frac {1}{2m}}{({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))}^{2}\right]\psi \quad \Leftrightarrow \quad {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))}^{2}+q\phi }$

с помощью матриц Паули 2 × 2 , а ψ — это не просто скалярная волновая функция, как в нерелятивистском уравнении Шрёдингера, а двухкомпонентное спинорное поле :

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\uparrow }\\\psi _{\downarrow }\end{pmatrix}}}$

где индексы ↑ и ↓ относятся к «раскрутке вверх» ( σ = +1/2) и «спин вниз» ( σ = −1/2) состояния. ^[б]

В RQM уравнение Дирака также может включать минимальную связь, переписанную выше;

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-q\phi \right)\psi =\gamma ^{0}\left[c{\boldsymbol {\gamma }}\cdot {({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}-mc^{2}\right]\psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[\gamma ^{\mu }({\hat {P}}_{\mu }-qA_{\mu })-mc^{2}\right]\psi =0}$

и было первым уравнением, которое точно предсказывало вращение, как следствие гамма-матриц 4 × 4 γ ⁰ = β , γ = ( γ ₁ , γ ₂ , γ ₃ ) = β α = ( βα ₁ , βα ₂ , βα ₃ ) . Существует единичная матрица 4 × 4 , предварительно умножающая оператор энергии (включая член потенциальной энергии), обычно не записываемая для простоты и ясности (т.е. рассматриваемая как число 1). Здесь ψ — четырехкомпонентное спинорное поле, которое условно разбивается на два двухкомпонентных спинора в виде: ^[c]

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{+\uparrow }\\\psi _{+\downarrow }\\\psi _{-\uparrow }\\\psi _{-\downarrow }\end{pmatrix}}}$

2-спинор ψ ₊ соответствует частице с 4-импульсом ( E , p ) и зарядом q и двумя спиновыми состояниями ( σ = ±1/2, как прежде). Другой 2-спинор ψ _- соответствует аналогичной частице с той же массой и спиновыми состояниями, но отрицательным 4-импульсом - ( E , p ) и отрицательным зарядом - q , то есть состояниями с отрицательной энергией, обращенным во времени импульсом и отрицательный заряд . Это была первая интерпретация и предсказание частицы и соответствующей античастицы . См. спинор и биспинор Дирака для дальнейшего описания этих спиноров. В нерелятивистском пределе уравнение Дирака сводится к уравнению Паули (о том, как это сделать, см. в уравнении Дирака ). При применении одноэлектронного атома или иона, установив A = 0 и φ равным соответствующему электростатическому потенциалу, дополнительные релятивистские члены включают спин-орбитальное взаимодействие , гиромагнитное отношение электронов и член Дарвина . В обычной КМ эти члены приходится вводить вручную и обрабатывать с помощью теории возмущений . Положительные энергии действительно точно объясняют тонкую структуру.

В рамках RQM для безмассовых частиц уравнение Дирака сводится к:

${\displaystyle \left({\frac {\hat {E}}{c}}+{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\right)\psi _{+}=0\,,\quad \left({\frac {\hat {E}}{c}}-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\right)\psi _{-}=0\quad \rightleftharpoons \quad \sigma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }\psi _{+}=0\,,\quad \sigma _{\mu }{\hat {P}}^{\mu }\psi _{-}=0\,,}$

первое из них — уравнение Вейля , значительное упрощение, применимое к безмассовым нейтрино . ^[26] На этот раз имеется единичная матрица 2 × 2 , предварительно умножающая оператор энергии, который обычно не записывается. В RQM полезно принять это как нулевую матрицу Паули σ ₀ , которая связана с оператором энергии (производная по времени), так же, как другие три матрицы связаны с оператором импульса (пространственные производные).

Матрицы Паули и гамма были введены здесь, в теоретической физике, а не в самой чистой математике . Они имеют приложения к кватернионам и к группам Ли SO(2) и SO(3) , поскольку они удовлетворяют важным соотношениям коммутатора [, ] и антикоммутатора [, ] ₊ соответственно:

${\displaystyle \left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]=2i\varepsilon _{abc}\sigma _{c}\,,\quad \left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]_{+}=2\delta _{ab}\sigma _{0}}$

где ε _abc — трехмерный символ Леви-Чивита . Гамма-матрицы образуют базисы в алгебре Клиффорда и связаны с компонентами плоского пространства-времени метрики Минковского η ^αβ в антикоммутационном отношении:

${\displaystyle \left[\gamma ^{\alpha },\gamma ^{\beta }\right]_{+}=\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta }+\gamma ^{\beta }\gamma ^{\alpha }=2\eta ^{\alpha \beta }\,,}$

(Это можно распространить на искривленное пространство-время , введя Фирбенса , но это не является предметом специальной теории относительности).

В 1929 году было обнаружено, что уравнение Брейта описывает два или более электромагнитно взаимодействующих массивных спина. 1/2фермионы к релятивистским поправкам первого порядка; одна из первых попыток описать такую ​​релятивистскую квантовую многочастичную систему . Однако это всего лишь приближение, и гамильтониан включает в себя множество длинных и сложных сумм.

Спиральность и хиральность

Оператор спиральности определяется как;

${\displaystyle {\hat {h}}={\hat {\mathbf {S} }}\cdot {\frac {\hat {\mathbf {p} }}{|\mathbf {p} |}}={\hat {\mathbf {S} }}\cdot {\frac {c{\hat {\mathbf {p} }}}{\sqrt {E^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}}}}}$

где p — оператор импульса, S — оператор спина для частицы со спином s , E — полная энергия частицы, а m _{0 —} ее масса покоя. Спиральность указывает на ориентацию векторов спина и поступательного импульса. ^[27] Спиральность зависит от системы отсчета из-за 3-импульса в определении и квантуется из-за спинового квантования, которое имеет дискретные положительные значения для параллельного выравнивания и отрицательные значения для антипараллельного выравнивания.

