Соизмеримые линейные цепи — это электрические цепи, состоящие из линий передачи , которые имеют одинаковую длину; обычно одну восьмую длины волны . Схемы с сосредоточенными элементами могут быть напрямую преобразованы в схемы с распределенными элементами этой формы с помощью преобразования Ричардса . Это преобразование имеет особенно простой результат; индукторы заменяются линиями передачи, нагруженными короткими замыканиями, а конденсаторы заменяются линиями, нагруженными разомкнутыми цепями. Теория соизмеримых линий особенно полезна для проектирования фильтров с распределенными элементами для использования на микроволновых частотах.
Обычно необходимо провести дальнейшее преобразование схемы с использованием тождеств Куроды . Существует несколько причин для применения одного из преобразований Куроды; основная причина обычно заключается в устранении последовательно соединенных компонентов. В некоторых технологиях, включая широко используемую микрополосковую схему , последовательные соединения трудно или невозможно реализовать.
Частотная характеристика схем соразмерных линий, как и всех схем с распределенными элементами, будет периодически повторяться, ограничивая диапазон частот, в котором они эффективны. Схемы, разработанные методами Ричардса и Куроды, не являются самыми компактными. Усовершенствования методов соединения элементов вместе могут создавать более компактные конструкции. Тем не менее, теория соразмерных линий остается основой для многих из этих более продвинутых конструкций фильтров.
Соизмеримые линии — это линии передачи , которые имеют одинаковую электрическую длину, но не обязательно одинаковый характеристический импеданс ( Z 0 ). Соизмеримая линейная цепь — это электрическая цепь, состоящая только из соизмеримых линий, нагруженных резисторами или короткими и открытыми цепями. В 1948 году Пол И. Ричардс опубликовал теорию соизмеримых линейных цепей, с помощью которой пассивная сосредоточенная элементная цепь может быть преобразована в распределенную элементную цепь с точно такими же характеристиками в определенном диапазоне частот. [1]
Длины линий в схемах с распределенными элементами , для общности, обычно выражаются в терминах номинальной рабочей длины волны схемы, λ. Линии заданной длины в соизмеримой линейной схеме называются единичными элементами (UE). Особенно простое соотношение имеет место, если UE равны λ/8. [2] Каждый элемент в сосредоточенной схеме преобразуется в соответствующий UE. Однако Z 0 линий должно быть установлено в соответствии со значением компонента в аналогичной сосредоточенной схеме, и это может привести к значениям Z 0 , которые нецелесообразно реализовывать. Это особенно проблема с печатными технологиями, такими как микрополосковые , при реализации высоких характеристических импедансов. Высокий импеданс требует узких линий, и существует минимальный размер, который можно напечатать. С другой стороны, очень широкие линии допускают возможность формирования нежелательных поперечных резонансных мод . Для преодоления этих проблем может быть выбрана другая длина UE с другим Z 0 . [3]
Электрическая длина также может быть выражена как изменение фазы между началом и концом линии. Фаза измеряется в угловых единицах . , математический символ для угловой переменной, используется как символ для электрической длины, когда выражается как угол. В этом соглашении λ представляет 360°, или 2π радиан . [4]
Преимущество использования соизмеримых линий заключается в том, что теория соизмеримых линий позволяет синтезировать схемы из заданной частотной функции. В то время как любая схема, использующая произвольные длины линий передачи, может быть проанализирована для определения ее частотной функции, эта схема не обязательно может быть легко синтезирована, начиная с частотной функции. Основная проблема заключается в том, что использование более чем одной длины обычно требует более одной частотной переменной. Использование соизмеримых линий требует только одной частотной переменной. Существует хорошо разработанная теория для синтеза схем с сосредоточенными элементами из заданной частотной функции. Любая схема, синтезированная таким образом, может быть преобразована в схему соизмеримой линии с использованием преобразования Ричардса и новой частотной переменной. [5]
Преобразование Ричардса преобразует переменную угловой частоты ω в соответствии с уравнением:
или, что более полезно для дальнейшего анализа, в терминах комплексной частотной переменной, s ,
Сравнивая это преобразование с выражениями для сопротивления возбуждающей точки шлейфов , нагруженных, соответственно, коротким замыканием и разомкнутой цепью,
можно видеть, что (для θ < π/2) короткозамкнутый шлейф имеет импеданс сосредоточенной индуктивности , а разомкнутый шлейф имеет импеданс сосредоточенной емкости . Преобразование Ричардса заменяет индукторы на короткозамкнутые UE, а конденсаторы на разомкнутые UE. [6]
Когда длина равна λ/8 (или θ=π/4), это упрощается до:
Это часто записывается как:
