Преобразование Чирнхауса

Математический термин; тип полиномиального преобразования

Эренфрид Вальтер фон Чирнхаус

В математике преобразование Чирнхауза , также известное как преобразование Чирнхаузена , представляет собой тип отображения полиномов , разработанный Эренфридом Вальтером фон Чирнхаусом в 1683 году. ^[1]

Проще говоря, это метод преобразования полиномиального уравнения степени с некоторыми ненулевыми промежуточными коэффициентами , так что некоторые или все преобразованные промежуточные коэффициенты равняются точно нулю. ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle a_{1},...,a_{n-1}}$ ${\displaystyle a'_{1},...,a'_{n-1}}$

Например, найти замену

$${\displaystyle y(x)=k_{1}x^{2}+k_{2}x+k_{3}}$$

${\displaystyle n=3}$

$${\displaystyle f(x)=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$$

${\displaystyle x=x(y)}$

$${\displaystyle f'(y)=y^{3}+a'_{2}y^{2}+a'_{1}y+a'_{0}}$$

${\displaystyle a'_{1}=0}$ ${\displaystyle a'_{2}=0}$

В более общем смысле его можно удобно определить с помощью теории поля как преобразование минимальных многочленов , подразумеваемое другим выбором примитивного элемента . Это наиболее общее преобразование неприводимого многочлена , который берет корень к некоторой рациональной функции, примененной к этому корню.

Определение

Для общего приводимого монического полиномиального уравнения вида , где и являются полиномами и не обращается в нуль при , ${\displaystyle n^{th}}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle f(x)=g(x)/h(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle f(x)=0}$

$${\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0}$$

$${\displaystyle y=k_{1}x^{n-1}+k_{2}x^{n-2}+...+k_{n-1}x+k_{n}}$$

тождественно равны нулю^{[2] [3]} ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f'(y)}$ ${\displaystyle a'_{1},...,a'_{n-1}}$

Пример: метод Чирнхауса для кубических уравнений.

В статье Чирнхауса 1683 года ^[1] он решил уравнение

$${\displaystyle f(x)=x^{3}-px^{2}+qx-r=0}$$

$${\displaystyle y(x;a)=x-a\longleftrightarrow x(y;a)=x=y+a.}$$

$${\displaystyle f'(y;a)=y^{3}+(3a-p)y^{2}+(3a^{2}-2pa+q)y+(a^{3}-pa^{2}+qa-r)=0}$$

$${\displaystyle {\begin{cases}a'_{1}=3a-p\\a'_{2}=3a^{2}-2pa+q\\a'_{3}=a^{3}-pa^{2}+qa-r\end{cases}}.}$$

${\displaystyle a'_{1}=0}$

$${\displaystyle 3a-p=0\rightarrow a={\frac {p}{3}}}$$

$${\displaystyle y=x-{\frac {p}{3}},}$$

${\displaystyle f'(y;a)}$

$${\displaystyle f'(y)=y^{3}-q'y-r'.}$$

$${\displaystyle x^{2}(y;a,b)=x^{2}=bx+y+a}$$

Обобщение

Подробно, пусть это поле и полином над . Если неприводимо, то факторкольцо кольца многочленов по главному идеалу, порожденному , ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle K[t]}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle K[t]/(P(t))=L}$,

является расширением поля . У нас есть ${\displaystyle K}$

${\displaystyle L=K(\alpha )}$

где по модулю . То есть любой элемент является полиномом из , который, таким образом, является примитивным элементом из . В : будут и другие варианты выбора примитивного элемента : для любого такого выбора мы по определению будем иметь: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (P)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta =F(\alpha ),\alpha =G(\beta )}$,

с полиномами и более . Теперь, если является минимальным полиномом для более , мы можем вызвать преобразование Чирнхауза . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Поэтому множество всех преобразований Чирнхауза неприводимого многочлена следует описывать как пробегающее все способы изменения , но оставляющее то же самое. Эта концепция используется, например, при приведении квинтик к форме Бринга – Джеррарда . Существует связь с теорией Галуа , когда Галуа является расширением . Тогда группу Галуа можно рассматривать как все преобразования Чирнхауза в себя. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$

История

В 1683 году Эренфрид Вальтер фон Чирнхаус опубликовал метод переписывания многочлена такой степени, что члены и имеют нулевые коэффициенты. В своей статье Чирнхаус сослался на метод Рене Декарта , позволяющий уменьшить квадратичный многочлен так, чтобы этот член имел нулевой коэффициент. ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle x^{n-1}}$ ${\displaystyle x^{n-2}}$ ${\displaystyle (n=2)}$ ${\displaystyle x}$

В 1786 году эта работа была расширена Эрландом Сэмюэлем Брингом, который показал, что любой общий полином пятой степени можно уменьшить аналогичным образом.

В 1834 году Джордж Джеррард еще больше расширил работу Чирнхауса, показав, что преобразование Чирнхауса можно использовать для исключения , и для общего полинома степени . ^[3] ${\displaystyle x^{n-1}}$ ${\displaystyle x^{n-2}}$ ${\displaystyle x^{n-3}}$ ${\displaystyle n>3}$

Смотрите также

• Полиномиальные преобразования
• Монический полином
• Приводимый полином
• Квинтическая функция
• Теория Галуа
• Теорема Абеля-Руффини

Рекомендации

1. фон Чирнхаус, Эренфрид Вальтер; Грин, РФ (01.03.2003). «Метод удаления всех промежуточных членов из данного уравнения». Бюллетень ACM SIGSAM . 37 (1): 1–3. дои : 10.1145/844076.844078 . ISSN  0163-5824. S2CID  18911887.
2. Гарвер, Раймонд (1927). «Преобразование Чирнхауса». Анналы математики . 29 (1/4): 319–333. дои : 10.2307/1968002. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968002.
3. CB Boyer (1968) История математики . Уайли, Нью-Йорк, стр. 472–473. Как сообщает : Вайсштейн, Эрик В. «Трансформация Чирнхаузена». mathworld.wolfram.com . Проверено 2 февраля 2022 г.