Автоматическим появлением в уравнении Дирака (и уравнении Вейля) является проекция спина 1/2оператор на 3-импульсе (время c ), σ · c p , который является спиральностью (для спина 1/2случай) раз . ${\displaystyle {\sqrt {E^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}}}}$

Для безмассовых частиц спиральность упрощается до:

${\displaystyle {\hat {h}}={\hat {\mathbf {S} }}\cdot {\frac {c{\hat {\mathbf {p} }}}{E}}}$

Высшие вращения

Уравнение Дирака может описывать только частицы со спином 1/2. Помимо уравнения Дирака, RWE были применены к свободным частицам различного спина. В 1936 году Дирак распространил свое уравнение на все фермионы, три года спустя Фирц и Паули повторно вывели то же уравнение. ^[28] Уравнения Баргмана -Вигнера были найдены в 1948 году с использованием теории групп Лоренца, применимой для всех свободных частиц с любым спином. ^{[29] [30]} Принимая во внимание факторизацию уравнения КГ, приведенную выше, и, более строго, с помощью теории групп Лоренца , становится очевидным введение спина в виде матриц.

Волновые функции представляют собой многокомпонентные спинорные поля , которые можно представить в виде вектор-столбцов функций пространства и времени:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }={\begin{bmatrix}{\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}}$

где выражение справа является эрмитовым сопряжением . Для массивной частицы со спином s имеется 2 s + 1 компонента для частицы и еще 2 s + 1 для соответствующей античастицы (в каждом случае имеется 2 s + 1 возможных значений σ ), что в совокупности образует 2(2 s + 1) -компонента спинорного поля:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{+,\,\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{+,\,\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{+,\,\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{+,\,\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-,\,\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-,\,\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{-,\,\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-,\,\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }{\begin{bmatrix}{\psi _{+,\,\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{+,\,\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{-,\,\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}}$

с индексом +, обозначающим частицу, и индексом -, обозначающим античастицу. Однако для безмассовых частиц со спином s существуют только двухкомпонентные спинорные поля; один предназначен для частицы в одном состоянии спиральности, соответствующем + s , а другой для античастицы в противоположном состоянии спиральности, соответствующем − s :

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{pmatrix}\psi _{+}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-}(\mathbf {r} ,t)\end{pmatrix}}}$

Согласно релятивистскому соотношению энергии-импульса, все безмассовые частицы движутся со скоростью света, поэтому частицы, движущиеся со скоростью света, также описываются двухкомпонентными спинорами. Исторически Эли Картан обнаружил наиболее общую форму спиноров в 1913 году, до того, как спиноры были обнаружены в RWE после 1927 года.

Для уравнений, описывающих частицы с более высоким спином, учет взаимодействий далеко не просто минимальная связь, они приводят к неверным предсказаниям и самонесогласованности. ^[31] Для вращения болеечас/2RWE не фиксируется массой, спином и электрическим зарядом частицы; электромагнитные моменты ( электрические дипольные моменты и магнитные дипольные моменты ), допускаемые спиновым квантовым числом, произвольны. (Теоретически, свой вклад внес бы и магнитный заряд ). Например, вращение 1/2В этом случае возможен только магнитный диполь, но для частиц со спином 1 также возможны магнитные квадруполи и электрические диполи. ^[26] Дополнительную информацию по этой теме см. в статье «Мультипольное разложение» и (например) Седрика Лорсе (2009). ^{[32] [33]}

Оператор скорости

Оператор скорости Шрёдингера/Паули можно определить для массивной частицы, используя классическое определение p = m v и заменив квантовые операторы обычным способом: ^[34]

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}={\frac {1}{m}}{\hat {\mathbf {p} }}}$

который имеет собственные значения, принимающие любые значения. В RQM, теории Дирака, это:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\mathbf {r} }}\right]}$

который должен иметь собственные значения между ± c . Для получения более подробной теоретической информации см. Преобразование Фолди – Ваутхейзена .

Релятивистские квантовые лагранжианы

Гамильтоновы операторы в картине Шрёдингера представляют собой один из подходов к формированию дифференциальных уравнений для ψ . Эквивалентной альтернативой является определение лагранжиана (на самом деле это означает плотность лагранжа ), а затем создание дифференциального уравнения с помощью теоретико-полевого уравнения Эйлера – Лагранжа :

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0\,}$

Для некоторых RWE лагранжиан можно найти путем проверки. Например, лагранжиан Дирака: ^[35]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {\psi }}(\gamma ^{\mu }P_{\mu }-mc)\psi }$

и лагранжиан Клейна-Гордона:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\psi ^{*}\partial _{\nu }\psi -mc^{2}\psi ^{*}\psi \,.}$

Это возможно не для всех RWE; и это одна из причин, по которой теоретико-групповой подход Лоренца важен и привлекателен: фундаментальная инвариантность и симметрия в пространстве и времени могут использоваться для получения RWE с использованием соответствующих групповых представлений. Лагранжев подход с полевой интерпретацией ψ является предметом QFT, а не RQM: формулировка интеграла по путям Фейнмана использует инвариантные лагранжианы, а не гамильтоновы операторы, поскольку последние могут стать чрезвычайно сложными, см. (например) Weinberg (1995). ^[36]

Релятивистский квантовый угловой момент

В нерелятивистской КМ оператор углового момента формируется на основе классического определения псевдовектора L = r × p . В RQM операторы положения и импульса вставляются непосредственно там, где они появляются в орбитальном релятивистском тензоре углового момента , определенном из четырехмерного положения и импульса частицы, что эквивалентно бивектору в формализме внешней алгебры : ^{[37] [d]}

${\displaystyle M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }=2X^{[\alpha }P^{\beta ]}\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} \,,}$

