Геометрическое преобразование

Биекция множества с использованием свойств фигур в пространстве

В математике геометрическое преобразование — это любое биекция множества самому себе (или другому такому множеству) с некоторой явной геометрической основой. Точнее, это функция , областью определения и диапазоном которой являются наборы точек (чаще всего обе или обе ), так что функция является биективной , так что существует ее обратная . ^[1] К изучению геометрии можно подойти с помощью изучения этих преобразований. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Классификации

Геометрические преобразования можно классифицировать по размерности их наборов операндов (таким образом различая, скажем, плоские преобразования и пространственные преобразования). Их также можно классифицировать по сохраняемым свойствам:

• Смещения сохраняют расстояния и ориентированные углы (например, переводы ); ^[3]
• Изометрии сохраняют углы и расстояния (например, евклидовы преобразования ); ^{[4] [5]}
• Сходства сохраняют углы и соотношения между расстояниями (например, изменение размера); ^[6]
• Аффинные преобразования сохраняют параллелизм (например, масштабирование , сдвиг ); ^{[5] [7]}
• Проективные преобразования сохраняют коллинеарность ; ^[8]

Каждый из этих классов содержит предыдущий. ^[8]

• Преобразования Мёбиуса с использованием комплексных координат на плоскости (а также инверсия окружности ) сохраняют набор всех линий и окружностей, но могут менять местами линии и окружности.

• 
  Исходное изображение (на основе карты Франции)
• Изометрия
• 
  Сходство
• 
  Аффинное преобразование
• 
  Проективная трансформация
• 
  Инверсия

• Конформные преобразования сохраняют углы и представляют собой в первую очередь подобия.
• Эквиареальные преобразования сохраняют площади в плоском случае или объемы в трехмерном случае. ^[9] и являются в первом порядке аффинными преобразованиями определителя 1.
• Гомеоморфизмы (бинепрерывные преобразования) сохраняют окрестности точек.
• Диффеоморфизмы (бидифференцируемые преобразования) — это преобразования, аффинные в первом порядке; они содержат предыдущие как частные случаи и могут быть дополнительно уточнены.

• 
  Конформное преобразование
• 
  Эквиареальное преобразование
• 
  Гомеоморфизм
• 
  Диффеоморфизм

Преобразования одного типа образуют группы , которые могут быть подгруппами других групп преобразований.

Противоположные групповые действия

Многие геометрические преобразования выражаются с помощью линейной алгебры. Биективные линейные преобразования являются элементами общей линейной группы . Линейное преобразование A неособо. Для вектора-строки v матричное произведение vA дает другой вектор-строку w = vA .

Транспонирование вектора-строки v представляет собой вектор-столбец v ^T , а транспонирование приведенного выше равенства имеет ^вид Здесь AT обеспечивает левое действие на вектор-столбцы. ${\displaystyle w^{T}=(vA)^{T}=A^{T}v^{T}.}$

В геометрии преобразований существуют композиции AB . Начиная с вектора-строки v , правильное действие составного преобразования — w = vAB . После транспозиции

${\displaystyle w^{T}=(vAB)^{T}=(AB)^{T}v^{T}=B^{T}A^{T}v^{T}.}$

Таким образом, для AB соответствующее действие левой группы : При изучении противоположных групп проводится различие между действиями противоположных групп, поскольку коммутативные группы — единственные группы, для которых эти противоположности равны. ${\displaystyle B^{T}A^{T}.}$

Смотрите также

• Преобразование координат
• Эрлангенская программа
• Симметрия (геометрия)
• Движение
• Отражение
• Жесткая трансформация
• Вращение
• Топология
• Матрица трансформации

Рекомендации

1. Усиськин, Залман ; Перессини, Энтони Л.; Маркизотто, Елена ; Стэнли, Дик (2003). Математика для учителей средней школы: продвинутый взгляд . Пирсон Образование. п. 84. ИСБН 0-13-044941-5. ОСЛК  50004269.
2. Венема, Джерард А. (2006), Основы геометрии , Пирсон Прентис Холл , стр. 285, ISBN 9780131437005
3. «Перевод геометрии» . www.mathsisfun.com . Проверено 2 мая 2020 г.
4. «Геометрические преобразования — Евклидовы преобразования». Pages.mtu.edu . Проверено 2 мая 2020 г.
5. Геометрическое преобразование , с. 131, в Google Книгах.
6. «Преобразования». www.mathsisfun.com . Проверено 2 мая 2020 г.
7. «Геометрические преобразования — аффинные преобразования». Pages.mtu.edu . Проверено 2 мая 2020 г.
8. Леланд Уилкинсон, Д. Уиллс, Д. Роуп, А. Нортон, Р. Даббс - « Геометрические преобразования» , с. 182, в Google Книгах.
9. Геометрическое преобразование , с. 191, в Google Книгах Брюс Э. Мезерв – Фундаментальные понятия геометрии, стр. 191.]

дальнейшее чтение

• Адлер, Ирвинг (2012) [1966], Новый взгляд на геометрию , Дувр, ISBN 978-0-486-49851-5
• Динес, ЗП ; Голдинг, EW (1967). Геометрия через преобразования (3 тома): Геометрия искажения , Геометрия конгруэнтности , а также Группы и координаты . Нью-Йорк: Гердер и Гердер.
• Дэвид Ганс – Преобразования и геометрии .
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952). Геометрия и воображение (2-е изд.). Челси. ISBN 0-8284-1087-9.
• Джон Макклири (2013) Геометрия с дифференцируемой точки зрения , ISBN издательства Кембриджского университета 978-0-521-11607-7 
• Моденов П.С.; Пархоменко А.С. (1965) . Геометрические преобразования (2 тома): евклидовы и аффинные преобразования и проективные преобразования . Нью-Йорк: Академическая пресса.
• А.Н. Прессли – Элементарная дифференциальная геометрия .
• Яглом, И.М. (1962, 1968, 1973, 2009) . Геометрические преобразования (4 т.). Случайный дом (I, II и III), MAA (I, II, III и IV).