L и C — это условное обозначение индуктивности и емкости, но здесь они представляют соответственно характеристическое сопротивление индуктивного шлейфа и характеристическую проводимость емкостного шлейфа. Это соглашение используется многочисленными авторами и далее в этой статье. [7]
Преобразование Ричардса можно рассматривать как преобразование из представления s-домена в новый домен, называемый Ω-доменом, где
Если Ω нормализовано так, что Ω=1 при ω=ω c , то требуется, чтобы,
и длина в единицах расстояния становится,
Любая схема, состоящая из дискретных, линейных, сосредоточенных компонентов, будет иметь передаточную функцию H ( s ), которая является рациональной функцией от s . Схема, состоящая из UE линии передачи, полученная из сосредоточенной схемы с помощью преобразования Ричардса, будет иметь передаточную функцию H ( j Ω), которая является рациональной функцией точно такой же формы, как H ( s ). То есть, форма частотной характеристики сосредоточенной схемы в зависимости от переменной частоты s будет точно такой же, как форма частотной характеристики цепи линии передачи в зависимости от переменной частоты j Ω , и схема будет функционально такой же. [8]
Однако бесконечность в области Ω преобразуется в ω=π/4 k в области s . Вся частотная характеристика сжимается до этого конечного интервала. Выше этой частоты та же самая реакция повторяется в тех же интервалах, попеременно в обратном порядке. Это следствие периодической природы функции тангенса . Этот результат множественной полосы пропускания является общей чертой всех схем с распределенными элементами, а не только тех, которые получены с помощью преобразования Ричардса. [9]
UE, соединенное каскадом, представляет собой двухпортовую сеть , которая не имеет точно соответствующей схемы в сосредоточенных элементах. Функционально это фиксированная задержка. Существуют схемы с сосредоточенными элементами, которые могут аппроксимировать фиксированную задержку, такие как фильтр Бесселя , но они работают только в пределах заданной полосы пропускания , даже с идеальными компонентами. В качестве альтернативы можно построить всепропускающие фильтры с сосредоточенными элементами , которые пропускают все частоты (с идеальными компонентами), но они имеют постоянную задержку только в пределах узкой полосы частот. Примерами являются решетчатый фазовый эквалайзер и мостовой Т-эквалайзер задержки . [10]
Следовательно, нет сосредоточенной схемы, которую преобразование Ричарда может преобразовать в каскадно-соединенную линию, и нет обратного преобразования для этого элемента. Таким образом, теория соизмеримых линий вводит новый элемент задержки или длины . [1] Два или более UE, соединенных каскадом с одинаковым Z 0 , эквивалентны одной, более длинной линии передачи. Таким образом, линии длиной n θ для целого числа n допустимы в соизмеримых схемах. Некоторые схемы могут быть реализованы полностью как каскад UE: например, таким образом можно реализовать сети согласования импедансов , как и большинство фильтров. [1]
Тождества Куроды представляют собой набор из четырех эквивалентных цепей, которые преодолевают определенные трудности с прямым применением преобразований Ричардса. Четыре основных преобразования показаны на рисунке. Здесь символы для конденсаторов и индукторов используются для представления шлейфов с разомкнутой и короткозамкнутой цепью. Аналогично, символы C и L здесь представляют соответственно реактивную проводимость шлейфа с разомкнутой цепью и реактивное сопротивление шлейфа с короткозамкнутой цепью, которые для θ=λ/8 соответственно равны характеристической проводимости и характеристическому импедансу линии шлейфа. Ящики с толстыми линиями представляют каскадно соединенные соизмеримые длины линии с отмеченным характеристическим импедансом. [11]
Первая решенная трудность заключается в том, что все UE должны быть соединены вместе в одной точке. Это возникает из-за того, что модель сосредоточенных элементов предполагает, что все элементы занимают нулевое пространство (или не занимают существенного пространства) и что нет задержки сигналов между элементами. Применение преобразования Ричардса для преобразования сосредоточенной схемы в распределенную схему позволяет элементу теперь занимать конечное пространство (его длину), но не устраняет требование нулевого расстояния между взаимосвязями. Повторно применяя первые два тождества Куроды, длины UE линий, подающих в порты схемы , можно перемещать между компонентами схемы, чтобы физически разделить их. [12]
Вторая трудность, которую могут преодолеть тождества Куроды, заключается в том, что последовательно соединенные линии не всегда практичны. В то время как последовательное соединение линий может быть легко реализовано, например, в коаксиальной технологии , это невозможно в широко используемой микрополосковой технологии и других планарных технологиях. Схемы фильтров часто используют топологию лестницы с чередующимися последовательными и шунтирующими элементами. Такие схемы могут быть преобразованы во все шунтирующие компоненты на том же этапе, который используется для размещения компонентов с первыми двумя тождествами. [13]