всего шесть компонентов: три — нерелятивистские 3-орбитальные угловые моменты; M ¹² = L ³ , M ²³ = L ¹ , M ³¹ = L ² , а остальные три M ⁰¹ , M ⁰² , M ⁰³ являются повышениями центра масс вращающегося объекта. Для частиц со спином необходимо добавить дополнительный релятивистский квантовый член. Для частицы массы покоя m тензор полного момента импульса равен:

${\displaystyle J^{\alpha \beta }=2X^{[\alpha }P^{\beta ]}+{\frac {1}{m^{2}}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }W_{\gamma }p_{\delta }\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {J} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} +{\frac {1}{m^{2}}}\star (\mathbf {W} \wedge \mathbf {P} )}$

где звездочка обозначает двойственный Ходжу , а

${\displaystyle W_{\alpha }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }M^{\beta \gamma }p^{\delta }\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {W} =\star (\mathbf {M} \wedge \mathbf {P} )}$

– псевдовектор Паули–Любанского . ^[38] Подробнее о релятивистском спине см. (например) Трошин и Тюрин (1994). ^[39]

Прецессия Томаса и спин-орбитальные взаимодействия

В 1926 году открыта прецессия Томаса : релятивистские поправки к спину элементарных частиц с применением в спин-орбитальном взаимодействии атомов и вращении макроскопических объектов. ^{[40] [41]} В 1939 году Вигнер вывел прецессию Томаса.

В классическом электромагнетизме и специальной теории относительности электрон, движущийся со скоростью v через электрическое поле E , но не через магнитное поле B , в своей собственной системе отсчета будет испытывать преобразованное Лоренцем магнитное поле B' :

${\displaystyle \mathbf {B} '={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{c^{2}{\sqrt {1-\left(v/c\right)^{2}}}}}\,.}$

В нерелятивистском пределе v << c :

${\displaystyle \mathbf {B} '={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{c^{2}}}\,,}$

поэтому нерелятивистский гамильтониан спинового взаимодействия принимает вид: ^[42]

${\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {B} '\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}=-\left(\mathbf {B} +{\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}\,,}$

где первый член — это уже нерелятивистское взаимодействие магнитных моментов, а второй член — релятивистская поправка порядка ( v/c )² , но это расходится с экспериментальными атомными спектрами в 1/2 раза . Л. Томас указал на существование второго релятивистского эффекта: составляющая электрического поля, перпендикулярная скорости электрона, вызывает дополнительное ускорение электрона, перпендикулярное его мгновенной скорости, поэтому электрон движется по искривленной траектории. Электрон движется во вращающейся системе отсчета , и эта дополнительная прецессия электрона называется прецессией Томаса . Можно показать ^[43] , что конечным результатом этого эффекта является уменьшение спин-орбитального взаимодействия вдвое, как если бы магнитное поле, испытываемое электроном, имело только половину величины, а релятивистская поправка в гамильтониане является:

${\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {B} '\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}=-\left(\mathbf {B} +{\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{2c^{2}}}\right)\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}\,.}$

В случае RQM коэффициент 1 ⁄ 2 прогнозируется уравнением Дирака. ^[42]

История

События, которые привели и установили RQM, а также продолжение квантовой электродинамики (QED), кратко изложены ниже [см., например, R. Resnick и R. Eisberg (1985), ^[44] и PW Atkins (1974) ^{[ 45]} ]. Более полувека экспериментальных и теоретических исследований новой и загадочной квантовой теории с 1890-х по 1950-е годы показали, что ряд явлений нельзя объяснить только с помощью КМ. СР, обнаруженная на рубеже 20-го века, оказалась необходимым компонентом, ведущим к унификации: RQM. Теоретические предсказания и эксперименты в основном были сосредоточены на недавно открытых атомной физике , ядерной физике и физике элементарных частиц ; рассматривая спектроскопию , дифракцию и рассеяние частиц, а также электронов и ядер внутри атомов и молекул. Многочисленные результаты объясняются эффектами спина.

Релятивистское описание частиц в квантовых явлениях

Альберт Эйнштейн в 1905 году объяснил фотоэлектрический эффект ; Частичное описание света как фотонов . В 1916 году Зоммерфельд объясняет тонкую структуру ; расщепление спектральных линий атомов из-за релятивистских поправок первого порядка . Эффект Комптона 1923 года предоставил дополнительные доказательства того, что специальная теория относительности действительно применима; в данном случае к корпускулярному описанию фотонно-электронного рассеяния. де Бройль распространяет корпускулярно-волновой дуализм на материю : соотношения де Бройля , которые согласуются со специальной теорией относительности и квантовой механикой. К 1927 году Дэвиссон и Гермер и отдельно Г. Томсон успешно дифрагировали электроны, предоставив экспериментальные доказательства корпускулярно-волнового дуализма.

Эксперименты

• 1897 Дж. Дж. Томсон открывает электрон и измеряет отношение его массы к заряду . Открытие эффекта Зеемана : расщепление спектральной линии на несколько компонент в присутствии постоянного магнитного поля.
• 1908 Милликен измеряет заряд электрона и находит экспериментальное подтверждение его квантования в эксперименте с каплей масла .
• 1911 Рассеяние альфа-частиц в эксперименте Гейгера-Марсдена под руководством Резерфорда показало, что атомы обладают внутренней структурой: атомным ядром . ^[46]
• 1913 Открыт эффект Штарка : расщепление спектральных линий из-за постоянного электрического поля (сравните с эффектом Зеемана).
• 1922 г. Эксперимент Штерна-Герлаха : экспериментальное свидетельство спина и его квантования.
• 1924 Стоунер изучает расщепление энергетических уровней в магнитных полях .
• 1932 Экспериментальное открытие нейтрона Чедвиком и позитронов Андерсоном , подтверждающее теоретическое предсказание позитронов .
• 1958 Открытие эффекта Мессбауэра : резонансное излучение и поглощение гамма-излучения без отдачи атомными ядрами, связанными в твердом теле, полезное для точных измерений гравитационного красного смещения и замедления времени , а также для анализа ядерных электромагнитных моментов в сверхтонких взаимодействиях . ^[47]

