Трансформация последовательности

Математический оператор, действующий на заданное пространство последовательностей.

В математике преобразование последовательности — это оператор, действующий на заданное пространство последовательностей ( пространство последовательностей ). Преобразования последовательностей включают линейные отображения, такие как дискретная свертка с другой последовательностью и пересуммирование последовательности, и нелинейные отображения, в более общем смысле. Они обычно используются для ускорения рядов , то есть для улучшения скорости сходимости медленно сходящейся последовательности или ряда . Преобразования последовательностей также обычно используются для численного вычисления антипредела расходящегося ряда и используются в сочетании с методами экстраполяции .

Классическими примерами преобразований последовательностей являются биномиальное преобразование , преобразование Мёбиуса и преобразование Стирлинга .

Определения

Для заданной последовательности

${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} },\,}$

и преобразование последовательности последовательность, полученная в результате преобразования, равна ${\displaystyle \mathbf {T} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle \mathbf {T} ((s_{n}))=(s'_{n})_{n\in \mathbb {N} },}$

где элементы преобразованной последовательности обычно вычисляются из некоторого конечного числа членов исходной последовательности, например

${\displaystyle s_{n}'=T_{n}(s_{n},s_{n+1},\dots ,s_{n+k_{n}})}$

для некоторого натурального числа для каждого и многомерной функции переменных для каждого См., например, биномиальное преобразование и дельта-квадратный процесс Эйткена . В простейшем случае элементы последовательностей, и , являются действительными или комплексными числами . В более общем случае они могут быть элементами некоторого векторного пространства или алгебры . ${\displaystyle k_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle k_{n}+1}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle s_{n}}$ ${\displaystyle s'_{n}}$

Если многомерные функции линейны по каждому из своих аргументов для каждого значения, например , если ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle n,}$

${\displaystyle s'_{n}=\sum _{m=0}^{k_{n}}c_{n,m}s_{n+m}}$

для некоторых констант и для каждого то преобразование последовательности называется линейным преобразованием последовательности . Преобразования последовательности, которые не являются линейными, называются нелинейными преобразованиями последовательности. ${\displaystyle k_{n}}$ ${\displaystyle c_{n,0},\dots ,c_{n,k_{n}}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

В контексте ускорения ряда , когда исходная последовательность и преобразованная последовательность имеют один и тот же предел , говорят, что преобразованная последовательность имеет более высокую скорость сходимости, чем исходная последовательность, если ${\displaystyle (s_{n})}$ ${\displaystyle (s'_{n})}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty ,}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0.}$

Если исходная последовательность расходится , преобразование последовательности может действовать как метод экстраполяции к антипределу . ${\displaystyle \ell }$

Примеры

Простейшими примерами преобразований последовательностей являются сдвиг всех элементов на целое число , которое не зависит от , если и на 0 в противном случае, а также скалярное умножение последовательности на некоторую константу , которая не зависит от . Оба эти примера являются примерами линейных преобразований последовательностей. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle s'_{n}=s_{n+k}}$ ${\displaystyle n+k\geq 0}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle s'_{n}=cs_{n}.}$

Менее тривиальные примеры включают дискретную свертку последовательностей с другой опорной последовательностью. Особенно простым примером является оператор разности , который является сверткой с последовательностью и является дискретным аналогом производной ; технически оператор сдвига и скалярное умножение также могут быть записаны как тривиальные дискретные свертки. Биномиальное преобразование и преобразование Стирлинга являются двумя линейными преобразованиями более общего типа. ${\displaystyle (-1,1,0,\ldots )}$

Примером нелинейного преобразования последовательности является дельта-квадратный процесс Эйткена , используемый для улучшения скорости сходимости медленно сходящейся последовательности. Расширенной формой этого является преобразование Шенкса . Преобразование Мёбиуса также является нелинейным преобразованием, возможным только для целочисленных последовательностей .

Смотрите также

• Дельта-квадратный процесс Эйткена
• Минимальная полиномиальная экстраполяция
• Экстраполяция Ричардсона
• Серийное ускорение
• Метод Стеффенсена

Ссылки

• Хью Дж. Гамильтон, «Теорема Мертенса и преобразования последовательностей», AMS (1947)

Внешние ссылки

• Преобразования целочисленных последовательностей, подстраница Он-лайн энциклопедии целочисленных последовательностей