Третье и четвертое тождества позволяют масштабировать характеристические импедансы соответственно вниз или вверх. Они могут быть полезны для преобразования импедансов, которые непрактично реализовать. Однако они имеют недостаток, требующий добавления идеального трансформатора с отношением витков, равным коэффициенту масштабирования. [14]
В течение десятилетия после публикации Ричардса, достижения в теории распределенных цепей происходили в основном в Японии. К. Курода опубликовал эти тождества в 1955 году в своей докторской диссертации. [15] Однако они не появлялись на английском языке до 1958 года в статье Одзаки и Ишии о полосковых фильтрах. [16]
Одним из основных приложений теории соразмерных линий является проектирование фильтров с распределенными элементами . Такие фильтры, построенные непосредственно по методу Ричардса и Куроды, не очень компактны. Это может быть важным соображением при проектировании, особенно в мобильных устройствах. Шлейфы выступают в сторону от основной линии, и пространство между ними не делает ничего полезного. В идеале шлейфы должны выступать на альтернативных сторонах [17], чтобы предотвратить их соединение друг с другом, занимая дополнительное пространство, хотя это не всегда делается из соображений экономии пространства. Более того, каскадно соединенные элементы, которые соединяют шлейфы, не вносят никакого вклада в частотную функцию, они существуют только для преобразования шлейфов в требуемый импеданс. Другими словами, порядок частотной функции определяется исключительно количеством шлейфов, а не общим количеством UE (как правило, чем выше порядок, тем лучше фильтр). Более сложные методы синтеза могут создавать фильтры, в которых все элементы вносят свой вклад. [16]
Каскадно соединенные секции λ/8 схем Куроды являются примером трансформаторов импеданса, архетипичным примером таких схем является трансформатор импеданса λ/4 . Хотя это вдвое больше длины линии λ/8, он обладает полезным свойством, заключающимся в том, что его можно преобразовать из фильтра нижних частот в фильтр верхних частот, заменив шлейфы разомкнутой цепи шлейфами короткозамкнутой цепи. Два фильтра точно согласованы с одинаковой частотой среза и зеркально-симметричными откликами. Поэтому он идеально подходит для использования в диплексерах . [18] Трансформатор λ/4 обладает этим свойством быть инвариантным при преобразовании нижних частот в верхние, потому что это не просто трансформатор импеданса, а особый случай трансформатора, инвертор импеданса. То есть он преобразует любую сеть импеданса на одном порту в обратный импеданс или двойной импеданс на другом порту. Однако длина линии передачи может быть только точно равна λ/4 на ее резонансной частоте, и, следовательно, существует ограничение на полосу пропускания , в которой она будет работать. Существуют более сложные типы инверторных схем, которые более точно инвертируют импедансы. Существует два класса инверторов: J -инвертор, который преобразует шунтовую проводимость в последовательный импеданс, и K -инвертор, который выполняет обратное преобразование. Коэффициенты J и K являются соответственно масштабируемой проводимостью и импедансом преобразователя. [19]
Шлейфы могут быть удлинены для того, чтобы перейти от разомкнутой цепи к короткозамкнутому шлейфу и наоборот. [20] Фильтры нижних частот обычно состоят из последовательных индукторов и шунтирующих конденсаторов. Применение тождеств Куроды преобразует их во все шунтирующие конденсаторы, которые являются шлейфами с разомкнутой цепью. Шлейфы с разомкнутой цепью предпочтительны в печатных технологиях, потому что их проще реализовать, и эта технология, вероятно, будет найдена в потребительских товарах. Однако это не относится к другим технологиям, таким как коаксиальная линия или двухпроводная , где короткое замыкание может быть фактически полезным для механической поддержки структуры. Короткие цепи также имеют небольшое преимущество в том, что они, как правило, имеют более точное положение, чем разомкнутые цепи. Если цепь должна быть дополнительно преобразована в волноводную среду, то разомкнутые цепи не могут быть рассмотрены, потому что из сформированной таким образом апертуры будет излучение. Для фильтра верхних частот применяется обратная ситуация, применение Куроды естественным образом приведет к короткозамкнутым шлейфам, и для печатной конструкции может быть желательно преобразовать их в разомкнутые цепи. Например, шлейф с разомкнутой цепью λ/8 можно заменить шлейфом с короткозамкнутой цепью 3λ/8 с тем же характеристическим сопротивлением без изменения функциональности цепи. [21]
Связывание элементов вместе с линиями трансформатора импеданса не является самой компактной конструкцией. Были разработаны другие методы связывания, особенно для полосовых фильтров , которые гораздо компактнее. К ним относятся фильтры параллельных линий , встречно-штыревые фильтры , фильтры-шпили и гребенчатые фильтры полуобъединенной конструкции . [22]