Квантовая нелокальность и релятивистская локальность

В 1935 году Эйнштейн, Розен и Подольский опубликовали статью ^[48] о квантовой запутанности частиц, поставив под сомнение квантовую нелокальность и очевидное нарушение причинности, поддерживаемой в СТО: может показаться, что частицы мгновенно взаимодействуют на произвольных расстояниях. Это было заблуждение, поскольку информация не передается и не может передаваться в запутанных состояниях; скорее передача информации происходит в процессе измерения двумя наблюдателями (один наблюдатель должен послать другому сигнал, который не может превышать c ). QM не нарушает SR. ^{[49] [50]} В 1959 году Бом и Ааронов публикуют статью ^[51] об эффекте Ааронова-Бома , ставя под сомнение статус электромагнитных потенциалов в КМ. Формулировки тензора ЭМ-поля и ЭМ-4-потенциала применимы в СТО, но в КМ потенциалы входят в гамильтониан (см. выше) и влияют на движение заряженных частиц даже в областях, где поля равны нулю. В 1964 году теорема Белла была опубликована в статье о парадоксе ЭПР ^[52], показывающая, что КМ не может быть получена из локальных теорий скрытых переменных , если необходимо сохранить локальность.

Смена Лэмба

В 1947 году был открыт лэмбовский сдвиг: небольшая разница в _{уровнях} ² S _1/2 и ² P _1/2 водорода, обусловленная взаимодействием электрона _{и вакуума .} Ламб и Ретерфорд экспериментально измеряют вынужденные радиочастотные переходы на уровнях водорода ² S _{1 ⁄ 2} и ² P _{1 ⁄ 2} с помощью микроволнового излучения. ^[53] Объяснение лэмбовского сдвига представлено Бете . Статьи об этом эффекте были опубликованы в начале 1950-х годов. ^[54]

Развитие квантовой электродинамики

• 1927 Дирак основывает область КЭД, также введя термин «квантовая электродинамика». ^[55]
• 1943 Томонага начинает работу по перенормировке , влиятельную в КЭД.
• 1947 Швингер вычисляет аномальный магнитный момент электрона . Куш измеряет аномальный магнитный момент электрона, подтверждая одно из величайших предсказаний КЭД.

Смотрите также

Сноски

1. Другие распространенные обозначения включают m _s , s _{z и} т. д., но это загромождает выражения ненужными индексами. Индексы σ , обозначающие значения спина, не следует путать с тензорными индексами или матрицами Паули .
2. Это спинорное обозначение не обязательно является стандартным; в литературе обычно пишут и т . д., но в контексте спина  ${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}u^{1}\\u^{2}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\chi \\\eta \end{pmatrix}}}$1/2, эта неофициальная идентификация обычно делается.
3. Опять же, это обозначение не обязательно является стандартным, в более продвинутой литературе обычно пишут

   ${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u^{1}\\u^{2}\\v^{1}\\v^{2}\end{pmatrix}}}$и т. д.,

   но здесь мы неформально показываем соответствие состояний энергии, спиральности и спина.
4. Некоторые авторы, в том числе Пенроуз, используют в этом определении латинские буквы, хотя принято использовать греческие индексы для векторов и тензоров в пространстве-времени.

Рекомендации

1. Перкинс, Д.Х. (2000). Введение в физику высоких энергий. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-62196-0.
2. Мартин, BR; Шоу, Дж. (03 декабря 2008 г.). Физика частиц . Манчестерская серия по физике (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 3. ISBN 978-0-470-03294-7.
3. Рейхер, М.; Вольф, А. (2009). Релятивистская квантовая химия. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-3-527-62749-3.
4. Стрэндж, П. (1998). Релятивистская квантовая механика: с приложениями в конденсированном состоянии и атомной физике. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-56583-7.
5. Мон, П. (2003). Магнетизм в твердом состоянии: Введение. Ряд Спрингера в серии по наукам о твердом теле. Том. 134. Спрингер. п. 6. ISBN 978-3-540-43183-1.
6. Мартин, БР; Шоу, Дж. (03 декабря 2008 г.). Физика частиц . Манчестерская серия по физике (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. стр. 5–6. ISBN 978-0-470-03294-7.
7. Мессия, А. (1981). Квантовая механика. Том. 2. Издательство «Северная Голландия». п. 875. ИСБН 978-0-7204-0045-8.
8. Форшоу, младший; Смит, АГ (2009). Динамика и относительность . Манчестерская серия по физике. Джон Уайли и сыновья. стр. 258–259. ISBN 978-0-470-01460-8.
9. Грейнер, В. (2000). Релятивистская квантовая механика. Волновые уравнения (3-е изд.). Спрингер. п. 70. ИСБН 978-3-540-67457-3.
10. Вахтер, А. (2011). «Релятивистская квантовая механика». Спрингер. п. 34. ISBN 978-90-481-3645-2.
11. Вайнберг, С. (1964). «Правила Фейнмана для любого вращения» (PDF) . Физ. Преподобный . 133 (5Б): Б1318–Б1332. Бибкод : 1964PhRv..133.1318W. doi :10.1103/PhysRev.133.B1318. Архивировано из оригинала (PDF) 4 декабря 2020 г. Проверено 24 августа 2014 г.; Вайнберг, С. (1964). «Правила Фейнмана для любого спина. II. Безмассовые частицы» (PDF) . Физ. Преподобный . 134 (4Б): Б882–Б896. Бибкод : 1964PhRv..134..882W. doi :10.1103/PhysRev.134.B882. Архивировано из оригинала (PDF) 9 марта 2022 г. Проверено 14 апреля 2013 г.
    ; Вайнберг, С. (1969). «Правила Фейнмана для любого вращения. III» (PDF) . Физ. Преподобный . 181 (5): 1893–1899. Бибкод : 1969PhRv..181.1893W. doi : 10.1103/PhysRev.181.1893. Архивировано из оригинала (PDF) 25 марта 2022 г. Проверено 14 апреля 2013 г.
    
12. Масакацу, К. (2012). «Проблема сверхизлучения бозонов и фермионов для вращающихся черных дыр в формулировке Баргмана – Вигнера». arXiv : 1208.0644 [gr-qc].
13. Паркер, CB (1994). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). МакГроу Хилл. стр. 1193–1194. ISBN 978-0-07-051400-3.
14. Резник, Р.; Айсберг, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 274. ИСБН 978-0-471-87373-0.
15. Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (1981). Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Том. 3. Эльзевир. п. 455. ИСБН 978-0-08-050348-6.
16. Пелег, Ю.; Пнини, Р.; Заарур, Э.; Хехт, Э. (2010). Квантовая механика . Очерки Шаума (2-е изд.). МакГроу-Хилл. п. 181. ИСБН 978-0-07-162358-2.
17. Аберс, Э. (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. п. 425. ИСБН 978-0-13-146100-0.
18. Вахтер, А. (2011). «Релятивистская квантовая механика». Спрингер. п. 5. ISBN 978-90-481-3645-2.
19. Аберс, Э. (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. п. 415. ИСБН 978-0-13-146100-0.
20. Пенроуз, Р. (2005). Дорога к реальности . Винтажные книги. стр. 620–621. ISBN 978-0-09-944068-0.
21. Брансден, Британская Колумбия; Хоахейн, CJ (1983). Физика атомов и молекул (1-е изд.). Прентис Холл. п. 634. ИСБН 978-0-582-44401-0.
22. Гранди, WT (1991). Релятивистская квантовая механика лептонов и полей. Спрингер. п. 54. ИСБН 978-0-7923-1049-5.
23. Аберс, Э. (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. п. 423. ИСБН 978-0-13-146100-0.
24. МакМахон, Д. (2008). Квантовая теория поля . Демистифицировано. МакГроу Хилл. п. 114. ИСБН 978-0-07-154382-8.
25. Брансден, Британская Колумбия; Хоахейн, CJ (1983). Физика атомов и молекул (1-е изд.). Прентис Холл. стр. 632–635. ISBN 978-0-582-44401-0.
26. Паркер, CB (1994). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). МакГроу Хилл. п. 1194. ИСБН 978-0-07-051400-3..
27. Лабелль, П. (2010). Суперсимметрия . Демистифицировано. МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-163641-4.
28. Эспозито, С. (2011). «В поисках уравнения: Дирак, Майорана и другие». Анналы физики . 327 (6): 1617–1644. arXiv : 1110.6878 . Бибкод : 2012AnPhy.327.1617E. дои : 10.1016/j.aop.2012.02.016. S2CID  119147261.
29. Баргманн, В.; Вигнер, EP (1948). «Групповое теоретическое обсуждение релятивистских волновых уравнений». Учеб. Натл. акад. наук. США . 34 (5): 211–23. Бибкод : 1948PNAS...34..211B. дои : 10.1073/pnas.34.5.211 . ПМК 1079095 . ПМИД  16578292. 
30. Вигнер, Э. (1937). «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца» (PDF) . Анналы математики . 40 (1): 149–204. Бибкод : 1939AnMat..40..149W. дои : 10.2307/1968551. JSTOR  1968551. S2CID  121773411. Архивировано из оригинала (PDF) 4 октября 2015 г. Проверено 14 апреля 2013 г.
31. Ярошевич, Т.; Курзепа, П.С. (1992). «Геометрия пространственно-временного распространения вращающихся частиц». Анналы физики . 216 (2): 226–267. Бибкод : 1992AnPhy.216..226J. дои : 10.1016/0003-4916(92)90176-М.
32. Лорсе, Седрик (2009). «Электромагнитные свойства частиц с произвольным спином: Часть 1 — Электромагнитный ток и мультипольный разложение». arXiv : 0901.4199 [геп-ф].
33. Лорсе, Седрик (2009). «Электромагнитные свойства частиц с произвольным спином: Часть 2 — Естественные моменты и плотности поперечного заряда». Физический обзор D . 79 (11): 113011. arXiv : 0901.4200 . Бибкод : 2009PhRvD..79k3011L. doi : 10.1103/PhysRevD.79.113011. S2CID  17801598.
34. Стрэндж, П. (1998). Релятивистская квантовая механика: с приложениями в конденсированном состоянии и атомной физике. Издательство Кембриджского университета. п. 206. ИСБН 978-0-521-56583-7.
35. Лабелль, П. (2010). Суперсимметрия . Демистифицировано. МакГроу-Хилл. п. 14. ISBN 978-0-07-163641-4.
36. Вайнберг, С. (1995). Квантовая теория полей. Том. 1. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55001-7.
37. Пенроуз, Р. (2005). Дорога к реальности . Винтажные книги. стр. 437, 566–569. ISBN 978-0-09-944068-0.
38. Райдер, Л.Х. (1996). Квантовая теория поля (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 62. ИСБН 978-0-521-47814-4.
39. Трошин, С.М.; Тюрин Н.Е. (1994). Спиновые явления во взаимодействиях частиц. Всемирная научная. Бибкод : 1994sppi.book.....T. ISBN 978-981-02-1692-4.
40. Миснер, CW ; Торн, Канзас ; Уилер, Дж. А. (15 сентября 1973 г.). Гравитация . Макмиллан. п. 1146. ИСБН 978-0-7167-0344-0.
41. Чуфолини, И.; Мацнер, RRA (2010). Общая теория относительности и Джон Арчибальд Уилер. Спрингер. п. 329. ИСБН 978-90-481-3735-0.
42. Кремер, Х. (2003). «Фактор прецессии Томаса в спин-орбитальном взаимодействии» (PDF) . Американский журнал физики . 72 (1): 51–52. arXiv : физика/0310016 . Бибкод : 2004AmJPh..72...51K. дои : 10.1119/1.1615526. S2CID  119533324.
43. Джексон, JD (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли. п. 548. ИСБН 978-0-471-30932-1.
44. Резник, Р.; Эйсберг, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. стр. 57, 114–116, 125–126, 272. ISBN. 978-0-471-87373-0.
45. Аткинс, PW (1974). Кванта: Справочник концепций . Издательство Оксфордского университета. стр. 168–169, 176, 263, 228. ISBN . 978-0-19-855493-6.
46. Крейн, К.С. (1988). Введение в ядерную физику . Джон Уайли и сыновья. стр. 396–405. ISBN 978-0-471-80553-3.
47. Крейн, К.С. (1988). Введение в ядерную физику . Джон Уайли и сыновья. стр. 361–370. ISBN 978-0-471-80553-3.
48. Эйнштейн, А.; Подольский, Б.; Розен, Н. (1935). «Можно ли квантово-механическое описание физической реальности считать полным?» (PDF) . Физ. Преподобный . 47 (10): 777–780. Бибкод : 1935PhRv...47..777E. дои : 10.1103/PhysRev.47.777 .
49. Аберс, Э. (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. п. 192. ИСБН 978-0-13-146100-0.
50. Пенроуз, Р. (2005). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-09-944068-0. Глава 23 : Запутанный квантовый мир
51. Ааронов, Ю.; Бом, Д. (1959). «Значение электромагнитных потенциалов в квантовой теории». Физический обзор . 115 (3): 485–491. Бибкод : 1959PhRv..115..485A. дои : 10.1103/PhysRev.115.485 .
52. Белл, Джон (1964). «О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена» (PDF) . Физика . 1 (3): 195–200. doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195 .
53. Лэмб, Уиллис Э .; Ретерфорд, Роберт К. (1947). «Тонкая структура атома водорода микроволновым методом». Физический обзор . 72 (3): 241–243. Бибкод : 1947PhRv...72..241L. дои : 10.1103/PhysRev.72.241 .
54. Лэмб, МЫ младший и Ретерфорд, Р.К. (1950). «Тонкая структура атома водорода. Часть I». Физ. Преподобный . 79 (4): 549–572. Бибкод : 1950PhRv...79..549L. doi : 10.1103/PhysRev.79.549.
    Лэмб, М.И. младший и Ретерфорд, Р.К. (1951). «Тонкая структура атома водорода. Часть II». Физ. Преподобный . 81 (2): 222–232. Бибкод : 1951PhRv...81..222L. doi : 10.1103/PhysRev.81.222.Лэмб, МЫ младший (1952). «Тонкая структура атома водорода. III». Физ. Преподобный . 85 (2): 259–276. Бибкод : 1952PhRv...85..259L. doi : 10.1103/PhysRev.85.259. ПМИД  17775407.
    Лэмб, М.И. младший и Ретерфорд, Р.К. (1952). «Тонкая структура атома водорода. IV». Физ. Преподобный . 86 (6): 1014–1022. Бибкод : 1952PhRv...86.1014L. doi : 10.1103/PhysRev.86.1014. ПМИД  17775407.
    Трибвассер, С.; Дайхофф, Э.С. и Лэмб, МЫ-младший (1953). «Тонкая структура атома водорода. V». Физ. Преподобный . 89 (1): 98–106. Бибкод : 1953PhRv...89...98T. дои : 10.1103/PhysRev.89.98.
55. Дирак, Поль (1 марта 1927). «Квантовая теория испускания и поглощения излучения». Труды Лондонского королевского общества. Серия А, содержащая статьи математического и физического характера . 114 (767): 243–265. дои : 10.1098/rspa.1927.0039 . ISSN  0950-1207.

Избранные книги

• Дирак, ПАМ (1981). Принципы квантовой механики (4-е изд.). Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-852011-5.
• Дирак, ПАМ (1964). Лекции по квантовой механике. Публикации Courier Dover. ISBN 978-0-486-41713-4.
• Таллер, Б. (2010). Уравнение Дирака. Спрингер. ISBN 978-3-642-08134-7.
• Паули, В. (1980). Общие принципы квантовой механики. Спрингер. ISBN 978-3-540-09842-3.
• Мерцбахер, Э. (1998). Квантовая механика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-88702-7.
• Мессия, А. (1961). Квантовая механика . Том. 1. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-59766-7.
• Бьоркен, доктор юридических наук; Дрелл, С.Д. (1964). Релятивистская квантовая механика (Чистая и прикладная физика) . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-005493-6.
• Фейнман, Р.П.; Лейтон, РБ; Сэндс, М. (1965). Фейнмановские лекции по физике. Том. 3. Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-02118-9.
• Шифф, Л.И. (1968). Квантовая механика (3-е изд.). МакГроу-Хилл.
• Дайсон, Ф. (2011). Продвинутая квантовая механика (2-е изд.). Всемирная научная. ISBN 978-981-4383-40-0.
• Клифтон, РК (2011). Перспективы квантовой реальности: нерелятивистские, релятивистские и теоретико-полевые. Спрингер. ISBN 978-90-481-4643-7.
• Таннуджи, К. ; Диу, Б.; Лалоэ, Ф. (1977). Квантовая механика . Том. 1. Вайли ВЧ. ISBN 978-0-471-16433-3.
• Таннуджи, К. ; Диу, Б.; Лалоэ, Ф. (1977). Квантовая механика . Том. 2. Вайли ВЧ. ISBN 978-0-471-16435-7.
• Рэй, AIM (2008). Квантовая механика. Том. 2 (5-е изд.). Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1-58488-970-0.
• Пилкун, Х. (2005). Релятивистская квантовая механика. Серия «Тексты и монографии по физике» (2-е изд.). Спрингер. ISBN 978-3-540-28522-9.
• Партасарати, Р. (2010). Релятивистская квантовая механика. Альфа Сайенс Интернэшнл. ISBN 978-1-84265-573-3.
• Калдор, У.; Уилсон, С. (2003). Теоретическая химия и физика тяжелых и сверхтяжелых элементов. Спрингер. ISBN 978-1-4020-1371-3.
• Таллер, Б. (2005). Продвинутая визуальная квантовая механика. Спрингер. Бибкод : 2005avqm.book.....T. ISBN 978-0-387-27127-9.
• Брейер, HP; Петруччионе, Ф. (2000). Релятивистское квантовое измерение и декогеренция. Спрингер. ISBN 978-3-540-41061-4. Релятивистская квантовая механика.
• Шеперд, Пи Джей (2013). Курс теоретической физики. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-1-118-51692-8.
• Бете, HA ; Джекив, RW (1997). Промежуточная квантовая механика. Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-32831-8.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
• Хайтлер, В. (1954). Квантовая теория излучения (3-е изд.). Публикации Courier Dover. ISBN 978-0-486-64558-2.
• Готфрид, К.; Ян, Т. (2003). Квантовая механика: основы (2-е изд.). Спрингер. п. 245. ИСБН 978-0-387-95576-6.
• Швабль, Ф. (2010). Квантовая механика. Спрингер. п. 220. ИСБН 978-3-540-71933-5.
• Сакс, Р.Г. (1987). Физика обращения времени (2-е изд.). Издательство Чикагского университета. п. 280. ИСБН 978-0-226-73331-9. сверхтонкая структура в релятивистской квантовой механике.

Теория групп в квантовой физике

• Вейль, Х. (1950). Теория групп и квантовая механика . Публикации Courier Dover. п. 203. ИСБН 9780486602691. магнитные моменты в релятивистской квантовой механике.
• Тунг, В.К. (1985). Теория групп в физике. Всемирная научная. ISBN 978-9971-966-56-0.
• Гейне, В. (1993). Теория групп в квантовой механике: введение в ее современное использование. Публикации Courier Dover. ISBN 978-0-486-67585-5.

Избранные статьи

• Дирак, ПАМ (1932). «Релятивистская квантовая механика». Труды Королевского общества А. 136 (829): 453–464. Бибкод : 1932RSPSA.136..453D. дои : 10.1098/rspa.1932.0094 .
• Паули, В. (1945). «Принцип исключения и квантовая механика» (PDF) .
• Антуан, JP (2004). «Релятивистская квантовая механика». Дж. Физ. А. _ 37 (4): 1465. Бибкод : 2004JPhA...37.1463P. CiteSeerX  10.1.1.499.2793 . дои : 10.1088/0305-4470/37/4/B01.
• Энно, М.; Тейтельбойм, К. (1982). «Релятивистская квантовая механика суперсимметричных частиц». Том. 143.
• Фанчи, младший (1986). «Параметризация релятивистской квантовой механики». Физ. Преподобный А. 34 (3): 1677–1681. Бибкод : 1986PhRvA..34.1677F. doi :10.1103/PhysRevA.34.1677. ПМИД  9897446.
• Орд, Дж. Н. (1983). «Фрактальное пространство-время: геометрический аналог релятивистской квантовой механики». Дж. Физ. А. _ 16 (9): 1869–1884. Бибкод : 1983JPhA...16.1869O. дои : 10.1088/0305-4470/16/9/012.
• Костер, Ф.; Полизу, WN (1982). «Релятивистская квантовая механика частиц с прямыми взаимодействиями». Физ. Преподобный Д. 26 (6): 1348–1367. Бибкод : 1982PhRvD..26.1348C. doi :10.1103/PhysRevD.26.1348.
• Манн, РБ; Ральф, TC (2012). «Релятивистская квантовая информация». Сорт. Квантовая гравитация . 29 (22): 220301. Бибкод : 2012CQGra..29v0301M. дои : 10.1088/0264-9381/29/22/220301. S2CID  123341332.
• Лоу, С.Г. (1997). «Канонически релятивистская квантовая механика: представления унитарной полупрямой группы Гейзенберга, U (1,3) * s H (1,3)». Дж. Математика. Физ . 38 (22): 2197–2209. arXiv : физика/9703008 . Бибкод : 2012CQGra..29v0301M. дои : 10.1088/0264-9381/29/22/220301. S2CID  123341332.
• Фронсдал, К.; Лундберг, Л.Е. (1997). «Релятивистская квантовая механика двух взаимодействующих частиц». Физ. Преподобный Д. 1 (12): 3247–3258. arXiv : физика/9703008 . Бибкод : 1970PhRvD...1.3247F. doi : 10.1103/PhysRevD.1.3247.
• Бордовицын В.А.; Мягкий, АН (2004). «Спин-орбитальное движение и прецессия Томаса в классической и квантовой теориях» (PDF) . Американский журнал физики . 72 (1): 51–52. arXiv : физика/0310016 . Бибкод : 2004AmJPh..72...51K. дои : 10.1119/1.1615526. S2CID  119533324.
• Ршибилас, К. (2013). «Комментарий к статье «Элементарный анализ специальной релятивистской комбинации скоростей, вращения Вигнера и прецессии Томаса»". Eur. J. Phys . 34 (3): L55–L61. Бибкод : 2013EJPh...34L..55R. doi : 10.1088/0143-0807/34/3/L55. S2CID  122527454.
• Корбен, ХК (1993). «Коэффициенты 2 в магнитных моментах, спин-орбитальном взаимодействии и прецессии Томаса». Являюсь. Дж. Физ . 61 (6): 551. Бибкод : 1993AmJPh..61..551C. дои : 10.1119/1.17207.

дальнейшее чтение

Релятивистская квантовая механика и теория поля

• Олссон, Т. (2011). Релятивистская квантовая физика: от продвинутой квантовой механики к вводной квантовой теории поля. Издательство Кембриджского университета. п. 10. ISBN 978-1-139-50432-4.
• Эйчисон, IJR; Привет, AJG (2002). Калибровочные теории в физике элементарных частиц: от релятивистской квантовой механики к КЭД. Том. 1 (3-е изд.). ЦРК Пресс. ISBN 978-0-8493-8775-3.
• Гриффитс, Д. (2008). Введение в элементарные частицы. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-3-527-61847-7.
• Капри, Антон З. (2002). Релятивистская квантовая механика и введение в квантовую теорию поля. Всемирная научная. Бибкод : 2002rqmi.book.....C. ISBN 978-981-238-137-8.
• Ву, Та-ю ; Хван, Вайоминг Паучи (1991). Релятивистская квантовая механика и квантовые поля. Всемирная научная. ISBN 978-981-02-0608-6.
• Нагашима, Ю. (2010). Физика элементарных частиц, Квантовая теория поля . Том. 1. ISBN 978-3-527-40962-4.
• Бьоркен, доктор юридических наук; Дрелл, С.Д. (1965). Релятивистские квантовые поля (Чистая и прикладная физика) . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-005494-3.
• Вайнберг, С. (1996). Квантовая теория полей . Том. 2. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55002-4.
• Вайнберг, С. (2000). Квантовая теория полей . Том. 3. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66000-6.
• Гросс, Ф. (2008). Релятивистская квантовая механика и теория поля. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-3-527-61734-0.
• Назаров Ю.В.; Данон, Дж. (2013). Передовая квантовая механика: Практическое руководство. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-76150-5.
• Боголюбов Н. Н. (1989). Общие принципы квантовой теории поля (2-е изд.). Спрингер. п. 272. ИСБН 978-0-7923-0540-8.
• Мандл, Ф.; Шоу, Г. (2010). Квантовая теория поля (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-49683-0.
• Линдгрен, И. (2011). Релятивистская теория многих тел: новый теоретико-полевой подход. Серия Springer по атомной, оптической физике и физике плазмы. Том. 63. Спрингер. ISBN 978-1-4419-8309-1.
• Грант, ИП (2007). Релятивистская квантовая теория атомов и молекул. Атомная, оптическая и плазменная физика. Спрингер. ISBN 978-0-387-34671-7.

Квантовая теория и приложения в целом

• Арульдас, Г.; Раджагопал, П. (2005). Современная физика. PHI Learning Pvt. ООО с. 395. ИСБН 978-81-203-2597-5.
• Хаммель, Р.Э. (2011). Электронные свойства материалов. Спрингер. п. 395. ИСБН 978-1-4419-8164-6.
• Павия, Д.Л. (2005). Введение в спектроскопию (4-е изд.). Cengage Обучение. п. 105. ИСБН 978-0-495-11478-9.
• Мизутани, У. (2001). Введение в электронную теорию металлов. Издательство Кембриджского университета. п. 387. ИСБН 978-0-521-58709-9.
• Чоппин, Г. Р. (2002). Радиохимия и ядерная химия (3-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. п. 308. ИСБН 978-0-7506-7463-8.
• Ситенко, А.Г. (1990). Теория ядерных реакций. Всемирная научная. п. 443. ИСБН 978-9971-5-0482-3.
• Нолтинг, В.; Рамакант, А. (2008). Квантовая теория магнетизма. Спрингер. ISBN 978-3-540-85416-6.
• Лут, Х. (2013). Квантовая физика в наномире. Дипломные тексты по физике. Спрингер. п. 149. ИСБН 978-3-642-31238-0.
• Саттлер, К.Д. (2010). Справочник по нанофизике: Функциональные наноматериалы. ЦРК Пресс. стр. 40–43. ISBN 978-1-4200-7553-3.
• Кузмани, Х. (2009). Спектроскопия твердого тела. Спрингер. п. 256. ИСБН 978-3-642-01480-2.
• Рид, Дж. М. (1984). Атомное ядро ​​(2-е изд.). Издательство Манчестерского университета. ISBN 978-0-7190-0978-5.
• Швердтфегер, П. (2002). Релятивистская теория электронной структуры - Основы. Теоретическая и вычислительная химия. Том. 11. Эльзевир. п. 208. ИСБН 978-0-08-054046-7.
• Пиела, Л. (2006). Идеи квантовой химии. Эльзевир. п. 676. ИСБН 978-0-08-046676-7.
• Кумар, М. (2009). Квант (книга) . ISBN 978-1-84831-035-3.

Внешние ссылки

• Пфайфер, В. (2008) [2004]. Релятивистская квантовая механика. Введение.
• Лукачевич, Игорь (2013). «Релятивистская квантовая механика (конспекты лекций)» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 26 августа 2014 г.
• «Релятивистская квантовая механика» (PDF) . Кавендишская лаборатория . Кембриджский университет .
• Миллер, Дэвид Дж. (2008). «Релятивистская квантовая механика» (PDF) . Университет Глазго . Архивировано из оригинала (PDF) 19 декабря 2020 г. Проверено 17 ноября 2020 г.
• Суонсон, генеральный директор (2007). «Основы и приложения квантовой механики» . Алабама, США: Тейлор и Фрэнсис. п. 160.
• Калверт, Дж. Б. (2003). «Частица электрон и прецессия Томаса».
• Артеха С.Н. «Спин и прецессия Томаса».